為“數(shù)學(xué)思考”而教

張穎

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出，數(shù)學(xué)思考是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價值的行為。2016年中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)和途徑是學(xué)會數(shù)學(xué)思考。本文以數(shù)學(xué)二年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——簡單的排列”為例，從六個方面：情境，引發(fā)數(shù)學(xué)思考；問題，誘發(fā)數(shù)學(xué)思考；探究，迸發(fā)數(shù)學(xué)思考；留白，深入數(shù)學(xué)思考；交流，提升數(shù)學(xué)思考；拓展，延伸數(shù)學(xué)思考來談?wù)剶?shù)學(xué)課堂應(yīng)為數(shù)學(xué)思考而教。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思考；發(fā)展；教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀》中指出，數(shù)學(xué)思考是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價值的行為，引發(fā)數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中最需要做的事之一。2016年中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布，核心素養(yǎng)成了新一輪課程改革中的方向標(biāo)，引領(lǐng)課程改革，而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)和途徑是學(xué)會數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)思考，就是在面臨各種現(xiàn)實的問題情境，能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，能夠發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象并運用數(shù)學(xué)知識與方法去解決問題。良好的數(shù)學(xué)教育不僅是傳承，更應(yīng)該是創(chuàng)新，讓學(xué)生在親歷中學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，從而發(fā)展思維能力，提升理性思維。筆者以數(shù)學(xué)二年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——簡單排列”為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思考的發(fā)展，積極地實踐為數(shù)學(xué)思考而教。

一、情境，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

教育家葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受益，還要靠老師的善于運用?！蔽覀兛梢赃@樣理解，對于教材的處理，教師要從學(xué)生實際出發(fā)，深入研讀教材，盤活教材，對教材知識進(jìn)行重組和整合，變“教材”為“學(xué)材”，真正體現(xiàn)“以生為本”。教師由此而創(chuàng)設(shè)的情境，必能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的開啟。

本節(jié)課教學(xué)重點為：經(jīng)歷探索找簡單數(shù)排列的過程；教學(xué)難點為：進(jìn)行有序、全面思考找出實際問題的排列數(shù)。為突破重難點，設(shè)計環(huán)環(huán)相扣的四個環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：始動——經(jīng)驗引入。在地圖中找家鄉(xiāng)溫嶺市，用紅、藍(lán)兩種顏色給溫嶺和相鄰的路橋涂上不同的顏色。

環(huán)節(jié)二：探究——引導(dǎo)建構(gòu)。（1）增加一種顏色黃色，從紅、黃、藍(lán)三種顏色中選出兩種顏色，給兩個地區(qū)涂上不同的顏色；（2）把顏色換成數(shù)學(xué)1、2、3，把溫嶺和路橋換成十位和個位，用1、2和3組成兩位數(shù)。

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用——提高能力。三人站成一排合影（用字母A、B、C等其他符號記錄），有幾種站法？

環(huán)節(jié)四：拓展——聯(lián)系生活。規(guī)劃中的臺州市軌道交通一號線，假如溫嶺到椒江只有途經(jīng)路橋，往返需幾種車票？

重組整合后的“學(xué)材”，來源于學(xué)生的生活，數(shù)學(xué)問題置身于生活情境之中，每一個情境都是生動的、有趣的，且層層遞進(jìn)，引發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看待問題、思考問題、解決問題，幫助學(xué)生體驗有序、全面思考這一數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而利于落實教學(xué)目標(biāo)。

二、問題，誘發(fā)數(shù)學(xué)思考

孔子說過：“學(xué)起于思，思源于疑。”問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是促進(jìn)數(shù)學(xué)思考的客觀因素。教師要認(rèn)真創(chuàng)設(shè)具有新穎性、挑戰(zhàn)性和可行性的問題情境，激起學(xué)生思維的波瀾，誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

教師設(shè)計課堂提問，應(yīng)著眼于學(xué)習(xí)過程中所要解決的核心問題而分層次地創(chuàng)設(shè)出一系列的問題，由易到難，環(huán)環(huán)相扣，層層深入。

