跟著天貓店主追求“最大利潤”

在天貓開店的店主們很會(huì)賺錢，他們賺錢的方法主要有兩種，一種是薄利多銷，一種是厚利少賣.今天就讓我們走近這些店主，看看他們是如何賺錢的.

【問題】天貓某店經(jīng)營某種品牌的玩具，進(jìn)價(jià)為60元/件.當(dāng)定價(jià)為80元/件時(shí)，平均每周可銷售300件.每件玩具每降價(jià)1元，每周就會(huì)多賣出25件玩具；每件玩具每漲價(jià)1元，每周就會(huì)少賣出10件玩具.售價(jià)為多少元時(shí)，才能使每周銷售利潤最大？

【分析】調(diào)整價(jià)格包括降價(jià)和漲價(jià)兩種情況，即：降價(jià)時(shí)，雖然每件的利潤減少了，但是銷售數(shù)量增加了，所以同樣可能使銷售的總利潤增加；漲價(jià)時(shí)，雖然銷售數(shù)量減少了，但是每件的利潤增加了，所以可能使銷售的總利潤增加.

本題用到的數(shù)量關(guān)系是：?jiǎn)渭麧?售價(jià)-進(jìn)價(jià)；銷售總利潤=單件利潤×銷售數(shù)量.

下面，同學(xué)們可以嘗試以降價(jià)和漲價(jià)兩種情況來設(shè)計(jì)一組追問進(jìn)行鋪墊，進(jìn)而尋求本題解決方案：

一、降價(jià)時(shí)

【追問】1.售價(jià)為x元，銷售數(shù)量為多少元？

2.設(shè)銷售總利潤為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是什么？

3.售價(jià)為x元，銷售總利潤為y元時(shí)，可獲得的最大利潤是多少？

【分析】根據(jù)題意，每件玩具每降價(jià)1元，每周就會(huì)多賣出25件玩具.如果知道了降多少元，就必然知道多賣多少件，那么降了多少元呢？最初的售價(jià)是80元，降價(jià)后的售價(jià)是x元，那么它們之間的差值就是所降的價(jià)格，即降價(jià)（80-x）元.我們知道降1元多賣25件，現(xiàn)在降了（80-x）元，所以多賣的數(shù)量就是25×（80-x）件.總共賣的應(yīng)該是原來賣的加上多賣的，即300+25×（80-x）.所以數(shù)量就是［300+25×（80-x）］件.單件利潤是（x-60），銷售數(shù)量是300+25×（80-x），則總利潤y=（x-60）［300+25×（80-x）］.求最大利潤時(shí)，只要根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)求最值即可.

用表格表示為：

進(jìn)價(jià)定價(jià)現(xiàn)價(jià)單件利潤原數(shù)量多賣的數(shù)量現(xiàn)數(shù)量降價(jià)60 80 x（x-60）300 25×（80-x）300+25×（80-x）

【解答】解：1.300+25×（80-x）.

2.y=（x-60）［300+25×（80-x）］.

3.y=（x-60）［300+25×（80-x）］=-25x2+3800x-138000.

∵a=-25，拋物線開口向下，

∴售價(jià)為x元，銷售總利潤為y元時(shí)，可獲得的最大利潤是6400元.

二、漲價(jià)時(shí)

【追問】1.售價(jià)為x元，銷售數(shù)量為多少元？

2.設(shè)銷售總利潤為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是什么？

3.售價(jià)為x元，銷售總利潤為y元時(shí)，可獲得的最大利潤是多少？

【分析】根據(jù)題意，每個(gè)玩具每漲價(jià)1元，每周就會(huì)少賣出10件玩具.如果知道了漲多少元，就必然知道少賣多少件，那么漲了多少元呢？最初的售價(jià)是80元，漲價(jià)后的售價(jià)是x元，那么它們之間的差值就是所漲的價(jià)格，即漲價(jià)（x-80）元.我們知道漲1元少賣10件，現(xiàn)在漲了（x-80）元，那么就應(yīng)該少賣10×（x-80）件.總共賣的應(yīng)該是原來賣的減去少賣的，即300-10×（x-80），所以數(shù)量就是［300-10×（x-80）］件.單件利潤是（x-60）元，銷售數(shù)量是300-10×（x-80），則總利潤y=（x-60）［300-10×（x-80）］.此時(shí)求最大利潤同樣是根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)來解決.

用表格表示為：

【解答】解：1.300-10×（x-80）.

2.y=（x-60）［300-10×（x-80）］.

3.y=（x-60）［300-10 ×（x-80）］=-10x2+1700x-66000.

∵a=-10，拋物線開口向下，

∴售價(jià)為x元，銷售總利潤為y元時(shí)，可獲得的最大利潤是6250元.

∵6400＞6250，∴當(dāng)售價(jià)為76元時(shí)，才能使每周的銷售利潤最大.

本題在設(shè)未知數(shù)時(shí)，總利潤是因變量y，而對(duì)自變量x可以有兩種認(rèn)識(shí)：

（1）自變量x是漲了x元或降了x元.

（2）自變量x是最終的銷售價(jià)格.

上述是根據(jù)第二種情況解答的.如果是根據(jù)第一種情況，分析的思路一樣，分別表示出單件利潤和銷售數(shù)量即可.

初中階段的最大利潤問題一般是二次函數(shù)問題，是因?yàn)槿绻麊渭唐返睦麧欕S著售價(jià)線性變化，銷售數(shù)量也隨著售價(jià)線性變化.這兩個(gè)量的乘積就是總利潤.兩個(gè)關(guān)于x的一次多項(xiàng)式相乘，結(jié)果便會(huì)出現(xiàn)關(guān)于x的二次項(xiàng)，即出現(xiàn)了二次函數(shù).如果在列表達(dá)式時(shí)發(fā)現(xiàn)單件利潤里沒有x，或銷售數(shù)量里沒有x，那么，很不幸地告訴你，你的賬算錯(cuò)了.

實(shí)際生活中的情況也許比這個(gè)問題要復(fù)雜得多，但一般的規(guī)律是：商品一旦漲價(jià)，顧客的購買量會(huì)減少，也就是說漲價(jià)后，單個(gè)利潤升高了，銷售數(shù)量減少；如果是降價(jià)，顧客購買量會(huì)增多，所以降價(jià)后，單個(gè)利潤降低了，銷售數(shù)量反而增高.所謂的“此消彼長”大概就是這個(gè)意思吧！同學(xué)們可以根據(jù)這個(gè)規(guī)則算最大利潤啦！