基于“三角函數(shù)模型的應用”的項目式數(shù)學教學探究

李現(xiàn)勇

(青島市教育科學研究院 266011)

項目式學習也叫基于項目的學習，是指學生以小組為單位圍繞某一真實主題，利用各種認知工具進行調查、資料搜集、分析研究，最終展示自己的研究成果，在動手實踐、思考內化和探索創(chuàng)新之中掌握知識、培養(yǎng)技能并獲得全面發(fā)展.[1]項目模式下的教學確實彌補了中國填鴨式傳統(tǒng)教育的部分弊端，但也存在著一些不可避免的問題，如：教學內容多，課堂時間不夠；生產(chǎn)情景難以模仿；不能實現(xiàn)學生的個性化學習等等.故筆者就國家高中數(shù)學課程標準要求下如何進行項目式教學進行探究，基于“三角函數(shù)模型的應用”這一項教學實例對項目式教學進行探索、實踐、總結與反思，以期進一步完善，為后續(xù)的研究、改進教學提供借鑒.

1 項目內容準備

項目的選取主要考慮從學生的立場出發(fā)，挖掘實際生活中有價值的數(shù)學素材.如果數(shù)學教材所涉及的內容是相對基礎的，實際情景過于理想優(yōu)化的，學生也很難感受到學習數(shù)學的必要性，進而影響學生學習熱情.故在教材中已有的知識體系中，選題初定范圍集中在與生活實際相關密切的函數(shù)模型的建立(人口爆炸模型，簡諧運動模型等)、解三角形、空間位置關系(點、線、面，空間向量)及概率統(tǒng)計等，最終決定嘗試三角函數(shù)模型的應用.人教A版必修4第一章第六節(jié)主要講述的三角函數(shù)模型的簡單應用，涉及一天中氣溫的變化規(guī)律，太陽高度角的變化規(guī)律，潮汐變化規(guī)律，結合青島實際情況，以潮汐現(xiàn)象為主體展開項目式教學的探索.

選取潮汐數(shù)據(jù)作為研究對象.考慮到學生的認知水平，所以作為初次引入情景不能太過復雜.我在查閱青島市管轄范圍內的港口數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)每個港口數(shù)據(jù)直觀圖象顯示出的規(guī)律特點是不一樣的，如下圖.

圖1

圖2

圖1與圖2均選取自中國海事服務網(wǎng)青島港和董家口港的潮汐曲線表.注意到圖1的兩個極小值差距較大，而圖2的兩個極小值近乎相同.通過與地理老師的溝通，初步斷定為兩個的主要影響因素(太陽和月球)的作用導致的；進一步和物理老師溝通，最后得出是因為太陽和月球對地球的引力大小及作用周期不同導致的.潮汐的產(chǎn)生主要與月球引潮力和太陽引潮力有關.一天之中僅考慮月球引潮力的影響，潮汐變化遵循兩個周期的三角函數(shù)變化；僅考慮太陽引潮力的影響，潮汐變化依舊遵循兩個周期的三角函數(shù)的變化.但是這兩個三角函數(shù)在周期、振幅等方面存在差異.故可以用正弦和余弦函數(shù)的變化疊加來表示這種極值的大小與極值點的移動的.進一步了解到一般情況下具備周期特性的函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的無窮級數(shù)來表示.

最后選取了直觀上較為符合簡單三角函數(shù)模型的圖2的潮汐數(shù)據(jù)，且較其他港口的變化情況，董家口港的幅度較小.在尊重客觀事實的基礎上，選取規(guī)律性比較明顯的一組數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進行合理估讀，形成項目情景.從特殊向一般逐漸深入探究.

2017年11月30日潮汐數(shù)據(jù)表

2 項目實施過程

給出項目任務，學生結合自身相關的知識儲備及技能，以小組為單位課下進行探討，形成潮汐函數(shù)模型，并且與實際潮汐曲線對比，組內分析所建模型優(yōu)劣，同時進行組間交流.最后大家選取最優(yōu)模型進行下一輪的探究.

