基于傾向得分多層模型的非概率抽樣統(tǒng)計(jì)推斷

劉 展

（湖北大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430062）

0 引言

網(wǎng)絡(luò)調(diào)查由于其具有比電話調(diào)查更短的數(shù)據(jù)收集周期和更低的費(fèi)用而急劇增長，目前已經(jīng)在市場研究的調(diào)查數(shù)據(jù)收集中占主導(dǎo)地位。網(wǎng)絡(luò)調(diào)查可視為一種單一的模式，但其抽取樣本的方法有多種，包括基于概率抽樣的網(wǎng)絡(luò)調(diào)查與基于非概率抽樣的網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，其中最值得注意的是基于非概率抽樣的候選者數(shù)據(jù)庫網(wǎng)絡(luò)調(diào)查。這里網(wǎng)絡(luò)調(diào)查的候選者數(shù)據(jù)庫，簡稱網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫，指自愿完成網(wǎng)絡(luò)調(diào)查的上網(wǎng)人群，如果在后續(xù)的網(wǎng)絡(luò)調(diào)查中選擇他們作為調(diào)查對象，他們將配合完成調(diào)查[1]。候選者數(shù)據(jù)庫網(wǎng)絡(luò)調(diào)查是從網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫中抽取樣本進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，其獲得的樣本為網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本?？梢钥吹?，候選者數(shù)據(jù)庫網(wǎng)絡(luò)調(diào)查本質(zhì)上屬于非概率抽樣調(diào)查，其樣本屬于非概率樣本，入樣概率未知，采用傳統(tǒng)的抽樣推斷理論進(jìn)行推斷存在一定的困難。因此，非概率樣本的統(tǒng)計(jì)推斷問題，特別是候選者數(shù)據(jù)庫網(wǎng)絡(luò)調(diào)查的推斷問題，就成為網(wǎng)絡(luò)調(diào)查發(fā)展中迫切需要解決的問題。

傾向得分調(diào)整方法是一種被廣泛應(yīng)用于非概率抽樣推斷的方法。Duncan和Stasny（2001）[2]利用傾向得分方法降低了電話調(diào)查的覆蓋偏差。Schonlau等（2004）[3]與Lee（2006）[4]指出傾向得分調(diào)整方法可能有助于減少抽樣框覆蓋不全、無回答、非概率抽樣等產(chǎn)生的偏差。Brick（2013）[5]提出使用傾向得分加權(quán)來解決單元無回答的缺失問題。Schonlau 等（2009）[6]將性別、年齡、教育、收入等作為X，是否上網(wǎng)作為Y建立模型，構(gòu)建非概率樣本的傾向得分權(quán)數(shù)，最終得到的加權(quán)估計(jì)接近于總體參數(shù)真值。Valliant和Dever（2011）[7]結(jié)合網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫和參考樣本，建立logistic回歸模型來估計(jì)傾向得分，并基于傾向得分對非概率樣本構(gòu)造了不同的權(quán)數(shù)來估計(jì)總體。然而，以上建立傾向得分模型估計(jì)傾向得分來推斷總體均是在單一層次數(shù)據(jù)背景下進(jìn)行的，即假設(shè)網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是單一層次的，然而在一些情況下網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可能是多層次或嵌套結(jié)構(gòu)。多層次或嵌套結(jié)構(gòu)就是在上一級分層的基礎(chǔ)上進(jìn)行再分層，形成一層套一層的嵌套結(jié)構(gòu)或多層次結(jié)構(gòu)，單一層次結(jié)構(gòu)就是一個(gè)層次，不再逐層細(xì)分。例如，學(xué)生往往在一個(gè)班級內(nèi)可以被分成不同的類，反過來這些班級又在學(xué)校內(nèi)可以被分成不同的群。如果忽略數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)，仍然采用單一層次結(jié)構(gòu)下的方法進(jìn)行分析，可能會導(dǎo)致誤導(dǎo)性或不準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)具有嵌套結(jié)構(gòu)時(shí)，需要考慮針對嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的傾向得分估計(jì)方法。Li等（2013）[8]在觀察性研究中針對多層（嵌套）結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，探究了建立多層模型估計(jì)傾向得分來估計(jì)平均處理效應(yīng)，但是并未探討總體推斷的問題。關(guān)于多層模型在醫(yī)療護(hù)理、衛(wèi)生政策、教育等諸多領(lǐng)域中的應(yīng)用研究文獻(xiàn)越來越多，同時(shí)傾向得分分析也日益流行，然而對多層次數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的傾向得分分析還沒有得到深入的研究?；诖?，本文針對具有嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫和參考樣本，探索構(gòu)建傾向得分多層模型來推斷總體的方法。為了便于討論，本文主要考慮兩個(gè)層次的嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。

