《曲面積分》的教學(xué)方法探索

摘 要：本文首先分析傳統(tǒng)的曲面積分教學(xué)方法存在的三個(gè)弱點(diǎn)：學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性差、知識(shí)結(jié)構(gòu)混亂和不能解決實(shí)際問(wèn)題，然后提出按照“問(wèn)題—數(shù)學(xué)模型—計(jì)算—應(yīng)用”組織教學(xué)內(nèi)容，從“示范、模仿、討論與練習(xí)、總結(jié)、應(yīng)用探究”五個(gè)方面完成以課堂討論為主的教學(xué)方法。多次教學(xué)實(shí)踐結(jié)果表明該教學(xué)辦法能夠提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力、計(jì)算能力和解決應(yīng)用問(wèn)題的能力，從而提升教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：曲面積分 討論式學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)模型

一、存在的問(wèn)題分析

曲面積分是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在通行的教材[1]中將它分解到對(duì)面積的曲面積分、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分和高斯公式（含通量與散度）三節(jié)中，教師講課時(shí)，基本上采用老師臺(tái)上講、學(xué)習(xí)課上（后）練的教學(xué)方法，勤奮的同學(xué)能夠?qū)W會(huì)解特定類型的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，很多同學(xué)一團(tuán)糟，即使考試通過(guò)也不會(huì)用，達(dá)不到學(xué)以致用的目的。

通過(guò)與學(xué)生和專業(yè)課教師交流和分析試卷后，我們發(fā)現(xiàn)以下問(wèn)題：（1）學(xué)生不是課堂的主角，學(xué)習(xí)主動(dòng)性很差；（2）老師講得太快，學(xué)生跟不上教師的節(jié)奏，從而放棄；（3）會(huì)算某些題，但遇到應(yīng)用問(wèn)題就束手無(wú)策；（4）解題思路混亂，計(jì)算中錯(cuò)誤百出。

分析這些問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)按照教程常規(guī)教學(xué)中的一些弱點(diǎn)：（1）學(xué)生不能主動(dòng)融入課堂教學(xué)過(guò)程，課堂學(xué)習(xí)效果有折扣；（2）學(xué)生沒(méi)能有效地形成知識(shí)的組織結(jié)構(gòu)，故會(huì)解題思路混亂；（3）講授背景知識(shí)來(lái)源單一或?qū)罄m(xù)課程了解較少或不知如何應(yīng)用，只在高等數(shù)學(xué)的圓圈里轉(zhuǎn)，因此學(xué)生也就不會(huì)應(yīng)用。針對(duì)這些問(wèn)題，經(jīng)過(guò)幾年的教學(xué)探索與實(shí)踐，認(rèn)為可以引入以討論式學(xué)習(xí)為主的教學(xué)方法和數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，可以部分避免這些弱點(diǎn)，提升教學(xué)效果。

二、教學(xué)方法與實(shí)踐過(guò)程

（一）依照教學(xué)目標(biāo)，重新設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程

曲面積分的教學(xué)目標(biāo)是希望學(xué)生學(xué)習(xí)完成后不僅能夠計(jì)算書后的題目，還能從實(shí)際問(wèn)題中建立曲面積分模型，然后利用曲面積分的計(jì)算方法得到結(jié)果。因此，我們將教材[1]中的三節(jié)內(nèi)容作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，沿著“問(wèn)題—數(shù)學(xué)模型—計(jì)算—應(yīng)用”四個(gè)部分的進(jìn)行內(nèi)容組織，按照“示范、模仿、討論與練習(xí)、總結(jié)、應(yīng)用探究”五個(gè)方面完成教與學(xué)，并以課堂討論與總結(jié)為主要形式。

示范：教師主講，學(xué)生主學(xué)。教師利用元素法建立2-3個(gè)曲面積分模型，同時(shí)強(qiáng)調(diào)兩類曲面積分之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生主學(xué)。

模仿：學(xué)生動(dòng)口動(dòng)手動(dòng)腦，教師指導(dǎo)。學(xué)生課堂討論并模仿老師的步驟建立2-3個(gè)曲面積分模型，并小結(jié)建模過(guò)程及關(guān)鍵點(diǎn)。

討論與練習(xí)：學(xué)生為主，教師引導(dǎo)。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般的次序討論曲面積分的計(jì)算問(wèn)題，動(dòng)手實(shí)際完成計(jì)算過(guò)程，并小結(jié)計(jì)算步驟和注意細(xì)節(jié)。

總結(jié)：教師與學(xué)生共同參與，學(xué)生為主，教師補(bǔ)充。先由學(xué)生在課堂上總結(jié)模型建立和求解的方法與步驟，教師補(bǔ)充完善，尤其注意計(jì)算方法的總結(jié)要細(xì)致、指導(dǎo)性強(qiáng)。

應(yīng)用探究：依照“問(wèn)題-模型-求解”的流程，學(xué)生分組完成1-2個(gè)課外研究題目，并提交電子文檔；此階段學(xué)生為主完成，教師指導(dǎo)和監(jiān)控進(jìn)度。