授課的主要模式為討論課，適時加入展示.在討論的過程中以學生為主，老師幫助解決知識上的問題及技術上的問題，對學生的想法不做過多干涉.過程中產(chǎn)生了很多有趣的想法：

(1)純線性分段函數(shù)模型.學生為表示周期性，用了整除取余的方法.

(2)非線性分段函數(shù)模型.學生嘗試了兩段二次函數(shù)的模型，也嘗試了一段二次函數(shù)和一段三角函數(shù)的模型.

(3)簡單三角函數(shù)模型.大部分學生采取的是該種模型.但是存在著正弦和余弦的選取差異，存在著坐標系建立的差異.在這些差異之外，還存在處理數(shù)據(jù)的差異.在確定初相φ的時候，因為都注意到所給數(shù)據(jù)并不恰巧是一個三角函數(shù)模型，存在著一個有較大差異的點，在處理時有學生用的是相關數(shù)據(jù)取平均數(shù)，有學生用一個接近該數(shù)的三角函數(shù)值對應的角度，通過不斷地將角度等分(二分法的應用)利用三角函數(shù)的計算公式確定角度φ，有學生直接通過網(wǎng)上查閱三角函數(shù)值與角度的對應表確定角度φ.

(4)信息技術輔助下的三角函數(shù)模型.學生根據(jù)圖象及數(shù)據(jù)特征首先確定了一個參數(shù)簡單的三角函數(shù)，再用在線數(shù)據(jù)處理軟件desmos通過圖象與數(shù)據(jù)的吻合程度實現(xiàn)參數(shù)的逼近.

(5)模型擬合標準的自然產(chǎn)生.每個學生的模型產(chǎn)生后，學生最關注的就是誰的模型是最優(yōu)模型.部分模型因直觀差別較大，直接被排除.有一部分模型的直觀差別是很小的，如何客觀的判斷擬合程度就成了學生們關注的點.其中就有學生想到了課本中的方差的概念，仿照方差的概念就產(chǎn)生了一個用實際數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)的差的平方和為主體的式子進行擬合判斷.其實與選修課本才會學到的殘差、相關指數(shù)的概念已經(jīng)很接近了.學生模型產(chǎn)生后，對模型的應用產(chǎn)生了興趣：潮汐發(fā)電、海水深度數(shù)據(jù)預報、貨船進出港、魚雷戰(zhàn)術的精準使用等等.

3 具體項目教學設計

3.1 項目教學設計概述

項目設計的內容為“三角函數(shù)模型的應用”，學生通過對潮汐數(shù)據(jù)的觀察、分析、探究，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，形成潮汐變化的具體規(guī)律，最終應用所建立的潮汐模型解決生活中的問題.本項目旨在讓學生能夠從實際問題中發(fā)現(xiàn)周期性變化的規(guī)律，將規(guī)律抽象為恰當?shù)娜悄Ｐ?；讓學生切身感受數(shù)學建模的過程，初步了解數(shù)學建模的思想；讓學生通過解決相關的實際問題，直接體驗數(shù)學實際生活中的價值和作用.

3.2 項目開展方式

以小組為單位進行課下組內探究、課上組間交流.以討論課模式為主，展示課與之適當融合.

3.3 項目實施過程

(1)項目導入

過程設計：播放潮汐現(xiàn)象紀錄片(1分鐘左右)，以及潮汐現(xiàn)象對于實際生活的影響與作用的新聞合輯(2分鐘左右).

設計意圖：人類生活深受潮汐影響，而潮汐現(xiàn)象常伴青島居民左右，從而引出探究潮汐變化規(guī)律的必要性.

