對(duì)象拓展型新運(yùn)算：概念、意義與教學(xué)思路*

頓繼安

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120)

運(yùn)算是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力自上個(gè)世紀(jì)六十年代以來(lái)一直是我國(guó)數(shù)學(xué)課程確定的三大能力之一，在最近剛剛頒布的高中課程標(biāo)準(zhǔn)中，“運(yùn)算素養(yǎng)”亦被定為六項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.我國(guó)的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐在運(yùn)算方面的做法和成就令人矚目，其中，“運(yùn)算速度保證思維效率”被認(rèn)為是我國(guó)“雙基教學(xué)”特征之一[1].一項(xiàng)針對(duì)六年級(jí)學(xué)生的中美比較研究發(fā)現(xiàn)[2]，中國(guó)學(xué)生計(jì)算題的得分率顯著高于美國(guó)學(xué)生.但是這個(gè)研究中另一個(gè)數(shù)據(jù)也引人深思：20道計(jì)算題中，美國(guó)學(xué)生的得分超過(guò)中國(guó)學(xué)生的僅是一道選擇題：

5+(-4)等于幾？

A.1 B.-1 C.9 D.-9

兩國(guó)學(xué)生在這個(gè)年級(jí)都沒(méi)有學(xué)過(guò)有負(fù)數(shù)參與的加法，面對(duì)沒(méi)有現(xiàn)成知識(shí)可用的問(wèn)題，美國(guó)學(xué)生的得分高于中國(guó)學(xué)生，美國(guó)學(xué)生明顯更愿意冒險(xiǎn)去解決這個(gè)問(wèn)題.這個(gè)調(diào)查也從某種程度說(shuō)明，我國(guó)學(xué)生擅長(zhǎng)運(yùn)用現(xiàn)成的法則運(yùn)算，但自主利用已有知識(shí)構(gòu)建新運(yùn)算法則的能力不足，這種不足可能與教學(xué)中“有些教師不關(guān)心解釋?zhuān)环囊?guī)定”[3]有關(guān)，而新近提出的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)“是旨在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)”，關(guān)注的也是學(xué)生如何應(yīng)用現(xiàn)成的運(yùn)算法則靈活地解決問(wèn)題，并未提及學(xué)生建構(gòu)新的運(yùn)算法則的過(guò)程.

運(yùn)算法則是數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心，它的得出過(guò)程同樣值得關(guān)注，筆者的研究表明，中學(xué)數(shù)學(xué)中一類(lèi)新運(yùn)算法則的形成過(guò)程的特點(diǎn)，使得其具有獨(dú)特的價(jià)值，本文擬對(duì)此進(jìn)行探討.

1 對(duì)象拓展型新運(yùn)算概念及其教育價(jià)值

1.1 對(duì)象拓展型新運(yùn)算概念的提出

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新運(yùn)算中，有些是全新的，其內(nèi)涵、名稱(chēng)、符號(hào)學(xué)生都是首次見(jiàn)到，例如乘方、開(kāi)方、對(duì)數(shù)運(yùn)算等.但有些新運(yùn)算并非全新，例如有理數(shù)加法，其運(yùn)算名、運(yùn)算符號(hào)都是學(xué)生熟悉的，只是參與運(yùn)算的對(duì)象是新的，我們稱(chēng)這種僅是運(yùn)算對(duì)象變化了的新運(yùn)算為對(duì)象拓展型新運(yùn)算，這樣的新運(yùn)算在中學(xué)數(shù)學(xué)中很多，比如，有理數(shù)的四則運(yùn)算、實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方運(yùn)算、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算、向量的加減運(yùn)算等都屬于對(duì)象拓展型新運(yùn)算.

對(duì)象拓展型新運(yùn)算知識(shí)的特點(diǎn)決定了其具有獨(dú)特的教育價(jià)值，而這些價(jià)值的揭示需要相應(yīng)的教學(xué)思路.

1.2 對(duì)象拓展型新運(yùn)算的教育價(jià)值

作為一個(gè)概念，對(duì)象拓展型新運(yùn)算并不屬于數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的范疇，而是屬于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)(MPCK)，它概括了一類(lèi)運(yùn)算知識(shí)的形成特點(diǎn)，揭示了一些不同的具體運(yùn)算間的更上位、更深層的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到這種聯(lián)系將會(huì)對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都會(huì)產(chǎn)生影響.實(shí)際上，這一概念的提出，也源自筆者在教學(xué)實(shí)踐中觀(guān)察到的學(xué)生在面對(duì)這類(lèi)新運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，由于不能把握這類(lèi)運(yùn)算問(wèn)題“對(duì)象拓展”的特點(diǎn)而導(dǎo)致的自主性缺失的現(xiàn)象.

