淺談?wù)?xiàng)有界周期數(shù)列的一些性質(zhì)

◎王禮斌

一、有關(guān)數(shù)列簡(jiǎn)介以及例題詳解

1.等差數(shù)列的函數(shù)思想。

2.數(shù)列角標(biāo)聯(lián)系。

3.雙數(shù)列的聯(lián)系。

4.數(shù)列的單調(diào)性。

（1）以正數(shù)開(kāi)頭的遞減扥差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；反之，以負(fù)數(shù)作為開(kāi)頭的遞減等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。

（2）對(duì)于等比數(shù)列｛an｝，若 a1＞0，q＞1，則｛an｝為遞增數(shù)列；若 a1＜0，q＞1，則｛an｝為遞減數(shù)列；若 a1＞0，0＜q＜1，則｛an｝為遞減數(shù)列；若a1＜0，0＜q＜1，則｛an｝為遞增數(shù)列；若q＜0，則｛an｝為擺動(dòng)數(shù)列；若 q＝1，則｛an｝為常數(shù)列。

例題1

已知數(shù)列｛an｝，｛bn｝，｛cn｝的通項(xiàng)公式滿足 bn＝an＋1－an，cn＝bn＋1－bn（n∈N*）

若數(shù)列｛an｝，首項(xiàng) a1＝2，且滿足 cn－bn＋1＋3an＝2n＋1（n∈ N*），求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

分析：cn－bn＋1＋3an＝2n＋1（n∈N*），可得 bn＋1－b－bn＋1＋3an＝－2n＋1，即 bn－3an＝2n＋1，所以 an＋1＝4an＋2n＋1，在等式 an＋1＝4an＋2n＋1，兩邊同時(shí)除以 2n＋1

所以kn＋1＝2·2n－1＝2n，即kn＝2n－1.所以an＝2n·kn＝2n（2n－1）＝4n－2n

構(gòu)造數(shù)列｛kn｝是此題突破之處，對(duì)不熟悉的遞歸式的變形通常是為了構(gòu)造新的數(shù)列，讓不熟悉的遞歸式轉(zhuǎn)化為熟悉的遞歸式。

例題2

已知數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為bn＝n.在bk和bk＋1（k∈N*）之間插入3k＋1個(gè)3得到一個(gè)新的數(shù)列｛dn｝，問(wèn)是否存在這樣的正整數(shù)m，使得數(shù)列｛dn｝的前m項(xiàng)的和Sm＝2008，如果存在求出m的值，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

插入項(xiàng)后組成新的數(shù)列，對(duì)新數(shù)列項(xiàng)的構(gòu)成要做具體分析，具體做法仍然是用基本量解決問(wèn)題。本體在具體計(jì)算的過(guò)程中用到估算思想，希望同學(xué)們引起關(guān)注。

例題3

n2（n≥4）個(gè)正數(shù)排成n行n列

高考數(shù)學(xué)通常把考查數(shù)列的試題作為壓軸題，而且許多難度大的數(shù)列試題往往是由高中競(jìng)賽數(shù)學(xué)的試題改編而來(lái)的。這道題的關(guān)鍵的盡可能多地將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的關(guān)系式。

二、近年高考例題解析

2015年的一道數(shù)列高考題十分有特點(diǎn)，下面列舉和大家一起分析一下。題目如下：

（1）若a1＝6，求集合M中所有元素

（2）若集合M中存在以個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù).

（3）求集合M的元素最大值.

此題著重考查了遞推數(shù)列，立意新穎。第三個(gè)問(wèn)題還考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的敏感性，同時(shí)也給其他考生留了一條出路——枚舉法。這一問(wèn)題，既有難度，又無(wú)難度，是一道難得的好題。解答問(wèn)題3

記Card（M）為集合M的元素個(gè)數(shù)，由于a2一定是偶數(shù)，故a3一定是4的倍數(shù)，因此，可以從a3開(kāi)始討論，容易知道數(shù)列｛an｝中任意一項(xiàng)都是不大于36的正整數(shù)，并且an（n≥3）均為4的倍數(shù)，故an（n≥3）可取4（k＝1，2，...，9）.若a3是3的倍數(shù)，則由（2）可知，an（n≥3）只能取12，24，36，故此時(shí) Card（M）≤5；若 a3不是3的倍數(shù)，則 an（n≥3）只能取4，8，16，20，28，32，故此時(shí) Card（M）≤ 8；又 a1＝1時(shí)，M ＝故Card（M）最大值為8.

由此的拓展

當(dāng) a1＝6k±1時(shí)，Card（M）都可以取到最大值.當(dāng)a1＝9，18，27，36時(shí)，數(shù)列有極限，當(dāng)a1為其他值時(shí)，存在N0∈N*，當(dāng)n＞N0時(shí)，數(shù)列為周期數(shù)列，因此出現(xiàn)以下問(wèn)題：

若P為素?cái)?shù)，a1·s∈N*，a1≤ps，

則（1）Card（M）最大值是多少？當(dāng)Card（M）取到最大值時(shí)，首項(xiàng)是多少？

（2）若數(shù)列有極限，則首項(xiàng)是多少？

（3）該數(shù)列是否要么有極限，要么存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，數(shù)列是不是長(zhǎng)數(shù)列的周期數(shù)列

（4）若首項(xiàng)取任意值，數(shù)列都有極限，那么p，s要符合什么條件？

對(duì)于（3），當(dāng)p≠2且a1＝ps時(shí)，則集合M一定是無(wú)限集；所以考慮另一種推廣：an＋1＝p［an－（k－1）s］，（k－1）s＜an≤ks，其中1≤k≤p.由于分段較多，可以對(duì)PS取模，此時(shí)（3）顯然成立。其他有關(guān)問(wèn)題得到結(jié)果如下：

定理的證明（1）記f（s，a1）是由s和a1確定的，集合M的元素個(gè)數(shù)，f（s）＝max f（s，a1），即 f（s）是 Card（M）的最大值，令 （i，a1）＝q成立.

由 ps｜（an＋1－pan），q｜ps，t｜s，

知 q｜（an＋1－pan），t｜（an＋1－pan），

由歸納法知?n∈N*，有q｜an及（t，an）成立.

由｛bn｝的構(gòu)造可知 p｜b2，故由歸納得 pa＋1｜ba＋2；

即對(duì) ?n≥ a＋2，pa＋1｜b成立.

故當(dāng)n≥a＋2時(shí)，bn＝pa＋1

再由r*的最小性可知：

c1，c2，......cr*互不相同，

因 r*≤ r（t），

＝a＋1＋r*≤a＋1＋r（t）；

綜上可知：

f（s）＝a＋1＋r（t），當(dāng) β＝a＋1，r*＝r（t）時(shí)，等式成立.

即當(dāng)（p，a1）＝1，r*＝r（t）時(shí)，Card（M）最大值 a＋1＋r（t）