(2)一輪探究與展示

過程設計：海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.下表為青島董家口港2017年11月30日的潮汐數(shù)據(jù)表：

時刻03:0006:0009:0012:0015:0018:0021:00潮高/米4.12.51.43.04.12.61.4

問題：①觀察數(shù)據(jù)，潮高的變化呈現(xiàn)什么樣的規(guī)律？②設想潮高y是時間x的函數(shù).做出表中的數(shù)據(jù)對應的散點圖.你認為可以用哪個類型的函數(shù)來擬合這些數(shù)據(jù)？并求出函數(shù)解析式.③對照實際潮汐曲線，分析所建模型.以小組為單位進行展示、交流、探討,確定最優(yōu)模型.

設計意圖：選取青島董家口港的潮汐數(shù)據(jù)作為研究對象，原因有二：一是潮汐變化具有明顯的周期性，二是董家口港為青島重要港口之一，學生更加熟悉，亦有探究的驅動力.作為初次引入情景不能太過復雜，故在尊重客觀事實的基礎上，選取規(guī)律性比較明顯的一組數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進行合理估讀，形成項目情景.通過交流碰撞，對不同的思路進行分析、糾正、推廣.

(3)二輪探究與展示

過程設計：給出與潮汐現(xiàn)象有關的周邊數(shù)據(jù)

①潮高基準面(計算潮高的起算面)在平均海平面下2.9米(實際為288厘米)；

②董家口港的近海水深平均15.0米左右；

③10萬噸級的貨船吃水深度(船底與水面的距離)14.0米左右；

④《安全條例》規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離).

以小組為單位，結合已知條件，思考所建函數(shù)模型可以解決生活中的哪些問題，并給出解決問題的基本思路.

設計意圖：考慮所建模型的應用問題，直接感受數(shù)學建模的實際價值.問題的解決實質就是函數(shù)有關定義域、值域、交點等問題.

(4)三輪思考

過程設計：農歷每月初一、十五以后兩三天內，各要發(fā)生一次潮差最大的大潮，那時潮水漲得最高，落得最低.在農歷每月初八、二十三以后兩三天內，各有一次潮差最小的小潮，屆時潮水漲得不太高，落得也不太低.針對以上情況如何對函數(shù)模型進行優(yōu)化，得到潮汐現(xiàn)象的變化規(guī)律呢？以小組為單位進行函數(shù)模型拓展優(yōu)化.

背景拓展：潮汐的產(chǎn)生主要與月球引潮力和太陽引潮力有關.結合相關資料，將問題簡化為，一天之中僅考慮月球引潮力的影響，潮汐變化遵循兩個周期的三角函數(shù)變化；僅考慮太陽引潮力的影響，潮汐變化依舊遵循兩個周期的三角函數(shù)的變化.但是這兩個三角函數(shù)在周期、振幅等方面存在差異.

設計意圖：上述兩個階段所求函數(shù)模型為某一天的潮汐變化情況，項目成果即潮汐變化情況投入使用，局限性太大，第三階段通過思考探究將情景普遍化現(xiàn)實化，通過對已有函數(shù)模型的處理找出潮汐現(xiàn)象的一般規(guī)律.處理過程即學科知識融合的過程，處理的過程即對函數(shù)性質的運用過程、對知識再度理解與掌握的過程.

4 對項目式教學效果的評價

4.1 學生評價

(1)有益于數(shù)學學科知識的學習.交流的過程使得與課程有關的問題當場暴露，討論的過程加深對正確理論的理解，發(fā)現(xiàn)與解決問題循環(huán)往復，學習與掌握的過程也得以縮短，學習積極性得以提高.同時知識的綜合使用也有助于系統(tǒng)的認識學科.

(2)有利于多個維度能力的發(fā)展.在本案例中數(shù)學抽象與數(shù)學建模能力、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學運算能力；文獻檢索、查閱資料的能力，歸納總結、綜合理解的能力等等，都在一定程度得以鍛煉和發(fā)展.