本節(jié)課，細(xì)數(shù)問題，除去必要的交流提問，只有以下幾個關(guān)鍵問題：

問題一：用紅、藍(lán)兩種顏色在地圖中給溫嶺和路橋涂上不同的顏色，可以怎么涂？

問題二：從紅、黃、藍(lán)三種顏色中選出兩種顏色，給兩個地區(qū)涂上不同的顏色，有幾種不同的涂法？

問題三：用1、2和3組成兩位數(shù)，每個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字不能一樣，能組成幾個不同的兩位數(shù)？

問題四：三人站成一排合影，有幾種站法？（為了方便記錄，我們用字母A來表示爺爺，字母B來表示爸爸，字母C來表示兒子或用其他符號表示。）

問題五：規(guī)劃中的臺州市軌道交通一號線。假如溫嶺到椒江只有途經(jīng)路橋，請問往返需幾種車票？

問題六：你喜歡哪一種方法？為什么？

問題七：我們解決了地圖涂色問題等問題，有什么相同的地方？

在問題的設(shè)置中，真正做到：“易行”，把復(fù)雜問題分散到各個環(huán)節(jié)中，復(fù)雜問題分散化，簡單化，層次化；“精準(zhǔn)”，所提的問題少而有用，準(zhǔn)而明確，提在要探究、要解決的重難點處；“向?qū)А?，問題具有方向性和引導(dǎo)性，由淺入深，循序漸進(jìn)，學(xué)生在解決一系列的問題后自然達(dá)到我們要的目標(biāo)。本課巧借問題而如期達(dá)成，幾個關(guān)鍵問題，為學(xué)生的思考指明了方向，誘發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

三、探究，迸發(fā)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)課堂，不只是學(xué)生獲取知識，更重要的是發(fā)展學(xué)生們的思維能力，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。而自主探究學(xué)習(xí)，就是實現(xiàn)這一目標(biāo)的重要學(xué)習(xí)方式。學(xué)生自己的認(rèn)識水平和已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在教師的精心指導(dǎo)和幫助下，通過自己的獨立探索或合作交流，從而獲取知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過程。

因此，教師應(yīng)該在課堂中給予學(xué)生充分探究的機(jī)會，調(diào)動學(xué)生參與活動的積極性，發(fā)揮學(xué)生自主探究的能動性。讓學(xué)生在探究中自主學(xué)習(xí)，在探究中質(zhì)疑問難，在探究中尋找快樂。

自主探究是本節(jié)課學(xué)生主要的學(xué)習(xí)方式，針對本節(jié)課設(shè)計的第二、三、四環(huán)節(jié)，設(shè)計四個探究活動，分別為：我會涂、我會寫、我會排、我會畫。

課堂中，始終重視學(xué)生的主體地位，借助教師精心設(shè)計的涂顏色、寫數(shù)字、排位置、畫路線等活動，通過獨立思考、自主探究、動手實踐而迸發(fā)數(shù)學(xué)思考、獲得知識技能，而得到全面發(fā)展。

四、留白，深入數(shù)學(xué)思考

留白來源于繪畫藝術(shù)形式，其實數(shù)學(xué)教學(xué)也可借鑒留白手法，給學(xué)生呼吸的“氣眼”，數(shù)學(xué)思考才能靈動生長，枝繁葉茂。

時下許多課堂，當(dāng)教師提出問題后，常常讓一部分馬上舉手的尖子生回答，而絕大部分學(xué)生還沒有好好思考。這樣的教學(xué)是不可能培養(yǎng)多數(shù)學(xué)生的思考力的。因此，學(xué)生在思考時，需要老師在課堂中耐心等待，不要急于把問題的思路給學(xué)生，不要輕易肯定或否定學(xué)生的想法，而要留給學(xué)生思考的時間和空間。這樣學(xué)生才能深入數(shù)學(xué)思考，生成新的智慧。