1 多層模型

多層模型（Multilevel Modeling，簡記為MLM）是包含固定效應(yīng)和（或）隨機(jī)效應(yīng)的回歸模型，是一種用于評價(jià)嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方法[9]。多層模型是通過解釋單元間的依賴關(guān)系、適當(dāng)調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)誤差、在所有層次上分解方差，來改進(jìn)嵌套數(shù)據(jù)中個(gè)體效應(yīng)的估計(jì)。此外，多層模型允許跨層次的相互作用，這種相互作用解釋了在一個(gè)層次測量的變量是如何影響在另一層次上所發(fā)生的關(guān)聯(lián)的[9]。換句話說，對嵌套數(shù)據(jù)建立多層模型允許研究者去調(diào)查結(jié)果的變動有多少與群內(nèi)和群間個(gè)體之間的差異有關(guān)[10]。下面討論具體的多層模型方程。

對第j個(gè)群中第i個(gè)人觀測的連續(xù)因變量Y的多層模型如下：

式（1）中β0、β1是固定效應(yīng)，u0j、u1j為隨機(jī)效應(yīng)，eij為隨機(jī)誤差項(xiàng)。其中固定效應(yīng)是未知的常數(shù)（參數(shù)），定義了預(yù)測變量X1ij與因變量Yij之間的關(guān)系；隨機(jī)效應(yīng)是隨機(jī)變量，允許回歸模型中的系數(shù)根據(jù)研究的群或個(gè)體（對象）隨機(jī)變動，因此多層模型也稱為隨機(jī)系數(shù)模型。既然隨機(jī)效應(yīng)是隨機(jī)變量，相應(yīng)的就需要對隨機(jī)效應(yīng)定義概率分布，這就意味著多層模型比一般的回歸模型有更多的參數(shù)需要估計(jì)。隨機(jī)效應(yīng)與隨機(jī)誤差項(xiàng)通常的假定分布為：

其中D為隨機(jī)效應(yīng)的方差協(xié)方差矩陣，為u0j的方差，為u1j的方差，σ01為u0j與u1j的協(xié)方差，σ2為eij的方差。

事實(shí)上，多層模型（1）也可以寫成另外一種形式，如式（3）所示，式（3）是更為常見的一種形式，很多軟件比如HLM、MLwiN等使用的都是這種形式。

其中β0j、β1j為隨機(jī)系數(shù)，并且β0j為第一層次方程的截距，β1j為第一層次方程的斜率，將第一層次與第二層次的方程結(jié)合即可得到式（1），第二層次中關(guān)于β0j的方程稱為截距方程，關(guān)于β1j的方程稱為斜率方程。式（3）清晰地定義了多層模型中第二層次所測量的第一層次預(yù)測變量，可以將第二層次的每個(gè)隨機(jī)系數(shù)方程視為一個(gè)僅有截距項(xiàng)的回歸模型，并且可以通過在這個(gè)模型中增加第二層次預(yù)測變量來解釋隨機(jī)效應(yīng)的方差，比如在截距方程中增加性別Gender作為第二層次預(yù)測變量，則β0j=β0+β2Genderj+u0j，β2為未知常數(shù)（固定效應(yīng)）。

