淺談高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接問題

汪小梅　朱華　楊志鵬

摘 要 高中數(shù)學(xué)課程改革作為新世紀(jì)課程改革的重中之重，給廣大高中數(shù)學(xué)教師帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，同時也給高等教育中的高等數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了較大的沖擊和影響。本文首先分析了高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接中出現(xiàn)的問題，其次提出了做好高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接應(yīng)采取的措施。

關(guān)鍵詞 課程改革 高等數(shù)學(xué) 銜接

中圖分類號：O1-4 文獻標(biāo)識碼：A

自 2003 年 4 月《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》正式頒布以來，高中數(shù)學(xué)課程改革作為新世紀(jì)課程改革的重中之重，不僅給高中數(shù)學(xué)教師帶來了嚴(yán)峻的考驗，同時也給大學(xué)教學(xué)中的高等數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了較大的沖擊和影響，作為新課程改革后教育的學(xué)子這一主體，他們的任務(wù)更重，同時另一主體教師的作用更加凸顯。隨著高中教育課程改革的逐漸深入，使得以前在高等數(shù)學(xué)課程里的部分內(nèi)容修改到了高中數(shù)學(xué)里，而以高中數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)在教材內(nèi)容編排上一直沒有太大的變化，沒有及時跟上高中數(shù)學(xué)課程的改革，這給大學(xué)數(shù)學(xué)一系列課程的教學(xué)和學(xué)習(xí)帶來了一定的困難，特別是大一新生必修的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。他們大都感到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來比較困難，甚至有的學(xué)生連期末考試都無法及格，對于順利通過高考考上大學(xué)的學(xué)子來說，無疑是一個沉重的打擊。當(dāng)然原因是多方面的，其中很重要的一個原因是沒有做好高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的銜接。針對這一情況，本文將就此談一下個人的看法。

1高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接中出現(xiàn)的問題

1.1教材編寫相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)的不統(tǒng)一

高中的數(shù)學(xué)教材在新課標(biāo)實施之后有很多版本，湖南版、湖北版、蘇教版、北師大版、人教 B 版、人教 A 版等，教材的版本和種類也有很多種。其中最有代表性的是人教版高中數(shù)學(xué)教材。而高等數(shù)學(xué)教材的種類更是多的數(shù)不勝數(shù)。其中最有代表性的是同濟版的《高等數(shù)學(xué)》和高教版的《經(jīng)濟數(shù)學(xué)-微積分》。改革后的高中數(shù)學(xué)課程執(zhí)行了中華人民共和國最新的國家標(biāo)準(zhǔn)，但目前的大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材有些仍然執(zhí)行著舊標(biāo)準(zhǔn)。由于執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)的不同，導(dǎo)致在符號的使用上和概念的理解上都產(chǎn)生了混亂，這種混亂給高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)和教學(xué)都帶來了很多困難。例如自然數(shù)的概念：新國家標(biāo)準(zhǔn)中，自然數(shù)集用符號N={0，1，2，3，…}來表示，故自然數(shù)集即為非負整數(shù)集，用N表示，而排除0的自然數(shù)集即正整數(shù)集應(yīng)上標(biāo)星號或下標(biāo)+號，即N+或N*，然而在高等數(shù)學(xué)教材中仍會出現(xiàn)Z+與N等同的記號，學(xué)生認為N比Z+多一個元素0，這兩個集合完全不可能相等！另外，高等數(shù)學(xué)教材中集合的補集常記為A以及排列運算符號P，但是學(xué)生不認識它們，原因是中學(xué)教材中只有C€%R（A）（這里€%R為全集）和形式A。因此，在高等數(shù)學(xué)教材的編寫過程中，應(yīng)重視相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生的變化，使高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)在相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)上進行規(guī)范和統(tǒng)一。

1.2相關(guān)內(nèi)容的重復(fù)和脫節(jié)

雖然有些高等數(shù)學(xué)教材在高中新課標(biāo)實施以后也做了細微的改動，在一些符號的使用上與高中數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來了，同時為了適應(yīng)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)時數(shù)減少的情況，對一些內(nèi)容作了適當(dāng)?shù)木喓秃喜?，例如精簡了基本初等函?shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，但是在內(nèi)容編排上基本沒變，導(dǎo)致有些內(nèi)容重復(fù)學(xué)習(xí)，還有些內(nèi)容高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)均沒有提及。以下是高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)重復(fù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：

