挑 戰(zhàn)“二次函數(shù)”之策略方法

楊春霞

二次函數(shù)問題是《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）要求掌握的基本問題，是中考的核心考點.那么中考中有哪些常見的考查方式呢？

從知識結(jié)構(gòu)來看，初中學段的主要要求有：會畫二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì)；會用配方法將二次函數(shù)的表達式化成頂點式，得到二次函數(shù)圖像的頂點坐標；能說出圖像開口方向，畫出圖像的對稱軸，并能解決簡單問題等.

從知識背景來看，現(xiàn)實社會中有很多的實際問題屬于二次函數(shù)問題.現(xiàn)代社會逐漸傾向于對同學們解決實際問題的能力和綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)與考查.因此，應用二次函數(shù)模型解決實際問題是中考考查的趨勢所在.

從知識聯(lián)系來看，二次函數(shù)常常與三角形、四邊形等基本圖形相結(jié)合，綜合考查同學們利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程建模、轉(zhuǎn)化等思想方法解決問題的能力.

下面，我們結(jié)合具體題目一起看一下在解決二次函數(shù)問題中常用的策略與方法.

一、抓住本質(zhì)找聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合不可少

例1在平面直角坐標系xOy中，已知

（1）若拋物線經(jīng)過點（1，k2），求k的值.

（2）若拋物線經(jīng)過點（2k，y1）和點（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍.

（3）若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當1≤x≤2時，新拋物線對應

【分析】（1）把點（1，k2）代入拋物線函數(shù)中，得到關(guān)于k的方程

（2）方法一：可以直接把點（2k，y1）和點（2，y2）分別代入拋物線表達式，得到y(tǒng)1=

再根據(jù)y1＞y2這個不等關(guān)系，得到關(guān)于k的不等式：

解這個不等式得k＞1.

方法二：也可根據(jù)二次函數(shù)的圖像分類解決問題.由函數(shù)表達式的式結(jié)構(gòu)，可以得到圖像的形結(jié)構(gòu)為開口向上，對稱軸為直線x=k-1，接下來由y1＞y2，可以得到兩種情況：

分別解上述兩個不等式組，也可求得k＞1.

（3）考查函數(shù)圖像的平移變換，根據(jù)“左加右減”，得到新的函數(shù)表達式為y=（x-也可先進行配方，得到頂點式y(tǒng)=［x-（k-1）］2再向右平移一個單位得到新的函.因此新拋物線的分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三種情況討論.

【點評】函數(shù)圖像既可以通過點的坐標確定，又可以通過圖形變換得到，需要同學們抓住變換的本質(zhì)——點變換，從而以不變應萬變.（2）（3）兩問都需要結(jié)合函數(shù)圖像進行分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為不等式或方程問題.顯然，數(shù)形結(jié)合仍然是解決函數(shù)問題的有效工具.

二、函數(shù)模型架橋梁，理解題意是關(guān)鍵

例2 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困戶承包了荒山，種植某品種蜜柚.到了收獲季節(jié)，已知該蜜柚的成本價為8元/千克，投入市場銷售時，調(diào)查市場行情，發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧本，且每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

圖1

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

（2）當該品種蜜柚定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚4800千克，該品種蜜柚的保質(zhì)期為40天，根據(jù)（2）中獲得最大利潤的方式銷售，能否銷售完這批蜜柚？請說明理由.

【分析】（1）由函數(shù)圖像可知，銷售量y與銷售單價x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，因此可以利用待定系數(shù)法解決.設函數(shù)表達式為y=kx+b，代入兩點坐標（10，200）和（15，150），即可求得函數(shù)表達式為y=-10x+300，由于-10x+300≥0，所以x≤30，故x的取值范圍為8≤x≤30.

（2）要求利潤最大值，可以建立函數(shù)模型來解決.設利潤為W，根據(jù)題意，得W=（x-8）（-10x+300）=-10（x-19）2+1210，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出最大值，即當x=19時，利潤最大值為1210元.

（3）由（2）可知，當x=19即銷售單價為19元時，獲得最大利潤，此時每天銷售量為y=-10x+300=-10×19+300=110，110×40=4400＜4800，故不能銷售完這批蜜柚.

【點評】該實際問題利用了一次函數(shù)和二次函數(shù)模型進行解決，函數(shù)模型架起了一座從實際問題到數(shù)學問題的橋梁.其中，二次函數(shù)模型是求解實際生活中最值問題的常用的有效工具.一般解決步驟為：先根據(jù)題意建立兩個變量，找到實際問題中的等量關(guān)系并求出函數(shù)表達式；再利用配方或公式法求出頂點，從而求出函數(shù)最值；最后結(jié)合實際情況進行檢驗，確定實際問題的最值.

三、注重基礎知識，掌握共性通法

例3 如圖2，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標為1，點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，點E的坐標為（1，1）.

圖2

（1）求線段AB的長.

（2）點P為線段AB上方拋物線上的任意一點，過點P作AB的垂線，交AB于點H，點F為y軸上一點，當△PBE的面積最大

【分析】（1）拋物線的對稱軸為直線x==2.因為點A的橫坐標為1，由拋物線的對稱性可得，點B的橫坐標為3.由于直線AB是一條水平線，所以線段AB的長為xB-xA=3-1=2.

（2）如圖3，延長PH，交BE于N.

從而當PN取最大值時，△PBE的面積最大.

圖3

圖4

圖5

【點評】本題考查了線段長度、三角形面積、線段和最值、特殊四邊形的存在性等問題，具有較強的綜合性.將問題轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，再利用點的坐標求出函數(shù)關(guān)系式進行解決，是解決此類問題的通法.同時，還需要同學們具有扎實的基礎，總結(jié)對常見問題的解題策略，如面積公式、線段和最值、分類思想等.

以上帶著大家歸納了解決二次函數(shù)問題的策略方法.需知，數(shù)學學習需要舉一反三.