初中數(shù)學(xué)教材中的轉(zhuǎn)化思想研究

胡曉飛 陳潔

【摘要】轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一。教師挖掘人教版初中數(shù)學(xué)教材中四個領(lǐng)域知識中所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化思想，把轉(zhuǎn)化思想方法的教學(xué)融入各個知識領(lǐng)域和章節(jié)之中，讓學(xué)生切實感受到轉(zhuǎn)化思想的意義和作用。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；教材

【基金項目】云南省教育廳項目課題（項目編號：2015Y481）。

數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)概念、公式和法則的形成和應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把數(shù)學(xué)的基本思想納入課程的總目標(biāo)，并要求教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，體會和運用數(shù)學(xué)思想與方法。

一、對轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識

轉(zhuǎn)化思想，又稱為化歸思想，是把尚未解決或難以解決的問題，通過適當(dāng)?shù)刈儞Q逐步歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終使原來的問題獲得解答的數(shù)學(xué)思想。

事實上，初中數(shù)學(xué)每章、每節(jié)都離不開轉(zhuǎn)化。在教學(xué)中，教師要充分尊重學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生將要解決的新問題轉(zhuǎn)化為已有的知識來解決，使學(xué)生在面臨陌生問題時有意識地調(diào)動已有的知識和方法，在條件和結(jié)論之間形成一條推理鏈，在每一步推理中尋找條件和結(jié)論的聯(lián)系，靈活運用等價變形，使思維過程向目標(biāo)靠近，使解題過程柳暗花明。

二、轉(zhuǎn)化的原則

轉(zhuǎn)化的基本目的是把待解決的困難問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題，為達(dá)到這一目的，我們就應(yīng)該在熟知的理論知識基礎(chǔ)上化繁為簡，化抽象為具體，化未知為已知，化一般為特殊，從而使待解決的問題得到解決。運用轉(zhuǎn)化思想時應(yīng)遵循以下原則。

第一，數(shù)學(xué)化原則，即將與生活密切相關(guān)的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，從而使實際問題得以解決。

例如七年級上冊“實際問題與一元一次方程”，就是將生活中的配套問題、工程問題、銷售問題、電話計費問題、球賽積分問題，通過設(shè)未知數(shù)列方程，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（一元一次方程），通過解方程獲得了數(shù)學(xué)問題的解，從而解決了實際問題。再例如，想了解電子產(chǎn)品與中小學(xué)生視力的關(guān)系，城市的發(fā)展程度與空氣質(zhì)量的關(guān)系，人們的幸福滿意度和生活質(zhì)量的關(guān)系，都需要利用數(shù)學(xué)中統(tǒng)計的知識來解決。

第二，熟悉化原則，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。運用已有的知識、方法來解決問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新意識。

例如，探索多邊形的內(nèi)角和公式，就是從三角形出發(fā)，把四邊形、五邊形通過添加輔助線轉(zhuǎn)化為三角形，從而尋找規(guī)律歸納出n邊形的內(nèi)角和。再例如，二次根式的加減法，就是將相同的最簡二次根式看作同類項，再合并同類項。

第三，簡單化原則，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。通過對簡單問題（一般考慮特殊情形）的解決，獲得解題的啟示和依據(jù)。

例如，函數(shù)中的動點問題，若自變量是時間t，就可以把要研究的運動問題轉(zhuǎn)化為某一時刻的靜止問題，從而獲得因變量與自變量的關(guān)系。當(dāng)然，在解決這類問題時還要考慮不同的時刻（點運動到不同位置）因變量與自變量的關(guān)系是否一致，若不一致則需要把所有可能出現(xiàn)的情形全部考慮到。再例如，在任意三角形、四邊形中探究角或邊的數(shù)量關(guān)系，可以先分析特殊情形（正三角形、正方形），先猜想出數(shù)量關(guān)系，再在一般情形中加以證明。

第四，直觀化原則，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題（借助于圖形）來解決。數(shù)學(xué)的特點之一就是具有抽象性，學(xué)生理解起來非常困難，因此就需要將其轉(zhuǎn)化成具體問題（利用圖形的直觀性），利于學(xué)生更好地分析。直觀化是初中學(xué)生經(jīng)常用到的，也是轉(zhuǎn)化思想中最能夠直觀理解的原則。

三、轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)教材中的應(yīng)用

初中學(xué)生面臨的大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題都可以綜合運用已有的知識來解決，或者轉(zhuǎn)化成某種能夠用已有的知識來解答的問題，從某種意義上來說就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過程，所以說轉(zhuǎn)化思想在初中教材中的應(yīng)用非常廣泛。

