淺談極值點偏移問題中構(gòu)造函數(shù)的兩種方法

（江蘇省南通中學(xué) 江蘇南通 226000）

一、構(gòu)造差函數(shù)

例1.（2014江蘇南通二模第20題）設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，且x1＜x2.

第一問的答案為a＞e2.

因為f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex-a，所以x2＞lna，f(1) ＞0，所以x1＞1，則有當(dāng)a=e3時，③式不滿足，所以這條路無法走下去.

那么這道題是不是無解呢，顯然不是，我們可以從另外一個角度來思考，利用①式和②式相減：

設(shè)g(s)= 2s-(es-e-s)，則g′(s)=2-(es+e-s)＜0，所以g(s)是單調(diào)減函數(shù)。

這個方法未免過于討巧了些，那我們能不能找一些更具有普適性的方法呢？

我們都知道，在做極值點偏移的題目時，有一個常規(guī)的做法，就是構(gòu)造形如g(x) =f(x+c)-f(x-c)的式子（c為極值點的橫坐標(biāo)）

g(x) =a(ex-e-x-2x)

∴f(x1) =f(x2) =f[ lna-(x2-lna) ] ＞f[ l na-(x2-lna) ] =f(2lna-x2)因為f(x)在(0 ,ln )單調(diào)減，

主元法構(gòu)造也屬于構(gòu)造差函數(shù)的一種.本題也可構(gòu)造g(x) =f(x) -f(2lna-x)(x＜ lna)，具體解法與上相同，不再贅述了.

二、齊次化構(gòu)造

例2.（2017屆湖北省第一次八校聯(lián)考理科21題）已知函數(shù)f(x) = l n(x+ 2a) -ax，a＞0.

這種思路在思考是不容易將式子變形到我們所能夠進(jìn)行求導(dǎo)處理的函數(shù)形式，所以我們可以選擇在思維難度方面要求更低的齊次化構(gòu)造.

所以，h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，h(t) ＞h(1) = 0，

我們在解答有關(guān)極值點偏移的問題時，構(gòu)造函數(shù)能為我們省下不少時間和精力，但是依舊存有一些疑惑，在進(jìn)行構(gòu)造的時候該怎樣選取構(gòu)造方式？如例1，在使用齊次化構(gòu)造的時候會遇到比較難辦的構(gòu)造差函數(shù)則相對比較容易破解，而在例2中，齊次化構(gòu)造相對于構(gòu)造差函數(shù)又降低了思維難度困難， 怎樣快速選取構(gòu)造函數(shù)的方法還希望能和大家一起討論交流.