（1）平面向量（12 學(xué)時）：向量；向量的加減法；實數(shù)與向量的積；向量的坐標(biāo)表示；線段的定比分點；向量的數(shù)量積。

（2）邏輯（約 4 學(xué)時）：命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞。

在高中理科限定選修課中增加了如下內(nèi)容：

（3）極限（增加部分，約 4 學(xué)時）：兩個重要極限；函數(shù)的連續(xù)性。

（4）導(dǎo)數(shù)與微分（20 學(xué)時）：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義；兩函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；可導(dǎo)函數(shù)的極值；函數(shù)的最值。

（5）積分（14 學(xué)時）：定積分的概念；定積分的線性性質(zhì)和對區(qū)間的可加性；微積分基本公式；原函數(shù)與不定積分的概念；不定積分的線性性質(zhì)、基本積分公式；第一類變量代換法；平面圖形的面積；路程問題.變力作功。

（6）空間向量與立體幾何（約 12 課時）：空間向量及其運算；空間向量的基本定理；空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示。

在高中文科限定選修課中增加了如下內(nèi)容：

（7）導(dǎo)數(shù)（約 16 學(xué)時）：導(dǎo)數(shù)的概念；有理整函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：切線的斜率、瞬時速度；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值；函數(shù)的最值。

對于選修理科的高中學(xué)生來說，總共學(xué)習(xí)了約38 學(xué)時的微積分，而對于選修文科的學(xué)生來說，總共學(xué)習(xí)了約16學(xué)時的微積分，此外都學(xué)習(xí)了約12 學(xué)時的平面向量，這部分原來也是安排在大學(xué)高等數(shù)學(xué)的課程中。大致估算一下，高中數(shù)學(xué)新課程的微積分部分將覆蓋了高等數(shù)學(xué)課程20%以上的教學(xué)內(nèi)容。

1.3脫節(jié)的內(nèi)容

在高中階段講授的初等數(shù)學(xué)中雖然有一些與大學(xué)數(shù)學(xué)重復(fù)的內(nèi)容，但也有一些在高等數(shù)學(xué)中要用到的內(nèi)容在高中階段沒有涉及。

（1）反三角函數(shù)的內(nèi)容。反三角函數(shù)作為一種基本初等函數(shù)，理應(yīng)是初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但是課程改革之后這部分內(nèi)容被大量刪減，二高等數(shù)學(xué)課程中對于反三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容也只是簡單提及，導(dǎo)致大部分學(xué)生完全不理解這部分內(nèi)容，對反三角函數(shù)的定義及特點不清楚，這對高等數(shù)學(xué)的教學(xué)造成了很大的困難。凡是涉及到反三角函數(shù)的知識點，學(xué)生掌握起來都相對比較困難，也影響到了教學(xué)進度和安排。

（2）極坐標(biāo)的內(nèi)容。改革以前，極坐標(biāo)在高中數(shù)學(xué)教材中是非常重要的內(nèi)容，課程改革之后，這部分內(nèi)容出現(xiàn)在了拓展系列課程中，并非必修內(nèi)容。通過對學(xué)生的調(diào)查了解之后發(fā)現(xiàn)，在受到高考“指揮棒”的影響下，很少有高中學(xué)校詳細講授過極坐標(biāo)這部分內(nèi)容。然而，在高等數(shù)學(xué)二重積分這部分教學(xué)內(nèi)容中，利用極坐標(biāo)系計算二重積分是非常重要的內(nèi)容，也是一種十分重要的方法。而絕大多數(shù)學(xué)生連極坐標(biāo)如何表示都不甚清楚，因此給高等數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了極大的影響，本來簡單的內(nèi)容成為了一個極大的難點。

（3）三角函數(shù)中的和差化積、積化和差、某些三角恒等式及萬能公式等。這些公式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都不作為重點要求，但是在高等數(shù)學(xué)求極限和不定積分時經(jīng)常要用到這些公式。如果不熟悉這些公式，導(dǎo)致學(xué)生在求解相應(yīng)題目時出現(xiàn)困難，給高等數(shù)學(xué)教學(xué)帶來麻煩。