式（3）只是一個(gè)簡單的二層次模型，在具體建模時(shí)可根據(jù)具體的問題在第一層次方程中添加預(yù)測變量如X2ij，…，Xpij等，在第二層次方程中也可以添加一些預(yù)測變量。總之，在多層模型中預(yù)測變量可以被添加到第一層次和第二層次的模型方程中，這些變量的截距或斜率可以跨層次的變動，即截距或斜率可以為隨機(jī)變量，是否限制或允許第一層次與第二層次預(yù)測變量跨層次變動是多層模型特殊的一個(gè)重要方面[9,11,12]。如果為三層次模型，則第二層次方程中的一些系數(shù)也是隨機(jī)的，可以同樣寫出隨機(jī)系數(shù)的第三層次方程，依次可類推到多個(gè)層次的模型。

對于多層模型的估計(jì)，可以從矩陣形式來考慮。在隨機(jī)效應(yīng)的條件下，第 j個(gè)對象或群的觀測向量分布為 Yj|uj～N(Xjβ+Zjuj，Rj)，其中Xj為預(yù)測變量設(shè)計(jì)矩陣，β為固定效應(yīng)向量，Zj為更小一些的預(yù)測變量設(shè)計(jì)矩陣，uj為隨機(jī)效應(yīng)向量，Rj為隨機(jī)誤差的方差協(xié)方差矩陣。所有隨機(jī)效應(yīng)平均下Y的邊際分布為Vj)，其中Xjβ為第j個(gè)對象或群的觀測Y的期望向量，D為隨機(jī)效應(yīng)的方差協(xié)方差矩陣對象或群的觀測Y的邊際方差協(xié)方差矩陣。在此基礎(chǔ)上，采用某種形式的極大似然估計(jì)方法來估計(jì)模型參數(shù)。假設(shè)對象或群是相互獨(dú)立的，首先寫出似然函數(shù)形式為的邊際概率密度函數(shù)，β、θ為待估參數(shù)，對有些模型來說似然函數(shù)可能需要近似。然后，使用迭代數(shù)學(xué)方法（比如Newton-Raphson）找到使得（近似的）似然函數(shù)值達(dá)到最大的模型參數(shù)估計(jì)。

2 傾向得分多層模型及總體估計(jì)

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的協(xié)變量數(shù)據(jù)具有嵌套結(jié)構(gòu)，比如協(xié)變量包括了班級、學(xué)校等變量，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫單元為不同學(xué)校不同班級里的學(xué)生。從該網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查，得到一個(gè)網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本；同時(shí)假設(shè)獲得了另一個(gè)具有同樣嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的參考樣本，比如采用多階段隨機(jī)抽樣得到了另一個(gè)概率樣本。設(shè)調(diào)查樣本中第j個(gè)群第i個(gè)單元的入樣概率 πij=π(Xij)，Xij=(Xij1，Xij2，…，Xijp)′是協(xié)向量，p是協(xié)變量數(shù)目，則有：

其中，V是網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫；SV是從網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取的調(diào)查樣本；P(i j ∈ SV|Xij，V)是網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫中第j個(gè)群第i個(gè)單元進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)調(diào)查樣本的概率，常常已知；P(ij∈V|Xij)是第j個(gè)群第i個(gè)單元自愿加入網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的概率，往往未知需要估計(jì)。設(shè)示性變量D表示單元是否加入網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫，D=1記為單元加入網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫，D=0記為單元未加入網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫，那么第 j個(gè)群第i個(gè)單元加入網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的概率就是p(Xij)=P(Dij=1|Xij)=P(ij∈V|Xij)。

