單元教學(xué)設(shè)計之等差數(shù)列前n項和公式

張麗

【摘 要】 在單元教學(xué)過程中，本節(jié)內(nèi)容以“等差數(shù)列前項和公式”為主線，將生活問題、數(shù)學(xué)文化融入課堂，適當(dāng)設(shè)計小組討論和學(xué)生獨立思考，為學(xué)生創(chuàng)造課堂展示的機會、提供發(fā)揮自我能動性的平臺。

【關(guān)鍵詞】單元教學(xué)；等差數(shù)列；前n項和

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版）中第二章第三節(jié)的第一課時。求數(shù)列前n項和其本質(zhì)是研究如何將很多項的求和表達(dá)式盡可能簡化為有限項的運算形式，通過對求和公式的推導(dǎo)可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法。

一、創(chuàng)設(shè)情境

問題：如圖所示，梯形圍擋中堆放了一些木柴，堆放形式如圖所示，請問：

①前6層共有多少根木頭？

②前15層共有多少根木頭？

③前50層共有多少根木頭？

每個問題提出后給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r間進(jìn)行計算，然后鼓勵學(xué)生自主發(fā)言，在他們回答結(jié)果的同時說出計算方式。

設(shè)計意圖：通過情景的設(shè)置讓學(xué)生感受到：對于等差數(shù)列，當(dāng)n比較小時，我們能把幾項和直接計算出來，但當(dāng)n比較大時，我們無法立即計算出來。此時，我們就需要將n比較大時的很多項求和形式想辦法轉(zhuǎn)換成有限項的表達(dá)式。

二、探究新知

1.前n項和的定義

一般地，我們稱a+a+a…+a為數(shù)列{a}的前n項和，用S表示，即S=a+a+a…+a。

教師引導(dǎo)學(xué)生分析本節(jié)課所學(xué)知識的本質(zhì)——怎樣簡化表達(dá)S，即怎樣將前n項和中很多項的形式轉(zhuǎn)化成有限項的表達(dá)式。聯(lián)系已有知識和方法，從什么途徑解決這個問題？此時，老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)時所用到的方法，利用前面所學(xué)方法的思路簡化運算過程。

2.等差數(shù)列前n項和公式

（1）從代數(shù)角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式（倒序相加法）

高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，相傳在高斯10歲那年，他的數(shù)學(xué)老師給全班同學(xué)出了一道題“1+2+3+…+100=？”高斯僅用幾分鐘就把結(jié)果算出來了，使他的數(shù)學(xué)老師大為折服。

1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=50×（1+100）=5050

由學(xué)生討論其算法的巧妙之處，教師適時點評。

那么，對于一般的等差數(shù)列求前n項和，高斯算法對我們有什么啟示呢？

設(shè)等差數(shù)列{a}的首項為a，公差為d，S=a+a+…+a由學(xué)生討論，總結(jié)出高斯算法對一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義。

老師給個提示，請同學(xué)們回憶一下梯形面積公式是如何推導(dǎo)的？小組之間進(jìn)行討論，選小組代表發(fā)表討論結(jié)果。課件演示：如何求以a為上底，b為下底，高為h的梯形面積s的大?。坎⑴溆袌D形。

因此，在求一般等差數(shù)列前n項和時，可采用這種“倒置”的思路，讓學(xué)生自己動手實踐。

（2） 從幾何角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式（數(shù)形結(jié)合——割補法）

S=a+a+a+…+a。

我們將等差數(shù)列{a}的每一項看作寬度相等高度成等差的小矩形，由等差數(shù)列的性質(zhì)得（a+a）=（a+a）=（a+a）=…=（a+a），即如圖3所示：

由圖形可知S=2S=長×寬=n·（a+a）

則S=。

同理，S=2S=長×寬=n[2a+（n-1）d]

=2na+n（n-1）d

即S=na+d。

因此，等差數(shù)列前n項和公式為：S==na+d。

三、例題講解

例1：學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前項和公式，我們就能解決本節(jié)課開始時所提出的問題3：前50層共有多少根木頭？

由等差數(shù)列前n項和公式：S=na+d可知當(dāng)a=4，d=1時，S=4n+=，n=50時，S==1425。

因此，堆導(dǎo)出第50層時共有1425根木頭。

四、課堂訓(xùn)練

給學(xué)生時間獨立完成課本上的練習(xí)題，再由小組交流，同伴補充，教師點評。

五、課堂小結(jié)

小組討論，代表發(fā)言，師生補充。

（1）知識技能方面：等差數(shù)列前n項和公式S==na+d的推導(dǎo)及運用；

（2）數(shù)學(xué)思想方法方面：運用倒序相加法和數(shù)形結(jié)合法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。

六、教學(xué)反思

教學(xué)的重點是探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路，我們的目標(biāo)主要是讓學(xué)生知道這個公式的來龍去脈，以及這個公式背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法與思維過程，而并不僅是讓學(xué)生機械地記住這個公式。因此，教師需要適時為學(xué)生搭建“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生回顧梯形面積公式的推導(dǎo)方法，實現(xiàn)由“高斯算法”到“倒序相加法”的平穩(wěn)過渡。

等差數(shù)列前n項和公式是本節(jié)課的教學(xué)主線，生活問題和數(shù)學(xué)文化豐富了課堂內(nèi)容，運用倒序相加法和割補法來進(jìn)行公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的靈魂所在。因此，將數(shù)學(xué)知識的形成過程清晰完整地展現(xiàn)在學(xué)生面前顯得尤為重要，我們數(shù)學(xué)教師要努力做一個講道理的好老師。

【參考文獻(xiàn)】

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