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    單元教學(xué)設(shè)計之等差數(shù)列前n項和公式

    2018-12-21 11:17:50張麗
    文理導(dǎo)航 2018年29期
    關(guān)鍵詞:等差數(shù)列單元教學(xué)

    張麗

    【摘 要】 在單元教學(xué)過程中,本節(jié)內(nèi)容以“等差數(shù)列前項和公式”為主線,將生活問題、數(shù)學(xué)文化融入課堂,適當(dāng)設(shè)計小組討論和學(xué)生獨立思考,為學(xué)生創(chuàng)造課堂展示的機會、提供發(fā)揮自我能動性的平臺。

    【關(guān)鍵詞】單元教學(xué);等差數(shù)列;前n項和

    本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5(人教A版)中第二章第三節(jié)的第一課時。求數(shù)列前n項和其本質(zhì)是研究如何將很多項的求和表達(dá)式盡可能簡化為有限項的運算形式,通過對求和公式的推導(dǎo)可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法。

    一、創(chuàng)設(shè)情境

    問題:如圖所示,梯形圍擋中堆放了一些木柴,堆放形式如圖所示,請問:

    ①前6層共有多少根木頭?

    ②前15層共有多少根木頭?

    ③前50層共有多少根木頭?

    每個問題提出后給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r間進(jìn)行計算,然后鼓勵學(xué)生自主發(fā)言,在他們回答結(jié)果的同時說出計算方式。

    設(shè)計意圖:通過情景的設(shè)置讓學(xué)生感受到:對于等差數(shù)列,當(dāng)n比較小時,我們能把幾項和直接計算出來,但當(dāng)n比較大時,我們無法立即計算出來。此時,我們就需要將n比較大時的很多項求和形式想辦法轉(zhuǎn)換成有限項的表達(dá)式。

    二、探究新知

    1.前n項和的定義

    一般地,我們稱a+a+a…+a為數(shù)列{a}的前n項和,用S表示,即S=a+a+a…+a。

    教師引導(dǎo)學(xué)生分析本節(jié)課所學(xué)知識的本質(zhì)——怎樣簡化表達(dá)S,即怎樣將前n項和中很多項的形式轉(zhuǎn)化成有限項的表達(dá)式。聯(lián)系已有知識和方法,從什么途徑解決這個問題?此時,老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)時所用到的方法,利用前面所學(xué)方法的思路簡化運算過程。

    2.等差數(shù)列前n項和公式

    (1)從代數(shù)角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式(倒序相加法)

    高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,相傳在高斯10歲那年,他的數(shù)學(xué)老師給全班同學(xué)出了一道題“1+2+3+…+100=?”高斯僅用幾分鐘就把結(jié)果算出來了,使他的數(shù)學(xué)老師大為折服。

    1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×(1+100)=5050

    由學(xué)生討論其算法的巧妙之處,教師適時點評。

    那么,對于一般的等差數(shù)列求前n項和,高斯算法對我們有什么啟示呢?

    設(shè)等差數(shù)列{a}的首項為a,公差為d,S=a+a+…+a由學(xué)生討論,總結(jié)出高斯算法對一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義。

    老師給個提示,請同學(xué)們回憶一下梯形面積公式是如何推導(dǎo)的?小組之間進(jìn)行討論,選小組代表發(fā)表討論結(jié)果。課件演示:如何求以a為上底,b為下底,高為h的梯形面積s的大?。坎⑴溆袌D形。

    因此,在求一般等差數(shù)列前n項和時,可采用這種“倒置”的思路,讓學(xué)生自己動手實踐。

    (2) 從幾何角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式(數(shù)形結(jié)合——割補法)

    S=a+a+a+…+a。

    我們將等差數(shù)列{a}的每一項看作寬度相等高度成等差的小矩形,由等差數(shù)列的性質(zhì)得(a+a)=(a+a)=(a+a)=…=(a+a),即如圖3所示:

    由圖形可知S=2S=長×寬=n·(a+a)

    則S=。

    同理,S=2S=長×寬=n[2a+(n-1)d]

    =2na+n(n-1)d

    即S=na+d。

    因此,等差數(shù)列前n項和公式為:S==na+d。

    三、例題講解

    例1:學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前項和公式,我們就能解決本節(jié)課開始時所提出的問題3:前50層共有多少根木頭?

    由等差數(shù)列前n項和公式:S=na+d可知當(dāng)a=4,d=1時,S=4n+=,n=50時,S==1425。

    因此,堆導(dǎo)出第50層時共有1425根木頭。

    四、課堂訓(xùn)練

    給學(xué)生時間獨立完成課本上的練習(xí)題,再由小組交流,同伴補充,教師點評。

    五、課堂小結(jié)

    小組討論,代表發(fā)言,師生補充。

    (1)知識技能方面:等差數(shù)列前n項和公式S==na+d的推導(dǎo)及運用;

    (2)數(shù)學(xué)思想方法方面:運用倒序相加法和數(shù)形結(jié)合法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式。

    六、教學(xué)反思

    教學(xué)的重點是探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路,我們的目標(biāo)主要是讓學(xué)生知道這個公式的來龍去脈,以及這個公式背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法與思維過程,而并不僅是讓學(xué)生機械地記住這個公式。因此,教師需要適時為學(xué)生搭建“腳手架”,引導(dǎo)學(xué)生回顧梯形面積公式的推導(dǎo)方法,實現(xiàn)由“高斯算法”到“倒序相加法”的平穩(wěn)過渡。

    等差數(shù)列前n項和公式是本節(jié)課的教學(xué)主線,生活問題和數(shù)學(xué)文化豐富了課堂內(nèi)容,運用倒序相加法和割補法來進(jìn)行公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的靈魂所在。因此,將數(shù)學(xué)知識的形成過程清晰完整地展現(xiàn)在學(xué)生面前顯得尤為重要,我們數(shù)學(xué)教師要努力做一個講道理的好老師。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]工敬文.數(shù)列的教學(xué)設(shè)計研究[D].東北師范大學(xué),2006

    [2]覃倩.等差數(shù)列前n項和公式教學(xué)設(shè)計及其分析[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報,2012.28(310):29-30

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