四、在教學(xué)中滲透思想方法的教學(xué)策略

（一）提問引導(dǎo)，感知轉(zhuǎn)化

中小學(xué)的數(shù)學(xué)知識是環(huán)環(huán)相扣的，新知識的教學(xué)大多建立在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)該在概念、公式、解法的教學(xué)過程中滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，通過問題引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生在嘗試解決問題的過程中感知轉(zhuǎn)化。

例如“有理數(shù)的減法”教學(xué)，教師首先創(chuàng)設(shè)溫度情境，讓學(xué)生解決溫差。學(xué)生通過分析，得到算式8-（-3）=（ ），從而揭示課題“有理數(shù)的減法”。緊接著，教師提問：這個算式的結(jié)果是多少？應(yīng)該如何計算呢？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生獲得兩種常用的解法。法一：利用減法是加法的逆運算，做減法想加法，提出新問題（ ）+（-3）=8，將有理數(shù)的減法問題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法問題來解決。法二：利用溫度計（圖形），觀察8與-3相差多少格？很容易觀察到8格加上3格等于11。第一種方法運用了熟悉化的原則，將減法問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的加法問題來解決；第二種方法運用了直觀化原則，觀察圖形（溫度計）即可。最后對解法進(jìn)一步深化，8-（ -3）=11，8+3=11，讓學(xué)生觀察這兩個算式及結(jié)果，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律。最終學(xué)生獲得有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法進(jìn)行計算的結(jié)論。

（二）問題解決，加深轉(zhuǎn)化

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)知識的掌握水平主要體現(xiàn)了學(xué)生解決問題的能力。

1.化抽象問題成直觀問題。初中數(shù)學(xué)知識的抽象性隨著年級的升高而逐漸增強，對學(xué)生的抽象思維能力要求也越來越高。部分?jǐn)?shù)學(xué)問題借助直觀圖形可以降低題目的難度。比如函數(shù)問題，一元一次函數(shù)、反比例函數(shù)及一元二次函數(shù)，利用已知條件畫出圖形，再觀察圖形可以獲得解題思路。特別是直線與函數(shù)圖像相交問題、面積問題的求解，還有排列問題，運用樹狀圖可以把可能出現(xiàn)的情況直觀地表示出來。

例：小明家有4件不同的上衣，2條不同的褲子，3雙不同的鞋子。小明要去上學(xué)，請問一共有幾種不同的穿法？

分析：他的上衣有4種穿法，而褲子有2種穿法，而鞋子有3種穿法。經(jīng)過計算可知一共有4×2×3=24種穿法。第二種算法，我們可以用A、B、C、D表示上衣，用E、F表示褲子，用G、H、L表示鞋子。用樹狀圖表示出來如下。

通過數(shù)從上到下連線的條數(shù)，就能得出有24種穿法。運用法一可以節(jié)約時間，但是學(xué)生不容易理解，只知道這道題可以這樣計算，題目稍作改變，就容易出錯，不能靈活運用到其他的排列問題當(dāng)中；法二雖然解題過程復(fù)雜，但是直觀，易于學(xué)生理解，因此學(xué)生能將這種方法運用到排列的其他題型中。

2.化繁為簡的策略。學(xué)生在解題過程中會遇到許多比較復(fù)雜的問題，直接解答會很困難，如果能夠通過某種轉(zhuǎn)化，將題目化為容易解答的數(shù)學(xué)問題，就能更好地解答?；睘楹喌牟呗酝ǔ＿\用在代數(shù)式的求值中。

例1：計算代數(shù)式 的值，其中 .

分析：若直接把 代入式子計算，會增加計算量，也容易出錯，所以這類問題應(yīng)該先化簡再代值.

解：化簡原式得 .得到最簡式.再把 代入 ，最后得出答案1.

例2：證明無論 取何值，方程 總有兩個不相等的實數(shù)根.

分析：該題是關(guān)于一元二次方程的根的個數(shù)問題， 應(yīng)先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用判別式判斷.

解：先化簡方程，將方程化為一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)式 ，可以得到 ，再根據(jù)判別式 ，可知無論 為何值，總有兩個不同的解.

教師要把轉(zhuǎn)化思想方法的教學(xué)融于各個知識領(lǐng)域和章節(jié)之中，讓學(xué)生切實感受到轉(zhuǎn)化思想的意義和作用：在有理數(shù)、無理數(shù)和實數(shù)的概念形成過程中通過直觀化原則滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；在定理、公式、解法的探究過程中深化轉(zhuǎn)化思想；在分析、解決數(shù)學(xué)問題的過程中領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014：57-58.