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    A、B兩點漂流記

    2018-12-26 06:13:12
    初中生世界 2018年47期
    關(guān)鍵詞:對稱軸過點表達式

    同學們,在我們學習函數(shù)知識的過程中,一定繞不開對圖像的學習.我們知道所有的對函數(shù)圖像的研究常常從圖像上的點開始,今天我們就從A、B兩點開始,來一次漂流之旅.

    問題1 已知A(2,0),B(-2,0)兩點在二次函數(shù)圖像上,你能得到哪些結(jié)論?

    【分析】這里我們很多同學首先想到的是通過待定系數(shù)法來探究,即先設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0),然后把點代入看看.這一思路并不奇怪,相反,它是我們將點與圖像的“形關(guān)系”對應(yīng)到坐標與函數(shù)表達式的“數(shù)關(guān)系”的一種“最近聯(lián)想”.

    可以解得:b=0.但對a和c,只能判斷出其關(guān)系為4a=-c.因此對于問題1,我們可以給出上述的結(jié)論.那么這個問題還有其他結(jié)論嗎?如果沿著b=0,4a=-c繼續(xù)往下思考,其二次函數(shù)表達式就為y=ax2+c,這個函數(shù)圖像有什么特征呢?結(jié)合教材,我們知道這個二次函數(shù)圖像的對稱軸為y軸所在直線,頂點坐標為(0,-c),這也是可以得到的結(jié)論.有的同學還可以得到函數(shù)圖像與橫軸有兩個不同的交點等其他正確的結(jié)論,在此不一一列舉.下面,我們繼續(xù)跟著這兩個點漂流,看看還有什么發(fā)現(xiàn).

    問題2 已知A(2,1),B(-2,1)兩點在二次函數(shù)圖像上,你能得到哪些結(jié)論?

    這個問題看起來和問題1有點類似?。∥覀兝^續(xù)按照上面的思路思考

    可以解得:b=0,此時a和c的關(guān)系已經(jīng)變?yōu)?a=1-c.進一步思考,我們發(fā)現(xiàn)這個二次函數(shù)的對稱軸依然為y軸所在直線,頂點坐標為(0,c).當然,這里a,c的值與問題1中a,c的值未必相同.可能有同學就會猜想了,為什么這兩個點變化了,我們都能得到對稱軸仍然是y軸所在直線呢?這條對稱軸的表達式為:直線x=0.它和我們所給的兩點有關(guān)系嗎?A、B兩點有什么特征呢?帶著疑問,我們繼續(xù)跟著A、B兩點漂流.

    問題3 已知A(m,p),B(-m,p)兩點在二次函數(shù)圖像上,函數(shù)圖像的對稱軸還是y軸所在直線嗎?

    漂流到這里,聰明的你一定發(fā)現(xiàn)此時“漂流”的這兩點是有一個規(guī)律的,那就是橫坐標互為相反數(shù),縱坐標相同.那么具有這樣“式結(jié)構(gòu)”特征的坐標,其對應(yīng)的圖像“形結(jié)構(gòu)”一定是對稱軸為直線x=0嗎?我們仿照問題1的思考路徑,將兩點代入到函數(shù)一般式里去,得到:

    把m,p視為常數(shù),解得:b=0,此時a和c的關(guān)系為m2a=p-c.也就是說,此時的二次函數(shù)表達式還是y=ax2+c.那么其對稱軸依然是直線x=0(即y軸所在直線).這樣的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)初具數(shù)學的一般性了.不過我們?nèi)绻^續(xù)跟著這兩點漂流,還有更驚奇的發(fā)現(xiàn).

    問題4 已知A(m,p),B(n,p)(m≠n)兩點在二次函數(shù)圖像上,那么這個二次函數(shù)圖像的對稱軸是什么呢?

    兩式相減得到:(m+n)(m-n)a+(m-n)b=0,等式左邊分解因式得到:(m-n)[(m+n)a+b]=0,因為m≠n,所以(m+n)a+b=0,可以進一,即二次函數(shù)圖像,當m=-n時,即為前面問題所得到的結(jié)論:二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=0.那么,到這里我們就不難得出這樣一個結(jié)論:如果二次函數(shù)圖像上兩點的縱坐標相同,如:A(m,p),B(n,p),那么這個二次函數(shù)

    其實這個結(jié)論的發(fā)現(xiàn)可以從上面的思路以“數(shù)”的角度進行推理得出,還可以從“形”的角度得到.首先看問題1,把A(2,0),B(-2,0)兩點置于平面直角坐標系中,就可以看出他們是在同一條直線上的兩點,即二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點.那么根據(jù)二次函數(shù)圖像的軸對稱性,可知這兩點是關(guān)于二次函數(shù)圖像對稱軸對稱的兩點,所以可以知道其對稱軸就是y軸所在直線.同理推廣到一般化A(m,p),B(n,p)兩點,則是二次函數(shù)圖像與直線x=p的兩個交點,也是關(guān)于其對稱軸對稱的,所以對稱軸

    那么兩點漂流到這里,很多同學心中一定有所感悟,原來通過二次函數(shù)圖像上的符合這樣特征的兩點還能知道拋物線的對稱軸??!這個發(fā)現(xiàn)對我們解決有關(guān)的二次函數(shù)問題有很大幫助.

    問題5 已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)).

    (1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.

    (2)如果二次函數(shù)圖像的對稱軸過點(3,0),那么將這個函數(shù)圖像向上平移多少個單位,與x軸只有一個公共點?

    【解析】(1)證明略,過程見第43頁例3.

    解:(2)因為二次函數(shù)圖像對稱軸過點(3,0),又總過點(1,0),那么根據(jù)前面的理解,可知點(1,0),(m+3,0)關(guān)于直線x=3對稱,所以可以求得m=2,于是可得函數(shù)表達式為y=2(x-1)(x-5),求出頂點坐標為(3,-8),所以函數(shù)圖像向上平移8個單位與x軸只有一個公共點.

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