根據(jù)傾向得分的定義：給定輔助變量X的條件下單元接受處理（參與或回答）的條件概率，可知p(Xij)=P(ij∈V|Xij)本質(zhì)上就是傾向得分。由于p(Xij)為一個(gè)概率，其范圍在0到1之間，取值有限，直接建立多層模型不太合適，因此考慮使用聯(lián)結(jié)函數(shù)，如最常用的Logit聯(lián)結(jié)，即logit(p(Xij))=log(p(Xij)(1-p(Xij)))，將概率范圍(0，1)轉(zhuǎn)換為(-∞，∞)，再建立多層模型。在建立多層模型時(shí)，有很多的模型選擇，比如第一層次的預(yù)測變量可以假定在群層次（第二層次）上是固定的或變動的；第二層次的預(yù)測變量可以僅包含在截距方程中，僅影響截距，也可以既包含在截距方程中，也包含在斜率方程中，同時(shí)影響截距和斜率?？傊?，在模型假定上進(jìn)行不同層次預(yù)測變量的添減以及截距、斜率隨機(jī)性的設(shè)置，就會產(chǎn)生許多不同的多層模型。下面分別進(jìn)行討論。

（1）具有固定斜率隨機(jī)截距且不包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

這里logit(p(Xij))表示傾向得分的Logit函數(shù)；β0為斜率方程中的斜率（固定）；β1為第一層次方程中的斜率（固定）。該模型假定不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的斜率相同截距不同，截距不同是由群的差異所引起的，但并未考慮群層次上具體變量對截距的影響。此模型通過固定斜率，假定X1對logit(p(Xij))的影響在不同群中是一樣的。

（2）具有固定斜率隨機(jī)截距且包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

其中Wj為第二層次上的預(yù)測變量，γ01為固定斜率。此模型假定第二層次預(yù)測變量W只對X1與logit(p(Xij))回歸方程的截距產(chǎn)生影響，換句話說不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的截距不同斜率相同，截距受到預(yù)測變量W的影響。

（3）具有隨機(jī)斜率固定截距且不包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

此模型假定不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的截距相同斜率不同，斜率不同是由群的差異所引起的，但并未考慮群層次上具體變量對斜率的影響。

（4）具有隨機(jī)斜率固定截距且包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

其中Wj為第二層次上的預(yù)測變量，γ11為固定斜率。此模型假定不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的斜率不同截距相同，斜率受到預(yù)測變量W的影響，即第二層次預(yù)測變量W對第一層次預(yù)測變量與因變量之間的關(guān)系產(chǎn)生影響。

（5）具有隨機(jī)斜率隨機(jī)截距且均不包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

此模型假定不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的截距和斜率均不同，截距和斜率的不同是由群的差異所引起的，但并未考慮群層次上具體變量對截距和斜率的影響。

（6）具有隨機(jī)斜率與截距且均包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

其中γ01為截距方程中預(yù)測變量固定的斜率，γ11為斜率方程中預(yù)測變量固定的斜率。此模型假定預(yù)測變量W對不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的截距和斜率都產(chǎn)生影響。

（7）具有隨機(jī)斜率與截距且截距斜率其中之一包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型。

此模型假定預(yù)測變量W對不同群中X1與logit(p(Xij))回歸方程的截距或斜率產(chǎn)生影響。以上只是考慮了第一層、第二層中一個(gè)預(yù)測變量的情形，可以根據(jù)具體的情況，添加多個(gè)預(yù)測變量。

在建立傾向得分多層模型之后，可以估計(jì)出logit(p(Xij))，得到傾向得分的估計(jì)帶入式（4）則得到 πij的估計(jì)值，即：

其中網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本SV可分成H個(gè)群（第二層次），第j個(gè)群包含mj個(gè)個(gè)體（第一層次），j=1，…，H。如果總體規(guī)模N已知時(shí)，可將式（13）的分母換為N。該加權(quán)調(diào)整方法可稱為傾向得分逆加權(quán)方法。此外，對總體均值估計(jì)的方差可使用重抽樣方法，如Bootstrap、Jackknife等來進(jìn)行估計(jì)。