請(qǐng)看一個(gè)案例.

案例沒(méi)學(xué)過(guò)，我不會(huì)

“冪的乘法”一課，在等待上課的時(shí)候，筆者瀏覽了一下教師的學(xué)案，看到了一組位于大小為B4的學(xué)案紙的中部的一組題目：

(1)78×75； (2)(-2)2(-2)5；

(3)(0.5)4(0.5)3; (4)(x+y)2(x+y)

在教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中，這幾個(gè)題目是得到同底數(shù)冪的運(yùn)算法則后的一組習(xí)題，筆者請(qǐng)身邊的一位同學(xué)試著做一下這組題目，沒(méi)想到該生非常干脆得拒絕了：“老師，沒(méi)學(xué)過(guò)，我不會(huì)”.

執(zhí)教的數(shù)學(xué)老師走過(guò)來(lái)，鼓勵(lì)他道：你是咱班數(shù)一數(shù)二的學(xué)生，能不會(huì)嗎？試試看！

該生說(shuō)：老師，這個(gè)還沒(méi)學(xué)過(guò)呢，我真的不會(huì)！

筆者指著其中的第一題，問(wèn)他：你先說(shuō)一說(shuō)，這題讓你干什么呢？

該生說(shuō)：要做乘法.

筆者問(wèn)：那你說(shuō)說(shuō)，這里78是什么意思？

生：8個(gè)7相乘.

筆者：75呢？

生：5個(gè)7相乘.

筆者問(wèn)：那你現(xiàn)在能寫(xiě)出這道題目的結(jié)果嗎？

生：能，就是713.

筆者說(shuō)：接著往下做試試，你會(huì)的.

接下來(lái)該生又做出了(2)(3)題，到第四個(gè)題目時(shí)，他又停了下來(lái)：“老師，這個(gè)我可真不會(huì)了.”

筆者鼓勵(lì)他用分析第一題的方法再試試，該生嘗試后很快也將得出了正確答案.

同底數(shù)乘法就屬于對(duì)象拓展型新運(yùn)算，78×75雖然是此前學(xué)生并未見(jiàn)過(guò)的新問(wèn)題，但其中并無(wú)陌生的符號(hào)、未學(xué)過(guò)的知識(shí)，而案例中學(xué)生的表現(xiàn)說(shuō)明，他最大的障礙來(lái)自“沒(méi)學(xué)過(guò)，我不會(huì)”的觀(guān)念.縱觀(guān)這一過(guò)程，筆者并沒(méi)有告訴他如何做，只是幫助他打破了自己的既有觀(guān)念，指導(dǎo)他如何思考所面對(duì)的問(wèn)題：還原運(yùn)算和運(yùn)算的對(duì)象的意義，借助已經(jīng)解決的、具體的問(wèn)題思考復(fù)雜的、抽象的問(wèn)題——而這本來(lái)可以是學(xué)生在先前所學(xué)的其他對(duì)象拓展型新運(yùn)算中應(yīng)該學(xué)習(xí)的.

李尚志教授認(rèn)為：“一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力，就是能利用舊知識(shí)解決新問(wèn)題的能力，更高一點(diǎn)，利用舊知識(shí)生長(zhǎng)新知識(shí)的能力”[4]，這種能力本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的自主發(fā)展能力，它是中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)之一，義務(wù)教育階段和普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣”“學(xué)會(huì)思考”“獨(dú)立思考”等都于此有關(guān)[5][6].而把握了一些運(yùn)算“對(duì)象拓展”的本質(zhì)特征的教師，將會(huì)更為積極得看到學(xué)生獨(dú)立解決相關(guān)問(wèn)題的可能性，也就更愿意為學(xué)生提供更多獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會(huì)，學(xué)生在先前的對(duì)象拓展型新運(yùn)算的學(xué)習(xí)中所獲得的思維方法也將更好地在后面的知識(shí)學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用，后面的新運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)成為先前所學(xué)原理的“練習(xí)”，于是，遇到的許多“新”運(yùn)算就不再新，而只是自己解決過(guò)的題目的新形式而已，這將有利于增強(qiáng)學(xué)生的理解力和知識(shí)的遷移應(yīng)用能力.

