數(shù)學(xué)建模競賽對獨(dú)立院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索

程艷

【摘要】作者就獨(dú)立院校數(shù)學(xué)的教學(xué)改革進(jìn)行了探索，根據(jù)平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，介紹了開展數(shù)學(xué)建模競賽的意義，并基于數(shù)學(xué)建模的思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入建模內(nèi)容，探索應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的途徑，以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；教學(xué)改革；獨(dú)立院校

一、引言

何為數(shù)學(xué)建模？當(dāng)研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究，了解對象信息，做出簡化假設(shè)，在分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等作表述來建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題。

1989年，我國大學(xué)生首次參加美國的數(shù)學(xué)建模競賽。1992年，中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)模型專業(yè)委員會(huì)在八大城市組織舉辦了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽；從1994年起，由我國教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦我國自己的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（CUMCM），每年一次，并成為教育部規(guī)定的面向全國所有高校的四大學(xué)科競賽之一，目的在于激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題的綜合能力，鼓勵(lì)學(xué)生踴躍參加課外科技活動(dòng)，開闊知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識(shí)，推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。

隨著我國高等院校招生規(guī)模的不斷擴(kuò)大，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差別越來越大。尤其是獨(dú)立學(xué)院，一般在三本批次招生，高考分?jǐn)?shù)較低，學(xué)生基礎(chǔ)相對薄弱。特別是數(shù)學(xué)學(xué)科，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)方法都處在比較低的層次。因此，針對獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，轉(zhuǎn)變現(xiàn)有的教學(xué)理念就變得非常重要。但由于數(shù)學(xué)理論體系具有自身的學(xué)科特點(diǎn)，理論性、系統(tǒng)性都非常強(qiáng)，我們不可能大刀闊斧地對數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)改革。但是，我們可以從小處著手，將理論與實(shí)際結(jié)合，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓其認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的重要性和應(yīng)用性。數(shù)學(xué)建模競賽就是一個(gè)很好的切入點(diǎn)，不僅可以引起學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，而且可以讓知識(shí)更加生活化，更容易被接受、領(lǐng)會(huì)。

二、學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽的意義

（一）數(shù)學(xué)建模競賽對學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模競賽的題目都是來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過簡化加工的實(shí)際問題，有較強(qiáng)的靈活性，沒有標(biāo)準(zhǔn)的模式，即使是對同一問題進(jìn)行處理，其采用的方法和思路也是多種多樣的，因此需要參賽者發(fā)揮創(chuàng)造能力。

（二）數(shù)學(xué)建模競賽對學(xué)生用數(shù)學(xué)建模方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)

不同數(shù)學(xué)建模的求解一般涉及不同的數(shù)學(xué)分支的專門知識(shí)，而且許多求解過程及運(yùn)算都比較復(fù)雜，甚至在求解過程中需要了解其運(yùn)行的趨勢。計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)建模中扮演著重要的角色，在建立模型之前，復(fù)雜的實(shí)際問題往往需要通過計(jì)算或圖形來分析。確定數(shù)學(xué)模型后，還要利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行編程來完成大量復(fù)雜的計(jì)算和圖形處理。數(shù)學(xué)建模主要應(yīng)用的軟件有MathemaTIca，LINGO，LINDO，MATLAB，SPSS。使用它們可以解決幾乎所有關(guān)于數(shù)學(xué)的問題，如求導(dǎo)、積分、最值問題、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最短路和最小費(fèi)用等問題，還可以很輕易地畫出二維、三維圖形。應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)建模問題是建模非常重要的環(huán)節(jié)。因此，數(shù)學(xué)建模競賽對提高學(xué)生使用計(jì)算機(jī)編程的能力是不言而喻的。

（三）數(shù)學(xué)建模競賽對學(xué)生團(tuán)結(jié)合作精神的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模題目涉及的領(lǐng)域比較廣，具有很強(qiáng)的靈活性，但是它又不同于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，呈現(xiàn)出理工結(jié)合、數(shù)學(xué)交叉的特點(diǎn)，需要參賽者具有一定的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。這就需要具有不同知識(shí)結(jié)構(gòu)的人在一起互相交流思想，團(tuán)結(jié)合作，共同解決問題。建模的過程中必須相互配合，合理分工，發(fā)揮各人所長：誰負(fù)責(zé)文獻(xiàn)的檢索與信息數(shù)據(jù)的采集、篩選，誰負(fù)責(zé)建模、運(yùn)算，誰負(fù)責(zé)編寫程序，誰組織書寫論文，等等。這種能力、素質(zhì)的培養(yǎng)為他們的工作打下了良好的基礎(chǔ)。

（四）數(shù)學(xué)建模競賽對學(xué)生撰寫論文能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模的最終成果都要求學(xué)生用論文的形式精確地陳述研究的方法、步驟、自己的觀點(diǎn)、結(jié)果和模型的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模論文的評閱沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，若干個(gè)評委根據(jù)參賽者所使用的方法，論述的合理性、邏輯性等評出不同等級的獎(jiǎng)項(xiàng)。因而為了充分反映模型的價(jià)值所在，我們需要鍛煉語言的邏輯性、準(zhǔn)確性、簡潔性、針對性。這項(xiàng)活動(dòng)的開展，為大學(xué)生撰寫論文創(chuàng)造了機(jī)會(huì)，促進(jìn)了大學(xué)生寫作能力和語言表達(dá)能力的提高。

