類比思想在知識學習中的實踐與思考
——以等比數(shù)列學習為例

☉江蘇省南京市雨花臺中學 劉 恒

在學完等差數(shù)列后，等比數(shù)列的教與學來得就比較自然流暢，既可輕松獲得等比數(shù)列知識，又可鞏固反思數(shù)列概念及等差數(shù)列知識的教與學.教材已給出我們研究有規(guī)律的數(shù)列的方法，自然地，我們只要循規(guī)蹈矩，輔以對函數(shù)方法及數(shù)列特殊性的深刻認識，相信無論是對于教，還是對于學都是有益的.堅信能夠輕易實現(xiàn)教學目標，突破教學難點.但教學中可能并不如此.

設計等比數(shù)列概念的教學理念應該是：在教學中貫穿明暗兩線，相信教與學會來得自然一些.事實上，由于對數(shù)列的知識性、系統(tǒng)性認識的匱乏，會造成對教與學的牽強.具體地：①等比數(shù)列的引入與概念（文字語言描述）；②等比數(shù)列的遞推公式（數(shù)學語言描述）；③等比數(shù)列的通項公式（推導）；④等比數(shù)列通項公式的應用；⑤等比數(shù)列的性質(zhì)的探究.實際上，在層層相扣的各個環(huán)節(jié)中，由于對知識的深刻性認識不夠，造成了教與學的勉強.因此，類比等差數(shù)列學習的過程，進而獲得等比數(shù)列的概念、性質(zhì)，成為學習的一條合理途徑.

一、簡述

本節(jié)課為“數(shù)列”第三節(jié)教學內(nèi)容，是在學習了數(shù)列概念、等差數(shù)列概念及性質(zhì)的基礎上，學習另一種特殊數(shù)列——等比數(shù)列，進一步加強和學習對數(shù)列問題研究的思路和方法，完善學生數(shù)列的認識結構，解決一些相關實際問題.教學重點是等比數(shù)列定義的掌握及通項公式的推導；教學難點是等比數(shù)列通項公式的推導.以學生主動學習為準則，計算機輔助教學為手段；重在學生的自主探究學習，輔以教師的啟發(fā)式教學，徹底貫徹“教學活動的主體是學生，活動的組織者為教師”的原則.

二、設計

對于數(shù)列的教材地位、教學目標、教學難點、方法采用、教學流程，教學實施過程中大同小異，均能較好地體現(xiàn)，但教學中由定義到遞推公式、由遞推公式得通項公式的環(huán)節(jié)轉換，顯得不自然.以下反思教與學中對等比數(shù)列概念教學的不足，提一些建議.（情境和小結部分刪減）

環(huán)節(jié)（一） 引入新數(shù)列

引例 最近全球禽流感蔓延，我國部分地區(qū)也出現(xiàn)了疫情，其中最危險的是高致病的H5N1型.假設現(xiàn)在試驗室里有1個H5N1型病菌，它進行分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，…，這個病菌分裂n次后，得到的細胞個數(shù)是：____.我們將每次分裂得到的病菌個數(shù)記錄下來，就得到一列數(shù)：1，2，22，23，…，2n，….

評價：這里的引入略為簡單，但基本可行.從折紙游戲（紙的對折）的厚度、面積、邊長、次數(shù)等的變化構成的多個數(shù)列，從而引入等比數(shù)列.

問題1：這列數(shù)構成數(shù)列嗎？是.

評價：復習、鞏固數(shù)列的概念.實踐中，多名教師未能突出函數(shù)關系.

問題2：這個數(shù)列的項有什么特征？

學生思考：學生會得到多種特征.（多名教師與學生思維錯位）

評價：得到等比項及項與項的關系等.由于問得含糊，現(xiàn)場混亂，應對照數(shù)列表示法及等差數(shù)列的學習經(jīng)驗加以引導.

環(huán)節(jié)（二） 等比數(shù)列定義

問題3：這是一個具體的等比數(shù)列，同學們能否給出一般的定義？

實施：學生積極地投入到討論中，然后齊聲回答：等比數(shù)列概念.

評價：類比等差數(shù)列，獲取等比數(shù)列的知識，強調(diào)從第二項起.齊聲回答了，但是朗讀.若能深刻理解數(shù)列第二表示法及等差概念，不難得到，課堂時有尷尬、勉強.

問題4：上述我們研究了等比數(shù)列的定義，接著我們應該研究什么了？（學生表現(xiàn)差強人意）

實施：教師邊設問邊啟發(fā)，學生小聲討論，抬頭看黑板，最后笑了.板書：遞推關系.

評價：師生互動，熟悉研究數(shù)列的流程，既鞏固舊知，又獲取新知.由于對等差數(shù)列研究流程認識的缺乏，學生茫然.至此對數(shù)學規(guī)律及數(shù)列知識本身研究什么的理解顯得尤為重要.