2 對(duì)象拓展型新運(yùn)算知識(shí)的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題

實(shí)際上，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生都出于問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，所設(shè)計(jì)的驅(qū)動(dòng)對(duì)象拓展型新運(yùn)算知識(shí)產(chǎn)生的問(wèn)題有兩種：一是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，二是數(shù)學(xué)內(nèi)部的隨著對(duì)象拓展而自然產(chǎn)生的運(yùn)算問(wèn)題.

以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)對(duì)象拓展型新運(yùn)算產(chǎn)生揭示了每個(gè)具體的對(duì)象拓展型新運(yùn)算的算式都具有 “用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言簡(jiǎn)述現(xiàn)實(shí)的故事”的屬性，在注重“應(yīng)用意識(shí)”“數(shù)學(xué)建?！钡恼n改背景下，這樣的引入方式更為常見(jiàn)，以有理數(shù)加法為例，某版本教材的如下幾個(gè)問(wèn)題是典型代表[7]：

①如果物體先向右運(yùn)動(dòng)5米，再向右運(yùn)動(dòng)3米，那么兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果是什么？

②如果物體先向左運(yùn)動(dòng)5米，再向左運(yùn)動(dòng)3米，那么兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果是什么？

③如果物體先向左運(yùn)動(dòng)3米，再向右運(yùn)動(dòng)5米，那么兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果是什么？

④如果物體先向右運(yùn)動(dòng)3米，再向左運(yùn)動(dòng)5米，那么兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果是什么？

然而，由于解決這些實(shí)際問(wèn)題并不需要有理數(shù)加法運(yùn)算的知識(shí)，例如，對(duì)于③④，可以借助自然數(shù)的減法解決，再加上學(xué)生“并沒(méi)有真正達(dá)到將意義相反的量統(tǒng)一并選擇正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算”[8].所以，為了引出有理數(shù)加法，教師會(huì)在列加法算式時(shí)提供細(xì)碎的引導(dǎo).下面這位老師的教學(xué)過(guò)程是一個(gè)典型：

師：先看第①問(wèn)，運(yùn)動(dòng)最后的結(jié)果要從幾個(gè)方面闡述？

生：兩方面

師：哪兩方面?

生：一個(gè)是方向，一個(gè)是運(yùn)動(dòng)了多少米.

師：那么怎樣用式子表示這兩個(gè)方面呢？

生：可以規(guī)定向右為正，向左為負(fù).

師：好，(板書(shū)：規(guī)定向右為正，向左為負(fù))如何列式？

生： ①5+3； ②(-5)-3； ③(-3)+5；④3+(-5).

師：為了更直觀(guān)的呈現(xiàn)，我們把原始式子直接呈現(xiàn)，比如①5+3寫(xiě)為①(+5)+(+3).下面三個(gè)式子可以寫(xiě)為？

生：②(-5)+(-3)；③(-3)+(+5)；④(+3)+(-5).

師：大家思考這四個(gè)式子有什么規(guī)律？提示：我們可以從符號(hào)的角度分析.

……

我們看到，這里的實(shí)際問(wèn)題本來(lái)學(xué)生可以很容易自主解答，但是由于擔(dān)心學(xué)生自主解答會(huì)導(dǎo)致教學(xué)不能朝著既定的路線(xiàn)前進(jìn)，剝奪了學(xué)生自主、流暢、完整地思考的機(jī)會(huì)，也并未體現(xiàn)有理數(shù)加法只是“運(yùn)算對(duì)象拓展”、學(xué)生頭腦中有許多知識(shí)、思想方法可用的特點(diǎn).

實(shí)際問(wèn)題的意圖有兩個(gè)：一是體現(xiàn)有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用，并借助這種應(yīng)用激發(fā)學(xué)生興趣；二是為學(xué)生獲得有理數(shù)加法的結(jié)果、進(jìn)而為概括有理數(shù)加法法則提供情境支持.但筆者的研究表明，當(dāng)教學(xué)直接從數(shù)學(xué)問(wèn)題即 “對(duì)象拓展了的算式如何算”開(kāi)始時(shí)，學(xué)生會(huì)主動(dòng)借助現(xiàn)實(shí)情境解決問(wèn)題，學(xué)生的自主性增強(qiáng)，思維更加活躍，更多的數(shù)學(xué)思想方法被展示.下面是“有理數(shù)加法”的教學(xué)片斷：

案例有理數(shù)加法(1)

師：這段時(shí)間我們一直在學(xué)習(xí)有理數(shù)，根據(jù)大家的經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)撗芯坑欣頂?shù)的什么問(wèn)題了？

生；運(yùn)算.