2做好高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接應(yīng)采取的措施

2.1做好高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上的銜接

全日制《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出：“高中數(shù)學(xué)課程要為我國公民適應(yīng)現(xiàn)代化生活和未來發(fā)展提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使他們獲得更高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生進入高一級學(xué)校提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，同時把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一?！彼愿咧须A段的教學(xué)要注意“啟后”。在進行大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時一定要考慮中學(xué)數(shù)學(xué)教材的因素，較好地把握教學(xué)的深度和廣度。對于明顯重復(fù)的部分，可進行適當(dāng)?shù)膭h減，或改由學(xué)生自學(xué)掌握，而對于需要加深、擴展的內(nèi)容，尤其是需要用高等數(shù)學(xué)知識的、中學(xué)解決不了的問題，應(yīng)加以強調(diào)和重視.對于某些高中未教但卻是高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)容，或者涉及的角度和側(cè)重點不同，應(yīng)及時補充以免形成空白造成脫節(jié)。而大學(xué)階段高等數(shù)學(xué)教學(xué)要注意“承前”，要在保證高等數(shù)學(xué)科學(xué)性的前提下，教師要有意識地引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的態(tài)度，用高等數(shù)學(xué)的理論、觀點、方法去分析與初等數(shù)學(xué)相關(guān)的課題，使學(xué)生意識到中學(xué)數(shù)學(xué)教材中一些不能講解“深刻”的內(nèi)容，可以通過高等數(shù)學(xué)給予相應(yīng)的解釋，使初等數(shù)學(xué)有些問題能得到應(yīng)有高度來認識，要有意識解決高觀點指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)問題，要盡量從教材內(nèi)部找到高等數(shù)學(xué)與初等教學(xué)的一致性、和諧性。

2.2做好高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法的銜接

高中數(shù)學(xué)雖然廣泛滲透著近代的數(shù)學(xué)思想，但相對于高等數(shù)學(xué)而言，其廣度不夠?qū)?、深度也較淺。高中數(shù)學(xué)雖然也重視理論上推導(dǎo)和抽象思維，但其概念的內(nèi)涵揭示得不夠，符號使用的也不多，數(shù)學(xué)語言的運用也沒達到應(yīng)有的高度，與初等數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)的理論性更強，內(nèi)容更抽象，加之大量新的抽象的數(shù)學(xué)符號的出現(xiàn)，使學(xué)生在短期內(nèi)很難適應(yīng)。中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法主要體現(xiàn)為三個層次，第一層次指數(shù)學(xué)的具體解題方法和解題模式，如代數(shù)的加減消元法、代入消元法、判別式法、放縮法、錯位相消法、數(shù)學(xué)歸納法等，幾何中的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、相似、輔助線及輔助面的作法、圖形及幾何體的割補方法等；第二層次指適用面很廣的一些通法，如配方法、換元法、待定系數(shù)法、分離系數(shù)法、消元法、數(shù)形結(jié)合、一般化、特殊化、參數(shù)法、反證法、比較與分類、分析與綜合、歸納與演繹、類比與聯(lián)想、抽象與概括等；第三層次指數(shù)學(xué)觀念，即人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認識，如推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識等。在高等數(shù)學(xué)教育活動中，上述數(shù)學(xué)思想和方法將得到進一步強化，高等數(shù)學(xué)各學(xué)科中都滲透著三個層次的思想和方法，在各層次的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中都應(yīng)該重視這些思想和方法的訓(xùn)練，除上述所舉的思想和方法外，高等數(shù)學(xué)各學(xué)科中也滲透著許多新的思想和方法，如高等數(shù)學(xué)中的極限法、微分法等等，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個顯著特征就是注重知識形成過程的教學(xué)，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法，會用數(shù)學(xué)思想和方法來解決間題。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)既要重視理論知識，又要重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用.在教學(xué)內(nèi)容中要有反映現(xiàn)實生活的實際材料，要有充足的應(yīng)用技能技巧的內(nèi)容。要廣泛介紹模型化、數(shù)值化、迭代、逼近等現(xiàn)代數(shù)學(xué)常用的方法，要將大量生動的與高等數(shù)學(xué)相關(guān)的應(yīng)用實例介紹給學(xué)生，要通過選擇應(yīng)用題材讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。要有讓學(xué)生搜集信息、建立數(shù)據(jù)、分析加工處理信息，建立數(shù)學(xué)模型，并解釋和應(yīng)用的訓(xùn)練，學(xué)生通過練習(xí)、實驗，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識的有效手段，是改變學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用薄弱的一個有效過程，也是加強高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，用高等數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)初等高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)結(jié)合的一種有效方法。加強數(shù)學(xué)的應(yīng)用教學(xué)，可促使學(xué)生掌握扎實的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)技能，可以增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有數(shù)學(xué)地觀察世界、處理和解決實際問題的能力。

總之，高等數(shù)學(xué)的改革應(yīng)隨初等數(shù)學(xué)教學(xué)改革而行，在進行大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革時，必須遵循“課程論”、“教學(xué)論”的教育原則和教學(xué)規(guī)律，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、拓寬學(xué)生知識面，注重整體性素質(zhì)教育的原則，實事求是地改革大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式和研究問題的方法及創(chuàng)新精神，使他們成為 21 世紀(jì)社會和教育發(fā)展需要的新型人才。

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