關于分塊半正定矩陣性質的注記

張萍萍，任芳國

（陜西師范大學 數學與信息科學學院，陜西 西安 710062）

分塊半正定矩陣的性質研究有著重要的理論價值，在實際應用中具有重要的作用，是學界研究的熱點[1-5]。文獻[6-7]給出了幾個分塊半正定矩陣之間的關系及半正定矩陣的相關結論；文獻[8-10]主要用分塊半正定矩陣的相關性質證明了矩陣不等式；文獻[11]利用Schur乘積定理、分塊矩陣逆、矩陣跡、行列式和正規(guī)矩陣的性質，獲得了矩陣跡不等式、半正定分塊矩陣的行列式不等式、矩陣主子陣的不等式、矩陣的譜跨度的不等式相關結果。本文借助以上的研究成果和現有的分塊半正定矩陣的相關性質，研究了2×2分塊半正定矩陣關于行列式的性質以及2×2分塊半正定矩陣的判定等價命題，深化了分塊半正定矩陣已有性質。此外還研究了兩個Hermite矩陣在狀態(tài)R下的協方差和方差的基本性質。

1 預備知識

為了敘述方便，我們對文中符號進行約定：A?表示矩陣A的共軛轉置，AT表示矩陣A的轉置，表示數域F上的所有m×n的矩陣的集合；表示數域F上的所有n×n的矩陣的集合是矩陣 A的跡，其中

下面是與本文有關的幾個定義和引理：

定義1[2]設矩陣，有則稱 A為半正定矩陣，若，則稱A為正定矩陣。

定義2[4]設 A∈Mn×n(C )，λ1,λ2,…，λn為 A的特征值，若，則稱 ρ(A)為矩陣A的譜半徑。

定義4[1]設 X∈Mn(C)，若則稱 X為；其他未加說明的符號參見文獻[1]。壓縮矩陣，若‖‖X ＜1，則稱X為嚴格壓縮矩陣。

定義5[1]設A,B∈Mn()C ，則稱

2 主要結論及證明

定理1設A∈Mn(C)為正定矩陣，x,y∈Cn，且α，β都是正實數，令

3 結論

2×2分塊半正定矩陣的性質在分塊矩陣的研究中占據重要位置。本文利用已有的分塊半正定矩陣的相關性質，獲得了一些分塊半正定矩陣關于行列式的性質以及2×2分塊半正定矩陣的判定等價命題和兩個Hermite矩陣在狀態(tài)R下的協方差和方差的相關性質。