師：好，今天開(kāi)始我們進(jìn)入有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，我們學(xué)習(xí)過(guò)的加減乘除運(yùn)算遇到有理數(shù)會(huì)怎樣呢？我們先研究有理數(shù)的加法，加法大家都熟悉，最簡(jiǎn)單的加法算式就是一個(gè)加號(hào)兩個(gè)加數(shù)，今天要學(xué)習(xí)的是有理數(shù)加法中，這兩個(gè)加數(shù)需要換成有理數(shù)了.請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一些這樣的有理數(shù)加法的題目，我?guī)痛蠹覍?xiě)下來(lái).

學(xué)生口述，教師板書(shū)，寫(xiě)了如下幾個(gè)題目：

(+7)+(+8)；0+(-4)；(+3)+(-3)；

(-2)+(+1)；(+1)+(-3)；(-2)+(-3)

師：現(xiàn)在黑板上寫(xiě)了這些有理數(shù)加法的計(jì)算題，同學(xué)們一定已經(jīng)開(kāi)始想了：這些題怎么算呢？大家可以自己先試一試，一會(huì)兒我們交流.

大約5分鐘后，組織學(xué)生交流.

學(xué)生1：我說(shuō)一說(shuō)，(+7)+(+8)，先不看正號(hào)，就是小學(xué)的7+8；

學(xué)生2：我是用溫度計(jì)思考的，比如(+1)+(-3)，剛開(kāi)始溫度計(jì)是+1°，下降了3°，就變?yōu)榈扔?2°了；

學(xué)生3： (-2)+(+1)，假設(shè)電梯下降了2層，又上升了1層，就停在了-1層；

學(xué)生4：(+3)+(-3)比如先存入3萬(wàn)元錢(qián)，再取出3萬(wàn)元錢(qián)，就等于沒(méi)存入；

學(xué)生5：我用數(shù)軸的方法，0+(-4)中0就是代表現(xiàn)在的位置，向左移動(dòng)4個(gè)長(zhǎng)度單位，就得到-4.

師：大家用了不同的經(jīng)驗(yàn)、不同的情景得出了算式的結(jié)果，雖然大家用的情景不一樣，但是得出的算式結(jié)果一樣嗎？

學(xué)生異口同聲：一樣.

這里，面對(duì)具體的有理數(shù)加法計(jì)算問(wèn)題，教師不做任何引導(dǎo)，而是直接請(qǐng)學(xué)生自己嘗試，我們看到，學(xué)生能夠主動(dòng)聯(lián)系先前所學(xué)的“有理數(shù)”和“加法”的有關(guān)知識(shí)，諸如轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法被自覺(jué)運(yùn)用.上述過(guò)程還表明：盡管教學(xué)并未從實(shí)際問(wèn)題開(kāi)始，但學(xué)生主動(dòng)在不同的現(xiàn)實(shí)情境中解釋數(shù)學(xué)結(jié)果，這同樣是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)化能力的另一種體現(xiàn)[9]，而不同的學(xué)生為同一個(gè)算式賦予的不同情境，還顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性與廣泛應(yīng)用性的特點(diǎn).

3 基于對(duì)象拓展型新運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)與突破策略

既然對(duì)象拓展型新運(yùn)算與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)非常接近，是不是學(xué)生都能夠非常順利的解決具體的運(yùn)算問(wèn)題、并能夠從中抽象概括出新的知識(shí)呢？并非如此，學(xué)生會(huì)在知識(shí)形成的兩個(gè)關(guān)鍵處遇到困難：一是具體算式的結(jié)果，二是怎樣從具體運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)中抽象出運(yùn)算法則.

