用放縮法證明與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式

張?jiān)茦?biāo)

摘要：數(shù)列是高考與競賽中的熱點(diǎn)，而與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明問題更是受到命題者的青睞，近年來在高考、各地高考模擬試題與競賽試題中頻頻出現(xiàn)，且有些證明問題難度較大，思維能力要求較高，除了要利用證明不等式的一些基本方法（如比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法等）外，往往還要對所證不等式進(jìn)行放縮。眾所周知，放縮要有一定的“度”，放得太大或縮得太小都會(huì)事與愿違，達(dá)不到證題目的。下面通過一些高考題、各地高考模擬題或競賽題談?wù)勛C明與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式問題的常用放縮策略。

關(guān)鍵詞：放縮法；數(shù)列；不等式

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）34-0146-01

常用策略一：抓住通項(xiàng)，對通項(xiàng)進(jìn)行放縮。

有些與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式，其前n項(xiàng)和不能求得，但通過對通項(xiàng)的適當(dāng)放縮，其放縮后的和可求得，從而達(dá)到證題目的。

例1.已知數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=12 ，an=-2Sn Sn-1（n≥2）。

⑴求證：{1Sn} 是等差數(shù)列；

⑵求an 的表達(dá)式；

⑶若bn=2（1-n）·an（n≥2） ，求證：b22+b23+…+b2n<1 。

（2004年南昌市高考模擬試題）

證明：這里主要對⑶進(jìn)行證明。由⑵求得的an=-12n（n-1） （n≥2），得bn=1n （n≥2）。

∴b22+b23+…+b2n=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）=1-1n<1，獲證。

【評注】這里用到的放縮式是1n2<1（n-1）·n（n≥2），類似的放縮式還有

1n2<1（n-1）（n+1） （n≥2），1n2>1n（n+1）（n∈N+） ，1n！<1n（n-1） （n≥4）等。

常用策略二：放至最大項(xiàng)或縮至最小項(xiàng)。

對于有些存在最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的數(shù)列（如單調(diào)數(shù)列、有界數(shù)列）的前n項(xiàng)和的不等式證明問題，有時(shí)可以將每一項(xiàng)（或部分項(xiàng)）放至最大項(xiàng)或縮至最小項(xiàng)，從而達(dá)到證題目的。

例2.數(shù)列{xn} 滿足：x1=13，xn+1=x2n+xn（n∈N+） 。試證：

2<11+x1+11+x2+…+11+x2004<3

證明：∵xn+1-xn=x2n ，用賦值法可得xn+1-x1=x21+x22+…+x2n 。而xn+1-xn=x2n>0 ，

得數(shù)列{xn} 單調(diào)遞增，∴xn+1-x1>nx21 ，即xn+1>n+39 。

又1xn+1=1xn（xn+1）=1xn-1xn+1 ，即1xn+1=1xn-1xn+1 。

∴∑ni=11xi+1=1x1-1xn+1=3-1xn+1<3

，且3-1xn+1>3-9n+3。取n=2004 得2<3-92007<3-1x2005= ∑2004i=111+xi<3，命題獲證。

【評注】這里利用數(shù)列{xn} 單調(diào)遞增，將x2，x3，…，xn 均縮至x1 ，從而達(dá)到證題目的。對于遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，我們可以考慮將數(shù)列中的項(xiàng)縮至最小項(xiàng)或放至最大項(xiàng)；對于有界數(shù)列，我們可以考慮將數(shù)列中的項(xiàng)縮至下界或放至上界。

上面我們利用幾種常用的放縮策略解決了一些高考模擬題、高考題及競賽題中與數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式，從中可以領(lǐng)略到利用放縮法證明與數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)不等式的魅力，同時(shí)也感受到了實(shí)施放縮時(shí)選擇策略的重要性。只有掌握了各種放縮策略的真正內(nèi)涵，才能在證明與數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式時(shí)放縮自如，從而使問題得到有效解決。

參考文獻(xiàn)：

[1] 戴怡萱.高中生解決不等式證明問題的調(diào)查研究[D].華東師范大學(xué)，2018.

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