初中數(shù)學“綜合與實踐”的價值認知與教學思考

【摘 要】綜合性與實踐性，本就是學科教學的應有之義?！熬C合與實踐”因背景的現(xiàn)實性，知識的綜合性，過程的探究性、研究性、主體性、實踐性等特點而具有獨特的價值。“綜合與實踐”的教學，應以學生素養(yǎng)發(fā)展為目標，采用靈活多樣的方式，發(fā)揮學生的主體性，充分讓學生經(jīng)歷“做”的過程。

【關鍵詞】初中數(shù)學；綜合與實踐；數(shù)學教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）11-0022-04

【作者簡介】章飛，江蘇第二師范學院（南京，210013）課程與教學研究所教授。

“綜合與實踐”作為一個學習領域，隨著新課程的實施進入初中數(shù)學已近20年，但尚有一部分教師對其視而不見。為此，很有必要再次重申“綜合與實踐”的獨特教學價值。

一、“綜合與實踐”本就是學科教學的應有之義

學科具有綜合性，任何學科知識本身就是一個綜合體，只是由于學習的需要進行了適度的分解，教學需要在整體與局部之間適度平衡。在一門學科知識形成的早期，可能多是一些零散的獨立的點的突破，尚沒有系統(tǒng)性和綜合性可言；但隨著成果的積累，自然需要關注這些知識之間的相互關系，這就產(chǎn)生了系統(tǒng)化的需要，從而基于一定的邏輯構建學科體系，數(shù)學史上歐幾里得的《幾何原本》就是其中一個典范。作為課程內(nèi)容的初中數(shù)學學科知識，毫無疑問已是一個相對成熟的體系，具有綜合性和整體性。課程標準也罷，教科書也好，設計者都已經(jīng)對學科內(nèi)容進行了整體設計。但俗話說，“燒餅需要一口一口地啃”，學習也是這樣，它是學習者自身知識的一個生長過程。因此，基于教學的需要，教科書設計者只能將其作為整體的學科知識進行分解，依據(jù)學科知識發(fā)展的歷史和當前學生的認知狀況，選擇某種順序將作為整體的學科知識分解成若干有序的部分，從而便于學生學習。

實踐性也是數(shù)學學科的一個重要屬性，特別對于初中數(shù)學而言。從歷史本源看，數(shù)學來源于現(xiàn)實，是現(xiàn)實問題高度抽象的產(chǎn)物，最終也將指導著現(xiàn)實問題的解決。一定意義上，現(xiàn)實是數(shù)學學科發(fā)展的原動力，特別是在每次學科發(fā)展的飛躍期。例如，正是現(xiàn)實的需要促進了微積分的產(chǎn)生，進而推動了工業(yè)革命。當然，數(shù)學學科也有自身的發(fā)展動力，從現(xiàn)實進入數(shù)學之后，數(shù)學學科往往會暫時脫離現(xiàn)實背景，自主生長，從而產(chǎn)生超前于現(xiàn)實需要的成果，但每到發(fā)展的瓶頸期，常常又是回到現(xiàn)實，從現(xiàn)實需要中汲取養(yǎng)分，再次起航。因此，從這個意義上說，實踐性也是數(shù)學學科的一個重要屬性。初中數(shù)學有關知識，作為初等數(shù)學的內(nèi)容，是數(shù)學學科發(fā)展早期的成果，更是實際需要的產(chǎn)物，具有很好的實踐性。此外，義務教育要求面向全體學生，更要求這樣的學習內(nèi)容具有很好的現(xiàn)實性和實踐性。

二、“綜合與實踐”在學科教學中具有獨特價值

我們不妨先看幾個具體的課題：

課題1“制成一個盡可能大的無蓋長方體”：用正方形的紙制作無蓋長方體型的盒子，使得它的容積盡可能大。

課題2“鑲嵌”：在明晰了鑲嵌的概念后，要求學生思考有哪些相關研究問題，以小組為單位進行研究。

課題3“猜想、證明與拓廣”：在解決了初始問題“給定一個正方形，是否存在另一個正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？”后，拓展思考進而解決“是否存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍甚至一半”等問題。