3 模擬研究

現(xiàn)對本文所提出的總體估計(jì)方法的效果進(jìn)行模擬研究。首先生成一個(gè)大小為100000（N=100000）的具有嵌套數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的有限總體，協(xié)變量（預(yù)測變量）包括個(gè)體層次（第一層次）上服從正態(tài)分布N(1，1)的變量X以及群層次（第二層次）上服從正態(tài)分布N(0，1)的變量W，群個(gè)數(shù)m為50，每個(gè)群包含的個(gè)體單元數(shù)都相等為Nm=2000，目標(biāo)變量Y值由兩個(gè)協(xié)變量X、W以及多層線性模型Y=-0.5+0.5X-0.4W+0.3W×X+u1X+u0+ε來生成，其中u0、u1與ε分別由以下分布來產(chǎn)生：

在生成的有限總體中不放回簡單隨機(jī)抽取20個(gè)群（每個(gè)群2000個(gè)單元），然后在每個(gè)群中不放回簡單隨機(jī)抽取50個(gè)單元，得到樣本量為1000（nr=1000）的一個(gè)樣本，視其為參考樣本。然后，從20個(gè)群共40000個(gè)單元中去掉參考樣本單元后的剩余單元中，再分別從20個(gè)群中不放回簡單隨機(jī)抽取1000個(gè)單元，得到一個(gè)有20個(gè)群且每個(gè)群包含1000個(gè)單元的嵌套樣本，將其作為網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫V，規(guī)模為M=20000。接著，采取分層隨機(jī)抽樣從網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫V的20個(gè)群中不放回簡單隨機(jī)抽取500個(gè)單元，作為網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本SV，樣本量為10000（nv=10000）。將上面的過程重復(fù)1000次，獲得1000組蒙特卡羅樣本，針對每一組樣本構(gòu)建具有隨機(jī)斜率與截距且均包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型以及單一層次結(jié)構(gòu)下的Logistic傾向得分模型（忽略數(shù)據(jù)的嵌套結(jié)構(gòu)）來估計(jì)傾向得分，并采用傾向得分逆加權(quán)方法來估計(jì)總體均值。這里的Logistic傾向得分模型為：

其中Xij=(Xij1，Xij2，…，Xijp)′為協(xié)向量，p為協(xié)變量個(gè)數(shù)，β為回歸參數(shù)。最后，計(jì)算1000組模擬樣本上總體估計(jì)的均值、方差、偏差與均方誤差。

表1 基于傾向得分多層模型的總體均值估計(jì)的模擬結(jié)果

表1為基于傾向得分多層模型和Logistic模型并使用傾向得分逆加權(quán)調(diào)整方法計(jì)算的總體估計(jì)的均值、方差、偏差與均方誤差。兩種方法估計(jì)的總體均值較為接近，且總體均值估計(jì)的方差基本相同。從偏差上看傾向得分多層模型的逆加權(quán)估計(jì)偏差相對來說更小，而兩種方法估計(jì)的總體均值的均方誤差一樣，說明對于具有嵌套數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫，基于傾向得分多層模型的總體估計(jì)相對于基于傾向得分Logistic模型的總體估計(jì)偏差更小，無偏程度更高，而兩個(gè)估計(jì)的效率基本一樣。

4 實(shí)證分析

實(shí)證數(shù)據(jù)來自2014年美國綜合社會調(diào)查（General Social Survey，簡記為GSS），選取調(diào)查中的性別（gender）、年齡（age）、種族（race）、區(qū)域（region）、教育（education）、收入（income）和投票變量（vote12）共7個(gè)變量，2538個(gè)個(gè)案的一個(gè)數(shù)據(jù)集，其中區(qū)域變量為群的分類變量，共分9個(gè)群。因?yàn)閿?shù)據(jù)中出現(xiàn)了“不知道（Don't know）”、“無回答（No answer）”、“不適用（Not applicable）”、“不合格（Ineligible）”等選擇結(jié)果，所以本文將這些結(jié)果的個(gè)案刪除。此外，為了簡化計(jì)算進(jìn)一步對變量值進(jìn)行了一些變換，獲得7個(gè)變量、191個(gè)單元的最終數(shù)據(jù)集，7個(gè)變量的類型與具體取值見表2。