4.2 教師評價

確定項目選題時，必須對國家課程標準要求的高中數(shù)學知識有更加系統(tǒng)的全方位的認知.具體項目情景準備時，立足學生立場，充分考慮學生的知識儲備、學習興趣，掌握學情.實際項目情景必然涉及多個學科的融合，有助于對數(shù)學學科的準確理解.

4.3 學習效果評價量表

結合實踐經(jīng)驗，做出就三角函數(shù)模塊的學生量表的構思，作為參考以期實現(xiàn)對項目式教學效果的評價.

前測具體測量實施測量結果統(tǒng)計知識點具體題目所占分值得分年級平均分三角函數(shù)概念三角函數(shù)公式運用三角函數(shù)圖象與性質函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象三角函數(shù)模型的簡單應用中測數(shù)學素養(yǎng)項目探索過程中你在該方面的表現(xiàn)及收獲數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析在該方面的自我評價打分1分2分3分后測具體測量實施測量結果統(tǒng)計知識點具體題目所占分值得分年級平均分三角函數(shù)概念三角函數(shù)公式運用三角函數(shù)圖象與性質函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象三角函數(shù)模型的簡單應用

注：量表應附有前測與后測題目選取與設計意圖表中測素養(yǎng)評分1分、2分、3分，標準劃分參考2017高中數(shù)學課程標準中的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分的水平一、水平二、水平三.

5 總結與啟示

項目式教學的初始定義，是聚焦在實操性較強的領域中，所以在醫(yī)學專業(yè)、電子商務專業(yè)等領域的研究較多也較為成熟，但在高中學段的研究還在探索階段.就實際實施經(jīng)驗，有如下的體會：

(1)項目的選取與課程標準要求的融合.

在高中學段項目的選取不能脫離課程標準要求.基于高中生的整體水平以及高中生整體學業(yè)上的要求，我們不能直接將類似于大學數(shù)學建模的項目直接搬到高中學段的項目式上.這樣既不利于高中學段基礎知識的掌握，也會徒增學生的負擔.比如可以在下面幾個模塊中進行項目式教學的探索：函數(shù)模型建立與應用、古典概型、空間幾何體、軌跡方程等等.

(2)以集體教學安排為主，合理選擇上課時間與模式.

因高中數(shù)學教學容量大，時間緊任務重，所以項目式教學的實施不能干擾教學進度的正常進行.我們可以選擇在合適的模塊結束后做一個與本模塊相關的微項目，以期達到加深對本模塊知識的掌握與認識的同時增加數(shù)學思想方法的應用機會.上課模式不能采取傳統(tǒng)授課模式，以討論課為主.

(3)項目式教學重心放在過程，切勿人為標準化結果.

高中階段項目的進行與實際投入使用還有較大距離，即使產(chǎn)生一個標準化結果也是不實用的.故重心不應放在結果，應該是過程.在整個過程中關注學生對知識的靈活融合使用，關注學生在解決問題的同時產(chǎn)生了什么樣的方法與思想，關注學生在處理數(shù)據(jù)時采取何種處理技巧，這才是數(shù)學課程真正要培養(yǎng)的能力.

(4)項目式的實施，追求個性與合作的平衡.

以小組為單位是為了交流討論，合作互助.但是我們作為教育者也要關注個體的發(fā)展.對于解決項目的想法與方法是不能被小組綁架的，所以要給予每一名學生討論的權利和展示的機會.

6 思考

學科組內實施的幾次項目式教學得到了老師和學生的認可，也在一定程度上提高了學習效果及學習成績.但在項目式教學過程中，教師和學生的時間和精力的投入比傳統(tǒng)教學要多很多，在這樣一種現(xiàn)實情況下，學生和教師對于這種新型教學模式能否適應，接受程度如何，一個項目的建構是否合理，項目式的教學效果到底如何評判等等都還需要我們繼續(xù)的深入研究和實踐.