從這些課題的研究中不難感受“綜合與實踐”在數(shù)學教學中的獨特價值。[1]

第一，“綜合與實踐”的背景多是現(xiàn)實的，有助于形成學生良好的數(shù)學觀和數(shù)學運用意識。

生活中常常需要利用適當?shù)牟牧现谱鞲鞣N包裝盒或者容器，當然，這時可能就會考慮很多問題，如美觀、節(jié)約資源、節(jié)約費用、利益最大化等；生活中，地磚、衣服、墻紙等內(nèi)嵌圖案豐富，自然就需要研究鑲嵌圖案的類型和制作。這樣的課題是現(xiàn)實的、自然的。自然、現(xiàn)實的課題，關注了數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系，學生解決問題的過程中需要不斷地將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，因而，相對于日常教學而言，更易于使學生感受到數(shù)學的廣泛運用，形成良好的數(shù)學觀，有利于提高學生的知識運用能力和運用意識。

第二，“綜合與實踐”的背景往往是綜合性的，注重相關知識點的聯(lián)結，有助于提高學生綜合運用能力。

現(xiàn)實問題，相對而言，往往是綜合的、本原的。例如，制作一個盡可能大的無蓋長方體，顧名思義，就是一個幾何問題，在通過折疊制作無蓋長方體盒子的過程中，自然需要運用到“圖形與幾何”的知識，可以發(fā)展學生的空間觀念和幾何直觀；而為了確定長方體盒子的容積，自然需要借助字母表示長方體的各個量，這個過程中，需要綜合運用“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”的知識；容積是一個三次函數(shù)，因此，本題是一個三次函數(shù)的極值問題，初中生尚不具備解決這類問題的嚴格數(shù)學方法，因此，學生只能羅列一些具體情況進行比較，最終大致確定最值，這一過程，又會運用到一定的統(tǒng)計知識。因此，這個問題的解決，勢必要求學生綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計”等知識，既加強了知識聯(lián)系，又培養(yǎng)了學生綜合應用能力。設計鑲嵌圖案時，需要借助一些變化的知識（平移、旋轉、反射等）對已有的鑲嵌圖案進行“修正”，因此，也是對學生綜合運用知識解決問題能力的考驗。

第三，“綜合與實踐”的解決往往是探索性的、研究性的，有助于培養(yǎng)學生的學習能力和研究能力。

綜合性的問題，其求解過程一般沒有一定的程式可循，因而需要學生的主動探索。面對課題“制作一個盡可能大的無蓋長方體型盒子”，結合生活經(jīng)驗，經(jīng)過討論，學生一般會將問題分解為幾個有序的部分：制作方式有哪些？容積如何表示？什么情況下容積最大等。復雜問題的逐步分解，是一般科學研究的常規(guī)套路，因此，本問題的解決過程，實際上就是一個簡單的數(shù)學研究過程，通過該問題的解決，學生可獲得一定的研究經(jīng)驗。

而課題“猜想、證明與拓廣”，從一個已知問題出發(fā)，引導學生逐步通過變式提出新的問題，解決新的問題，探索問題的不同解決方法和解釋。這里實際上滲透了提出新問題的一些方式、方法，而在解決問題的過程中，又可以引導學生學習具體化、特殊化、化歸等解決問題的最常用方式。解決問題之后的拓廣，更是數(shù)學研究的一種習慣?？傮w而言，這一案例呈現(xiàn)了一個基于數(shù)學問題的研究過程，有助于提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，提供學生數(shù)學研究的經(jīng)驗?？傊?，一定程度上，“綜合與實踐”本身就是一個微型的科研過程，有助于提升學生的研究能力。