教學(xué)片段：

師：（出示圖1）用紅、藍(lán)兩種顏色給溫嶺和路橋這兩個地區(qū)涂上不同的顏色，可以怎么涂？

學(xué)生舉手踴躍，師指名回答：給溫嶺涂紅色，給路橋涂藍(lán)色；也可以給溫嶺涂藍(lán)色，路橋涂紅色。

師：老師把你們的方法展示出來（課件播放）。

小結(jié)：是的，用紅藍(lán)兩種顏色，交換位置，就形成兩種不同的涂法。

如果再增加一種顏色：黃色。

讀題：從紅、黃、藍(lán)三種顏色中選出兩種顏色，給兩個地區(qū)涂上不同的顏色，有幾種不同的涂法？

學(xué)生舉手，師：不著急說，我們先來涂一涂。拿出作業(yè)紙和水彩筆，在第一題“我會涂”中涂一涂。（圖2）

圖1作為始動——經(jīng)驗引入環(huán)節(jié)，問題簡單，在學(xué)生片刻思考后，即指名口頭回答；圖片2作為探究——引導(dǎo)建構(gòu)環(huán)節(jié)，處理方式和圖1完全不同。問題一出，學(xué)生興趣高漲，馬上有學(xué)生舉手（這時，學(xué)生的答案猜測的為多），但教師不急于讓學(xué)生回答，而是靜候越來越多的學(xué)生舉手，留給學(xué)生獨立思考、自由思考的空間。然后出示（圖2）讓學(xué)生在作業(yè)紙中涂一涂，學(xué)生在教師留給的時間里充分暴露自己的思維過程，也為接下來的方法展示提供了充分的素材。

五、交流，提升數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)交流是學(xué)生把內(nèi)部思考轉(zhuǎn)變?yōu)橥獠空Z言的一條重要途徑，更是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的一種手段。在數(shù)學(xué)交流過程中，學(xué)生能夠表達(dá)自己的思維方法及過程，可以組織和強(qiáng)化自己的數(shù)學(xué)思考，可理清數(shù)學(xué)思考的過程，鞏固數(shù)學(xué)思考的結(jié)果；同時，通過思考他人的想法，相互啟發(fā)、相互認(rèn)可，豐富和擴(kuò)展自己的知識和思維，深化對數(shù)學(xué)知識的理解。

1.暢所欲言

教師應(yīng)在課堂教學(xué)中積極創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)交流的環(huán)境，讓學(xué)生將自己的思考教程用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號通過口頭或書面表達(dá)出來，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的提高。

在每個活動后，我都讓學(xué)生來表達(dá)自己的想法，“你有什么想說的？”“請你和大家分享一下你的想法?！薄坝袥]有不同的方法？”“誰愿意帶著自己的作品上臺向大家展示下？”“聽明白了嗎？誰也能像他這樣說一說？”

當(dāng)學(xué)生把想法呈現(xiàn)給其他學(xué)生的時候，教師給的是等待，讓他們充分表達(dá)自己的思維。當(dāng)學(xué)生通過語言交流再現(xiàn)數(shù)學(xué)思考，處于混沌狀態(tài)的數(shù)學(xué)思考才能逐漸明晰起來，從而促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的提高，創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展；而其他學(xué)生在用耳去辨析的過程中也有所收獲。

2.及時點撥

小學(xué)生的思維特點是從具體形象思維逐步向抽象思維發(fā)展。隨著學(xué)生的經(jīng)驗積累，隱藏在數(shù)學(xué)知識后面的多種方法就會逐漸引起學(xué)生的注意和思索，但因?qū)W生的思維能力原因，需要教師根據(jù)教學(xué)的需要，巧妙地運用點撥，進(jìn)行正面突破，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉。