（二）組織課堂討論，促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

課堂討論分為模型建立和模型求解即曲面積分的計(jì)算兩個(gè)階段。建模的題目可以涉及多個(gè)方面，如不規(guī)則曲面的壓力計(jì)算問(wèn)題，球面的面積，圓環(huán)的表面積問(wèn)題，具有特殊電荷分布的電場(chǎng)強(qiáng)度，通過(guò)某個(gè)曲面的光通量，通過(guò)水閘口的水流量等等，總之，通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的討論，學(xué)生能夠模仿教師的示例建立曲面積分模型。在模型建立的時(shí)候不要直接選擇直角坐標(biāo)系，而是讓學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)進(jìn)行選擇。

曲面積分的計(jì)算是重點(diǎn)討論內(nèi)容，需要時(shí)間較多，要求每個(gè)學(xué)生都參與其中。具體過(guò)程：（1）教師不要直接要求學(xué)生去解決一個(gè)題目，而是引導(dǎo)學(xué)生分析所得的模型，全面了解曲面積分計(jì)算涉及的多個(gè)影響因素：被積函數(shù)、曲面及其方程、面積元素以及坐標(biāo)系；（2）教師引導(dǎo)學(xué)生討論并確定平面、圓柱面、圓錐面、球面、旋轉(zhuǎn)拋物面和一般曲面在不同坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程、法向量和面積元素表達(dá)式，建立起計(jì)算曲面積分的基本量及其相互的影響，并考慮被積函數(shù)的影響；（3）對(duì)教師給出的精選的例題進(jìn)行實(shí)際計(jì)算，強(qiáng)化通過(guò)討論獲得的知識(shí)。整個(gè)討論過(guò)程，教師要適當(dāng)引導(dǎo)但又不能操之過(guò)急，在學(xué)生討論情緒高漲時(shí)不要打斷它們，只需要提醒它們別偏離方向太遠(yuǎn)就行。

通過(guò)積極的課堂討論，可以促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，形成曲面積分的自己獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（三）注重總結(jié)，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)

總結(jié)有利于形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的能力的重要步驟。學(xué)生必須參與知識(shí)、方法和步驟的總結(jié)過(guò)程，以完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)?？偨Y(jié)可在完成相關(guān)內(nèi)容的課堂討論以及每完成一部分教學(xué)內(nèi)容（如建模、計(jì)算）后進(jìn)行。先由學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)短的總結(jié)，然后由教師要對(duì)他們的總結(jié)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、提升和完善，因此總結(jié)是多方面、多階段完成的。

（四）增加課外探究題目，提升學(xué)生綜合能力

為了鞏固課堂學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生綜合能力，除了必備的計(jì)算題目外，我們還增加了多個(gè)課外探究題目，如利用曲面積分證明阿基米德浮力定律，利用曲面積分計(jì)算的電場(chǎng)強(qiáng)度、空間立體角等實(shí)際應(yīng)用性較強(qiáng)的題目，也有游泳圈的表面積、球面上多邊形的面積計(jì)算等數(shù)學(xué)味道的應(yīng)用題。對(duì)這些題目，讓學(xué)生分組討論完成，并提交電子文檔，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力以及人際交流能力和計(jì)算機(jī)能力。

三、教學(xué)效果

與傳統(tǒng)教學(xué)方法比較，學(xué)生通過(guò)本文的教學(xué)過(guò)程的收獲更多：“更深刻地理解了dS、dxdy、dydz、dzdx之間的關(guān)系，更深入地體會(huì)如何根據(jù)曲面選擇合適的坐標(biāo)系計(jì)算曲面積分”，“通過(guò)探究題目，對(duì)高斯公式有了更深層次的理解”，“對(duì)曲面積分的應(yīng)用有了深刻了解，學(xué)會(huì)了用曲面積分知識(shí)去處理一些應(yīng)用問(wèn)題”等；同時(shí)，學(xué)生在期末考試中曲面積分的題目的平均得分率也提升了近20%。因此，實(shí)行這種教學(xué)方法整體上是有一定效果的。

四、問(wèn)題與思考

教學(xué)實(shí)踐中也遇到一些問(wèn)題：（1）由于增加了不少課堂討論和探究?jī)?nèi)容，占用學(xué)時(shí)數(shù)會(huì)增加；（2）合適的探究題目的選擇難度較大，不易把控；（3）由于傳統(tǒng)考試中不能考察學(xué)生的建模與應(yīng)用能力，只能增加平時(shí)成績(jī)的比例；（4）課堂討論需要學(xué)生先期預(yù)習(xí)或者自學(xué)相關(guān)內(nèi)容，有少部分學(xué)生辦不到，會(huì)降低他們課堂討論效果；（5）大多數(shù)同學(xué)容易接受該教學(xué)方法，但有少量學(xué)生確實(shí)不適應(yīng)，它們?cè)谄谀┛荚囍谐煽?jī)極低，如何兼顧這少量的學(xué)生需要更有效的辦法。

針對(duì)教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)的這些問(wèn)題，我認(rèn)為可以在教材編寫、學(xué)習(xí)效果考核、學(xué)生選課前的指導(dǎo)方面進(jìn)行改變，可能會(huì)部分消除這些問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)[M].高等教育出版社，2014：7.

作者簡(jiǎn)介

張興元（1971.04—），男，漢族，籍貫：重慶忠縣，碩士，副教授，現(xiàn)就職于西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（峨眉），研究方向：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)教學(xué)。