3.1 認(rèn)清學(xué)生解決具體運(yùn)算問(wèn)題的活動(dòng)定位

對(duì)于具體的算式，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)異于標(biāo)準(zhǔn)答案的情況.最典型的就是有理數(shù)乘法中“兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘”問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生提出(-2)×(-3)=-6.遇到這種情況，有的老師會(huì)直接給學(xué)生反饋說(shuō)“不對(duì)”，這種處理方式不符合這個(gè)階段的活動(dòng)的本質(zhì)，這一階段實(shí)質(zhì)是在“約定運(yùn)算法則”，在得到共同認(rèn)可的法則前，并無(wú)判斷答案是否正確的標(biāo)準(zhǔn)，因此，此時(shí)的討論需要圍繞著“應(yīng)該怎樣約定運(yùn)算法則”進(jìn)行，了解學(xué)生為什么認(rèn)為(-2)×(-3)=-6是根本，下面就是基于這樣認(rèn)識(shí)的一段課堂對(duì)話(huà)：

案例有理數(shù)乘法

師：你是怎么想的？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)有理數(shù)相加，結(jié)果就是兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相加，符號(hào)為負(fù)，所以我覺(jué)得乘法也是.

師：你能夠類(lèi)比有理數(shù)的加法得到有理數(shù)乘法的結(jié)果，非常好.但我有點(diǎn)而好奇的是，前面的算式(+2)×(-3)是怎么算的？得到的答案是多少？”

生：也是-6，我覺(jué)得(+2)×(-3)就是兩個(gè)-3相加，所以應(yīng)是-6.

師：這道題你是結(jié)合乘法與加法的邏輯關(guān)系給出的結(jié)果，并沒(méi)有直接套用有理數(shù)加法法則，看來(lái)你解決問(wèn)題的方法選擇還是很靈活的.不過(guò)，同學(xué)們可能都意識(shí)到了，相信你自己也意識(shí)到了，大家對(duì)(-2)×(-3)的結(jié)果的絕對(duì)值為6沒(méi)有爭(zhēng)議，但是符號(hào)有爭(zhēng)議.怎么解決這個(gè)爭(zhēng)議呢？這個(gè)結(jié)果到底應(yīng)該是多少呢？

生：我覺(jué)得應(yīng)該是+6，因?yàn)槿绻?6的話(huà)，(+2)×(-3)與(-2)×(-3)的結(jié)果相同了，不太好，式子差一個(gè)符號(hào)呢！

其他同學(xué)也都表示同意以+6為結(jié)果，有同學(xué)補(bǔ)充：(-2)×(-3)可以看成是(+2)×(-3)的相反數(shù).

師：看來(lái)如果結(jié)合(+2)×(-3)的結(jié)果，(-2)×(-3)的結(jié)果為+6更合理，我們是不是已經(jīng)可以達(dá)成一致了：(-2)×(-3)=+6，也就是兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的結(jié)果為正數(shù)？

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭.

如果對(duì)數(shù)學(xué)史有所了解的話(huà)，就會(huì)看到上面的過(guò)程與歷史上的大數(shù)學(xué)家歐拉的解釋何其相似：歐拉認(rèn)為(-1)與(-1)的乘積必定是+1或-1，但因?yàn)?×(-1)=-1，所以(-1)×(-1)=+1.實(shí)際上，盡管中學(xué)階段所學(xué)的數(shù)學(xué)運(yùn)算都來(lái)自對(duì)現(xiàn)實(shí)中的具體事物的抽象，判斷一個(gè)運(yùn)算法則的正確性主要看其是否與對(duì)象的現(xiàn)實(shí)意義一致，但在數(shù)學(xué)史上，隨著復(fù)數(shù)、四元數(shù)運(yùn)算理論的出現(xiàn)，關(guān)于運(yùn)算已經(jīng)形成了更高的、形式化的觀(guān)點(diǎn)，在這一觀(guān)點(diǎn)下，“把各個(gè)運(yùn)算規(guī)則之間的相容性而不是把對(duì)象本身的意義作為概念正確性的保證”[10]，上面的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生實(shí)質(zhì)上就是在主動(dòng)結(jié)合已經(jīng)認(rèn)可的其他事實(shí)或者法則探討新的運(yùn)算法則，這根本上就是在以“是否滿(mǎn)足邏輯相容性”作為確定新的運(yùn)算法則的標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生在學(xué)習(xí)新運(yùn)算法則的同時(shí)，也在學(xué)習(xí)“約定新運(yùn)算法則的方法”.