第四，“綜合與實踐”給學生提供了實踐的機會，有助于讓學生感受理論與實際的聯(lián)系與區(qū)別，提高學生的實踐能力。

在課題“制作盡可能大的無蓋長方體”和“鑲嵌”中，學生需要進行實際的操作實踐活動；而遮陽篷設計、吸煙的危害、測量電視塔的高度等“綜合與實踐”，更需要學生走上街頭，進行調查、測量活動。在這樣的活動，學生既可以將課堂上學習的理論知識運用于實踐活動，感受到數(shù)學的廣泛運用，同時也會感受到僅僅具有理論知識是不足的，不能僅僅停留于紙上談兵，需要到實踐中不斷提高自己的技能，才能形成自己的實踐能力，有效地解決現(xiàn)實問題。如測量活動中，數(shù)學方法本身并不復雜，但如何測量各個量、測量活動中如何減少誤差，調查活動中如何與人交流，如何設計便于調查對象填制的表格，這些就絕對不是課內(nèi)知識所能解決的，這樣的知識、技能只能在實踐活動中發(fā)展。從這個意義上看，“綜合與實踐”過程，才是真正的知識運用過程，“綜合與實踐”活動有助于發(fā)展學生的實踐能力。

第五，“綜合與實踐”，凸顯了學生學習的主體性，提供了合作學習的舞臺，是優(yōu)化學生學習方式的有益嘗試。

正如前面的分析所指出，“綜合與實踐”需要學生主動探索，因而，這樣的學習是自主的。特別是在一些“綜合與實踐”中，僅僅給出了一個原始的問題，并沒有規(guī)定解決問題的具體手段，甚至有時僅僅提供了一個問題背景和可能的方向，具體問題的提出和解決都由學生自己選擇。例如，北師大版教科書中“吸煙的危害”這個案例，僅僅羅列了一些話題，引導學生思考還有哪些問題，提醒學生組成小組選擇某個感興趣的主題開展調查，并撰寫實驗報告，在全班交流。在這一案例中，具體研究什么，采用什么方法，研究過程具體如何，都由學生自主確定，因此，學生的主體性得到了很好的發(fā)揮。同時，很多“綜合與實踐”具有一定的難度，多數(shù)學生憑借個體的力量難以解決，往往需要學生群策群力、合作解決；還有的“綜合與實踐”（如上面的吸煙的危害），需要展開較大范圍的調查，因而只能采用合作學習的方式?？傊?，“綜合與實踐”為學生提供了大量自主探究、合作學習的機會，可以促進學生學習方式的轉變。

此外，“綜合與實踐”活動需要學生合作完成，不同的學生都能從中獲得一定的收獲。特別是很多所謂的“潛能生”“學困生”，在“綜合與實踐”活動中，他們其他方面的能力、特長可能得以顯現(xiàn)，找到用武之地。因此，“綜合與實踐”活動可以增強這部分學生的信心，幫助這部分學生體驗到成功的快樂，也會影響著其他同學對這部分學生的看法，形成融洽的班級氛圍。

三、“綜合與實踐”的教學應關注過程、注重發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》指出：“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題。具體地，初中階段“綜合與實踐”的目標是：（1）結合實際情境，經(jīng)歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題；（2）會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告或小論文，并能進行交流，進一步獲得數(shù)學活動經(jīng)驗；（3）通過對有關問題的探討，了解所學過知識（包括其他學科知識）之間的關聯(lián)，進一步理解有關知識，發(fā)展應用意識和能力。也就是說，從目標上看，“綜合與實踐”并不聚焦于具體知識的掌握，更為關注在具體的研究過程中，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

例如，課題“鑲嵌”，就不要聚焦于三角形、四邊形能否鑲嵌平面，而應聚焦于能從生活中感受到鑲嵌的應用，能夠感受到鑲嵌圖形之間的關系，能夠綜合運用變換設計鑲嵌圖案進而解決實際問題。課題“猜想、證明與拓廣”，并不在于學生將這幾個問題解決到什么程度，而應聚焦于在問題解決過程中學生能否養(yǎng)成反思的習慣，在原始問題解決之后能夠主動地進行反思與變化，從而提出新的研究問題，并選擇不同的視角解決問題，也就是說，要將學生反思意識和提出問題能力的提升作為重要的教學目標。