【教學(xué)片斷】

老師收集了幾幅典型作品，我們來欣賞一下。

1.無序。

問：你有什么發(fā)現(xiàn)？（重復(fù)）有沒有遺漏？ 板書：重復(fù)、遺漏。

2.確定位置法。

師：這是誰的作品？請你來表達(dá)一下想法。我們按照他的想法來貼一貼。（用磁鐵片在黑板上貼）

3.交換位置法。

師：這是誰的作品？請你和大家分享一下你的想法。我們按照他的想法來貼一貼。（用磁鐵片在黑板上貼）

師：有沒有不同方法？（如有，據(jù)實歸為1、2、3種方法。）

師：這三種方法你喜歡哪一種？你為什么喜歡第二種和第三種？

板書：有序思考——不重復(fù)、不遺漏。

給有序的兩種方法取名。

回過頭來看第一種有沒有遺漏？

“這三種方法你喜歡哪一種？你為什么喜歡第二種和第三種？”看似隨意的問題，為學(xué)生指點迷津，撥開疑霧，水到渠成地引出本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法：有序思考，促進(jìn)學(xué)生由感性認(rèn)識上升為理性思考，實現(xiàn)知識與能力的雙重轉(zhuǎn)化。

“給有序的兩種方法取名”，正面地、直截了當(dāng)?shù)攸c明“確定位置法”和“交換位置法”，為后續(xù)的一系列活動指明了方向。

【拓展，延伸數(shù)學(xué)思考】

特級教師閆學(xué)曾說過：“好課是一道芬芳、幽遠(yuǎn)的茶?！焙侠硗卣拐n堂教學(xué)內(nèi)容，溝通數(shù)學(xué)知識與大千世界的聯(lián)系，讓學(xué)生在更廣闊的數(shù)學(xué)天地中解決問題，體驗成功，創(chuàng)生思維，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。

教學(xué)中，只要我們克服隨意性、盲目性，圍繞教學(xué)內(nèi)容，針對教學(xué)重點，客觀分析學(xué)情，精選內(nèi)容，凸顯自主性、創(chuàng)新性，對課堂教學(xué)進(jìn)行有效拓展，既豐富了課程內(nèi)容資源，又為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考服務(wù)，最終達(dá)到發(fā)展思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

本課的最后一個活動：拓展——聯(lián)系生活，我是這樣設(shè)計的。

（1）我們的家鄉(xiāng)在不斷地發(fā)展。按照臺州市規(guī)劃，椒江至溫嶺的臺州市軌道交通一號線已通過評審， 規(guī)劃中的一號線北起椒江外沙，南至溫嶺南屏，連通椒江、路橋、溫嶺三地。假如溫嶺到椒江只有途經(jīng)路橋，請問往返需幾種車票？（在操作紙中畫一畫，后交流反饋，總結(jié)有序思考的方法：確定位置法和交換位置法。）

（2）知識鏈接：地圖四色→課前的無色到彩色。（課件演示）

這樣的活動與學(xué)生現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系，是學(xué)生感興趣的內(nèi)容；立足于教學(xué)實際，圍繞教學(xué)重難點，實現(xiàn)了知識與生活和兒童認(rèn)知世界的交匯，是有效的課堂教學(xué)拓展。解決問題時，是有序、全面思考的輻射和延續(xù)；是方法運用的深化和提高。

總之，我們的數(shù)學(xué)課堂，要創(chuàng)設(shè)引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的良好情境，要設(shè)計誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的關(guān)鍵問題，要開展迸發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的探究活動，要留給學(xué)生深入數(shù)學(xué)思考的時間和空間，要給足提升數(shù)學(xué)思考的交流機(jī)會，要增加延伸數(shù)學(xué)思考的拓展內(nèi)容，真正使我們的孩子受到良好的數(shù)學(xué)教育，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]劉娟娟.數(shù)學(xué)思考：學(xué)生必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].教育研究與評論：小學(xué)教育數(shù)學(xué)，2017（06）.

[3]張孝天.新思維數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M]. 浙江教育出版社，2008.

[4]陶芳.對“數(shù)學(xué)思考”的思考[J]. 教育研究與評論：小學(xué)教育數(shù)學(xué)，2015（08）.