3.2 尊重學(xué)生概括法則需要的過(guò)程

從具體算式的解答，到形成一般性的運(yùn)算法則，不同的對(duì)象拓展型新運(yùn)算的難度不同.例如，有理數(shù)乘法法則相對(duì)簡(jiǎn)單，而且有了有理數(shù)加法和減法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生知道運(yùn)算法則需要按照運(yùn)算對(duì)象的性質(zhì)分類(lèi)、將運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)和絕對(duì)值的來(lái)源都表述清楚，所以概括法則的過(guò)程會(huì)比較順利.但是有理數(shù)加法法則就困難多了，許多老師都發(fā)現(xiàn):學(xué)生普遍能夠借助實(shí)際意義得到具體有理數(shù)加法的結(jié)果，但是概括法則卻很困難.數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“如果一名學(xué)生在學(xué)校里沒(méi)有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂(lè)，那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了.”[11]因此，不能想到有困難就事先鋪墊，要讓學(xué)生面對(duì)挑戰(zhàn)，重要的是了解學(xué)生到底會(huì)有何表現(xiàn)、他們的表現(xiàn)的價(jià)值是什么，以此為基礎(chǔ)教師就能做出有效的引導(dǎo).

案例有理數(shù)加法(2)

師：我們同學(xué)依據(jù)不同的現(xiàn)實(shí)情境都得到了結(jié)果，大家所用的情境不一樣，但是得到的相應(yīng)的結(jié)果都是相同的.現(xiàn)在的問(wèn)題是：如果沒(méi)有情境和背景，直接面對(duì)有理數(shù)加法問(wèn)題，我們又可以怎樣做呢？比如，怎么算(-5)+(+7)、(-1)+(-5)？你會(huì)怎么做、怎么想呢？

稍后，安同學(xué)舉手發(fā)言，她說(shuō)：我這樣想，比如說(shuō)像(-5)+(+7)吧，先不看它們的正負(fù)號(hào)，先看它們的絕對(duì)值，一個(gè)是5，一個(gè)是7，符號(hào)一定要保留(照抄)？然后寫(xiě)成7-5；如果負(fù)數(shù)的那個(gè)數(shù)字小，正號(hào)的數(shù)字大，它們得到的符號(hào)就是正號(hào)，數(shù)字就是7-5，結(jié)果就是+2.

教師轉(zhuǎn)向其他同學(xué)追問(wèn)：她說(shuō)“像這個(gè)樣子的”就這樣算，那什么樣子的就可以這樣算呢？黑板上有多少個(gè)題目是這個(gè)樣子的呢？

李同學(xué)：可以用這種方法算前面的負(fù)數(shù)符號(hào)后邊的數(shù)字比正數(shù)符號(hào)后邊的數(shù)字小的情況.

高同學(xué)：我覺(jué)得只要是符號(hào)不同就可以這樣算，黑板上除了第一個(gè)都可以這樣算.

王同學(xué)：一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)相加就可以這樣算.

弗賴(lài)登塔爾說(shuō)：“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表”[12]，這段教學(xué)過(guò)程對(duì)此做出了生動(dòng)的詮釋.首先關(guān)注安同學(xué)的表現(xiàn)，她表面是在陳述一個(gè)具體的算式的運(yùn)算過(guò)程，但實(shí)質(zhì)是在借助這“個(gè)”算式的運(yùn)算過(guò)程表述這“類(lèi)”算式的運(yùn)算法則，體現(xiàn)了“能解決多少就先解決多少”的策略與積極態(tài)度.教師讀懂了這一點(diǎn)，并借助追問(wèn)“到底什么樣子的”和“還有哪些像這個(gè)樣子”讓其他學(xué)生理解安同學(xué)的“言外之意”，引導(dǎo)同學(xué)們先將“這樣子”的算式的運(yùn)算法則找到，從而將“運(yùn)算法則”的得出往前推進(jìn)了一大步.

這段教學(xué)也顯示了學(xué)生生成的過(guò)程與教師預(yù)設(shè)的過(guò)程間經(jīng)常會(huì)存在的巨大差異.從教師的視角看，安同學(xué)所說(shuō)“這樣子”的算式無(wú)疑是“絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加的情況”，然而，對(duì)于不知道標(biāo)準(zhǔn)答案的學(xué)生來(lái)說(shuō)，卻未必這樣理解：李同學(xué)所界定的范圍小于標(biāo)準(zhǔn)答案，高同學(xué)則放大了范圍.實(shí)際上，按照兩個(gè)人的界定有理數(shù)加法法則都能夠被表達(dá)出來(lái)，只不過(guò)按照李同學(xué)分類(lèi)所得到的法則條目過(guò)多且可以進(jìn)一步合并，而高同學(xué)的又不夠嚴(yán)謹(jǐn).顯然教師對(duì)于這兩種回答沒(méi)有心理準(zhǔn)備，由于與標(biāo)準(zhǔn)答案的差距較大，所以教學(xué)中沒(méi)有討論.王同學(xué)給出了一個(gè)雖然不完美、但已經(jīng)距離標(biāo)準(zhǔn)答案很近的說(shuō)法，教師沒(méi)有在此提出一步到位的嚴(yán)苛要求，而是順勢(shì)板書(shū)了“異號(hào)”并為這種情形的問(wèn)題探討告一段落.