為了達成相關過程性目標，“綜合與實踐”的教學，自然應突出學生的“做”，突出過程。學生可以通過諸如設計課題、查找資料、動手實驗、社會調查、撰寫研究報告等親身實踐活動，初步經(jīng)歷一個簡單的科學研究的過程，獲得一定的科學研究的實際經(jīng)驗，從而初步了解科學研究的一般流程，初步掌握調查、觀察、實驗、猜想、論證等科學研究的基本方法和技能，發(fā)展學生的研究能力；同時，在這樣的實踐活動中，一般都需要同學間的相互合作與交流，通過學生間的合作交流，學生將學會如何表述自己的觀點、如何傾聽別人的想法、如何吸取別人的長處、如何與他人交往和合作等，從而提高學生合作交流的意識和能力，促進學生的長遠發(fā)展。

既然綜合與實踐強調學生的做，因此，其教學不再以教為主，而應以學為主。課堂的主活動不再是教師的講授，而應是學生的自學、討論、調查、探索、解決問題。讓學生在問題、困難、挑戰(zhàn)、挫折、取勝的交替體驗中，在選擇、判斷、協(xié)作、交流的輪換操作中，經(jīng)歷一個個學數(shù)學、用數(shù)學，進而發(fā)現(xiàn)問題，走向新的學數(shù)學、用數(shù)學的過程，從而培養(yǎng)能力、激發(fā)興趣、形成學生主動學習的良性循環(huán)。[2]

為了凸顯學生的做，“綜合與實踐”的教學，形式更為多樣，過程更為開放。綜合與實踐，可以采用課內(nèi)探究的方式，也可以采用“課外活動、課內(nèi)匯報”的方式。例如，上面的“鑲嵌”“吸煙的危害”等課題，可以先在課堂上充分討論，形成一些問題和解決問題的一些方向，然后要求學生組成合作小組，選擇感興趣的問題通過課后的合作學習加以解決，最后再回到課堂進行班組的匯報、總結。當然，不管采用哪種方式進行教學，都應給予學生充分的學習空間和自主權，充分發(fā)揮學生的主體作用，“綜合與實踐”的主題、學習的方法、問題的發(fā)現(xiàn)、問題解決的深度、廣度等都可以根據(jù)學習現(xiàn)場狀況由學生自主控制。對于課外活動固然如此，對于課內(nèi)學習，同樣應給學生空間，絕對不能采用所謂“步步為營”的“小步子快步走”的教學方式，否則何談綜合呢。例如，課題“制成盡可能大的無蓋長方體盒子”，可大致規(guī)劃下列順序：“課前制作無蓋長方體盒子，并計算體積”“課堂交流各自長方體的高以及相應的體積”“猜想無蓋長方體盒子體積最大時，高可能在什么范圍內(nèi)”“通過更多的數(shù)據(jù)，驗證你們的猜想，嘗試求出更大的無蓋長方體盒子”“研討制作無蓋長方體盒子的其他方式”，但不要過于細化各個環(huán)節(jié)的操作，教學過程中根據(jù)學生的現(xiàn)場狀況進行生成即可。

相對于課內(nèi)探究而言，課外小組活動的方式，對學生更具挑戰(zhàn)性，也更能發(fā)展學生的能力，因此，“綜合與實踐”的教學要鼓勵從課內(nèi)走向課外。當然，“綜合與實踐”的實施，自然需要基于學生現(xiàn)有的認知經(jīng)驗、“綜合與實踐”學習經(jīng)驗的現(xiàn)狀、“綜合與實踐”主題本身的難度等，進行適切的設計，并不能一概而論。在3年的初中數(shù)學“綜合與實踐”教學中，教師應注意從課題選擇、活動組織等角度，進行總體安排，逐步提升學生的“綜合與實踐”能力。

【參考文獻】

[1]章飛，劉黔昉.初中數(shù)學課題學習的實踐與探索[M].北京：北京師范大學出版社，2008.

[2]張思明，白永瀟.數(shù)學課題學習的實踐與探索[M].北京：高等教育出版社，2003.