三、數(shù)學(xué)建模競賽對高校教學(xué)改革的意義

數(shù)學(xué)建模競賽的開展與高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革相輔相成，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

第一，推動(dòng)高校數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革。通過數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，將數(shù)學(xué)建模的思維融入數(shù)學(xué)課程中，打破了原有課程只重視理論、忽視應(yīng)用的教學(xué)內(nèi)容安排。

第二，推動(dòng)高校數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革。數(shù)學(xué)建模題目具有很強(qiáng)的靈活性，答案不唯一。在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，需要運(yùn)用討論式的教學(xué)方法，讓學(xué)生參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

第三，推動(dòng)高校數(shù)學(xué)教學(xué)手段的改革。隨著數(shù)學(xué)建模競賽和教學(xué)的影響日益擴(kuò)大，越來越多的教師在原有的教學(xué)內(nèi)容中引入了計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，豐富了原來數(shù)學(xué)教學(xué)的形式和方法，在一定程度上改變了單純“注入式”的教學(xué)方法，對加快高校人才培養(yǎng)模式的改革起到了推動(dòng)作用。

三、學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)

筆者認(rèn)為，在大學(xué)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師應(yīng)注重將課本知識(shí)的講授與數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合。

（一）案例一：零點(diǎn)定理的數(shù)學(xué)模型

方桌問題：適當(dāng)變換方桌的方位，能否將方桌放穩(wěn)？

1.模型假設(shè)：

（1）方桌是規(guī)則（四條腿一樣長，桌腳與地面接觸處可視為一點(diǎn)，四角連線呈正方形）；

（2）地面是連續(xù)曲面（沒有臺(tái)階）；

（3）“放穩(wěn)”僅指四腳同時(shí)著地；

（4）桌腿足夠長，并且相對桌腳的間距和桌腿的長度而言，地面是平坦的，使桌子在任何位置至少有三只腳著地。

圖1

2.模型建立。首先，用變量 表示桌子的位置。桌角連線呈正方形，以中心為對稱點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示桌子的位置。如圖1中桌角連線為正方形 ，對角線 與 軸重合，桌子繞 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 后，正方形 轉(zhuǎn)至 。

其次，把桌腳著地甩數(shù)學(xué)符號表示。設(shè) 、 兩腳與地面距離之和為 ， 、 兩腳與地面距離之和為 ，且 。由假設(shè)（4），桌子在任何位置至少有三只腳著地，所以對 ， 和 中至少有一個(gè)為零。當(dāng) 時(shí)，不妨設(shè) 和 。這樣，改變桌子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明下列數(shù)學(xué)模型：

已知： ， 是連續(xù)函數(shù)，對 ，

，且 ， .求證： ，使 。

3.模型求解。將桌子旋轉(zhuǎn) ，對角線 與 互換，令 ，則 ， .由零點(diǎn)定理知， ，使 ，此時(shí) ，即方桌放平穩(wěn)。

教師在講授上述定理時(shí)，可以利用上面的模型講解，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想。這樣，一個(gè)日常生活中直觀的實(shí)際問題通過零點(diǎn)定理就得到了很好的解決，并且學(xué)生也深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)無處不在。

（二）案例二：概率模型

若打算開一家賭場，對于每一種賭法，你應(yīng)如何調(diào)配賭局中的賠率，才能保證永遠(yuǎn)不倒莊，且永遠(yuǎn)有賭徒來賭博？

在此只討論某一種賭法，如同時(shí)擲三枚骰子，其他賭法類似。設(shè)每一賭局中共有 種結(jié)局，事先不知道會(huì)發(fā)生哪一種，設(shè)第 種結(jié)局出現(xiàn)的概率 為，每種結(jié)局對應(yīng)的賠率為 .假設(shè)投注 元，若輸了則損失 元，若贏了則獲得純利潤 .根據(jù)上述規(guī)定，每次賭局的期望值必須滿足：

（1）

這是因?yàn)槿羝骄找鏋檎龜?shù)，則表示賭博一段時(shí)間后，賭客一定會(huì)贏錢，這樣賭場必然倒莊；若平均收益為負(fù)數(shù)，則表示賭博一段時(shí)間后，賭客一定會(huì)輸錢，這樣賭客漸漸囊中羞澀，自然也就不來了，而賭場則隨之關(guān)門。將（1）式變形得：

（2）

如賭大小，三個(gè)骰子丟出3-10點(diǎn)為小，丟出11-18點(diǎn)為大。因?yàn)榇笮〕霈F(xiàn)概率都為0.5，因此根據(jù)式（2），賭大小的賠率為1。若賭的是“豹子”（出現(xiàn)三個(gè)六點(diǎn)），因?yàn)楦怕蕿?/216，則賠率為1賠215。

教師在講解有關(guān)知識(shí)時(shí)，一定要體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的思想，使數(shù)學(xué)來自具體問題，又回歸到具體問題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

在獨(dú)立院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的逐步探索中，我們應(yīng)該以數(shù)學(xué)建模為切入點(diǎn)推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，探索適合獨(dú)立學(xué)院的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更好地為獨(dú)立院校的培養(yǎng)目標(biāo)服務(wù)，促使學(xué)生更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)，綜合能力得到更好的提高，為培養(yǎng)符合社會(huì)發(fā)展需要的高素質(zhì)的應(yīng)用型人才做出貢獻(xiàn)。

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