“異號(hào)”問(wèn)題的解決顯然是重大突破，它既帶來(lái)了一類(lèi)問(wèn)題的解決，還幫助學(xué)生明晰了有理數(shù)加法運(yùn)算與以前學(xué)過(guò)的非負(fù)有理數(shù)加法運(yùn)算的本質(zhì)區(qū)別在于要考慮數(shù)的符號(hào)，在隨后的教學(xué)中，學(xué)生很順利地得出“同號(hào)”兩數(shù)相加的法則，之后，有同學(xué)進(jìn)一步提出了0+(-4)所代表的加數(shù)有0的情形，最后一位同學(xué)認(rèn)為(+3)+(-3)代表著兩個(gè)互為相反數(shù)相加的情況，其結(jié)果是0沒(méi)有符號(hào)，也應(yīng)該從異號(hào)情形中抽離出來(lái).隨后教師請(qǐng)學(xué)生小組交流，用語(yǔ)言組織上面的探討過(guò)程，就得到了有理數(shù)加法法則.

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)象拓展型新運(yùn)算知識(shí)由于其產(chǎn)生方法的獨(dú)特性，賴(lài)以產(chǎn)生的問(wèn)題與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系的緊密性，使得學(xué)生具有更大的可能經(jīng)由自主探究而得.但是對(duì)象拓展型新運(yùn)算知識(shí)并非唯一能夠經(jīng)由學(xué)生自主建構(gòu)而得的知識(shí)，作為自主建構(gòu)知識(shí)能力目標(biāo)單元的組成部分，完整的自主建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程應(yīng)該包括以上幾個(gè)問(wèn)題的探索.

例如，在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)和如何解一元一次不等式之前，面對(duì)一個(gè)一元一次不等式，學(xué)生一定會(huì)憑借自己的本能，參考一元一次方程的解法對(duì)一元一次不等式進(jìn)行變形從而得到它的解.當(dāng)然學(xué)生的解答很有可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，例如，圖1和圖2就展示了在不同的兩個(gè)班面對(duì)不同的不等式，都出現(xiàn)了錯(cuò)誤進(jìn)而引發(fā)其他同學(xué)質(zhì)疑的情況：

圖1

圖2

通過(guò)學(xué)生間的討論，錯(cuò)誤得到了修正，而在討論的過(guò)程中，學(xué)生探討的就是“不等式是否與等式遵循一樣的運(yùn)算性質(zhì)”，這種探討將帶來(lái)不等式性質(zhì)的產(chǎn)生，也為學(xué)生提供了自主建構(gòu)不等式性質(zhì)知識(shí)及解不等式的方法的機(jī)會(huì).

實(shí)際上，數(shù)學(xué)中的所有知識(shí)都不是無(wú)源之水、無(wú)本之木，而是與學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)有著這樣那樣的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)課程循序漸進(jìn)的安排又為學(xué)生建立這種聯(lián)系提供了更大可能.因此，當(dāng)學(xué)生面對(duì)驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的問(wèn)題的時(shí)候，必然會(huì)建立該問(wèn)題與自己已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、或者已解問(wèn)題的聯(lián)系.當(dāng)然，學(xué)生有時(shí)候能夠成功解決問(wèn)題，有時(shí)候會(huì)遇到困難，但無(wú)論順利還是挫折，如果教師能夠帶領(lǐng)學(xué)生分析、反思已有的方法哪些合理、哪些不合理，解決問(wèn)題的方法也可能從學(xué)生的困難中生長(zhǎng)出來(lái)，新知識(shí)隨之會(huì)產(chǎn)生，學(xué)生的自主發(fā)展能力也將在這樣的經(jīng)歷中得以發(fā)展.