表2 基于傾向得分多層模型推斷的實(shí)證變量

由于多層模型需要較多的數(shù)據(jù)，因此本文首先利用Bootstrap來構(gòu)造一個(gè)偽總體。具體地，使用有放回簡單隨機(jī)抽樣方法，從191個(gè)單元中抽取一個(gè)大小為100的樣本，重復(fù)抽取100次，獲得10000個(gè)單元，將這10000個(gè)單元和191個(gè)單元匯總，從而形成一個(gè)大小為10191的偽總體（N=10191）。然后，先使用PPS抽樣從偽總體中抽取7個(gè)群即7個(gè)區(qū)域，再在每個(gè)區(qū)域中不放回簡單隨機(jī)抽取20個(gè)單元，得到一個(gè)大小為140的參考樣本（概率樣本，nr=140）。接著，從7個(gè)區(qū)域中去掉參考樣本單元之后，再分別從每個(gè)區(qū)域不放回簡單隨機(jī)抽取300個(gè)單元作為網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫V（規(guī)模為M=2100）。進(jìn)一步從網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的每個(gè)區(qū)域中不放回簡單隨機(jī)抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，即網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本SV（nv=700）。在偽總體固定的情況下，重復(fù)抽取參考樣本和網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本1000次。

現(xiàn)對2012年總統(tǒng)選舉中投票人數(shù)所占的比例，即投票變量Yvote的均值進(jìn)行估計(jì)，將年齡、性別、種族、教育、收入作為投票個(gè)體（第一層次）上的協(xié)變量，并且投票的個(gè)體嵌套于區(qū)域?qū)哟危ǖ诙哟危┲?。?000組參考樣本與網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫的調(diào)查樣本上，建立具有固定斜率隨機(jī)截距且不包含第二層次預(yù)測變量的傾向得分多層模型以及Logistic傾向得分模型來估計(jì)傾向得分，并將傾向得分的逆作為權(quán)數(shù)進(jìn)行加權(quán)調(diào)整來估計(jì)投票人數(shù)所占的比例。最后，計(jì)算1000組樣本上總體估計(jì)的均值、方差、偏差與均方誤差，見表3。

表3 基于傾向得分多層模型的總體均值估計(jì)的實(shí)證結(jié)果

由表3可知，建立傾向得分多層模型與Logistic模型并采用傾向得分逆加權(quán)方法計(jì)算的總體均值估計(jì)的均值都約為0.613，非常接近，并且兩種方法估計(jì)的總體均值的方差也相差較小。在偏差與均方誤差上，傾向得分多層模型逆加權(quán)估計(jì)的偏差絕對值比傾向得分Logistic模型逆加權(quán)估計(jì)的偏差絕對值要小，而且傾向得分多層模型逆加權(quán)估計(jì)的均方誤差也較小，表明從偏差和均方誤差兩個(gè)方面來看，對于嵌套結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，傾向得分多層模型逆加權(quán)估計(jì)不僅無偏程度較高，而且較有效率，估計(jì)比較穩(wěn)健。

5 結(jié)論

本文針對網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫具有嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的情況，提出建立傾向得分多層模型來估計(jì)傾向得分，并利用傾向得分逆加權(quán)方法來對非概率樣本進(jìn)行加權(quán)調(diào)整，從而推斷總體。模擬與實(shí)證研究表明，對于具有嵌套結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，相對于基于傾向得分Logistic模型的逆加權(quán)估計(jì)來說，基于傾向得分多層模型的逆加權(quán)估計(jì)偏差更小，估計(jì)的效率更高?？梢?，傾向得分多層模型比傾向得分Logistic模型更適合具有嵌套結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)候選者數(shù)據(jù)庫。