問題5：數(shù)學語言怎樣表述？如何用數(shù)學語言詮釋、描述任意前后兩項的關系呢？

評價：學生自主探究發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.領悟an≠0，q≠0，學生能模仿等差數(shù)列的做法.教師未能從數(shù)的本質(zhì)入手強調(diào)：an≠0，q≠0.

問題6：如何判定一個數(shù)列是不是等比數(shù)列？

實施：啟發(fā)學生回到數(shù)列的定義.

評價：一種數(shù)學的方法，定義既是判定，又是性質(zhì).還需強調(diào)“從第二項起”認為無所謂，事實并非如此.

練習：已知{an}是等比數(shù)列，c≠0，求證：{c·an}是等比數(shù)列.

實施：學生先做，教師巡視，請學生回答，教師板書并加以補充說明.

評價：展現(xiàn)嚴謹?shù)倪壿嬐评磉^程，培養(yǎng)強化學生的嚴密思維能力.c≠0強調(diào)不夠，這里可能師生共同完成的話.還需強調(diào)“第二項起”，才能起到強化作用.

環(huán)節(jié)（三） 通項公式的推導

問題7：已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q（a1≠0，q≠0），求{an}的通項公式.

實施：等差數(shù)列的通項公式是如何推導的？

續(xù)問：那等比數(shù)列呢？學生思考后：累差疊加→累商疊乘.

評價：類比等差數(shù)列公式推導，得到等比數(shù)列公式的推導方法，培養(yǎng)觀察猜想能力.

問題8：得到an=a1·qn-1有何不妥之處？

實施：這里n≥2，n∈N*不完整，應該對n=1進行驗證.

評價：驗證是要點，也是今后學習的易錯點.由于多人對等比概念的理解不深入，只是生硬地進行了對n=1的驗證教學，甚至有人忘了.“從第二項起”重要了吧.在今后的學習中，更要掌握疊加、疊乘均為“從第二項起”，須驗證n=1時的情形.

環(huán)節(jié)（四） 例題選講和訓練

（1）已知等比數(shù)列{an}，請完成下表.

基本量題號 a 1 q n a n①-3 -3 2②5 2 8 0③1.2 4 7 6.8④■ 6 4 2 2■

評價：題組訓練是為了熟悉“知三求一”，至此數(shù)學已有知識的應用得心應手，才能夠完成教學任務，達成教學目標.可學得怎樣呢？仍感性多于理性.

（2）等比數(shù)列{an}中，a3=18，a4=54.

①求公比q及a1；

②求a5，a6，a10.

評價：基本方法：等比定義、方程（組）思想，問題設計欠缺，公比時正時負，顯然對積的本質(zhì)認識更為深刻.

變式：等比數(shù)列{an}中，a3=18，a5=54，求a2.

評價：歸納總結，任意兩項、三項、四項之間的關系.作為第二課繼續(xù)學習的內(nèi)容，學生勉強會，仍由于對等差數(shù)列研究的價值取向不明，因此存在學生概念模糊.

三、反思

在等比數(shù)列概念的教學實踐中，我們都能夠給出一個較生動的實例引入，設法由學生自述等比數(shù)列的定義，嘗試由學生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列通項公式的推導方法，試圖讓學生探究等比數(shù)列的性質(zhì)等.教學實施過程中也嘗試了多種教學方法，啟發(fā)引導、聯(lián)想類比、思維遷移等.

但由于沒有掌握數(shù)列知識的本質(zhì)特征，從而教學現(xiàn)場時時冷場.譬如，由于沒有掌握數(shù)列第二表示法——遞推公式表示法，從而描述混亂；由于沒有掌握等比數(shù)列的定義（第二項起）而留下隱患；由于沒有區(qū)分差與積，等比知識停留在等差認識的層次等.

教與學的得與失：本節(jié)課在數(shù)列概念的基礎上，若按部就班，則把等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類重要數(shù)列的有關概念和性質(zhì)進行類比對照，不僅可鞏固等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，而且較自然地得出了等比數(shù)列的定義，以及類似的性質(zhì)，又非常清楚地揭示了等比數(shù)列的本質(zhì).整個教學過程遵循“教學、研究、發(fā)現(xiàn)”同步協(xié)調(diào)的原則，滲透“猜想——證明”的數(shù)學問題研究的思想和方法，恰當?shù)匾蒙钪械膶嵗?，從激發(fā)學生的學習興趣，進行數(shù)學教學中的合情推理、恰當類比、邏輯推理和歸納總結，能較圓滿地完成“等比數(shù)列”第一課時的教學任務，實現(xiàn)教學的目標.

一些不足：在生活實例引入時，學生對新數(shù)列的特征歸納發(fā)散性太廣，在這里應該作適當?shù)奶釂杹砑右砸龑?；在教學過程中學生參與的積極性很高也很投入，不時地崩出智慧的思想火花，但由于對數(shù)列知識特殊性的認識不夠，概念不明，導致答非所問，學無長處.

教是一件難事，把一個知識點傳授，需要我們教師付出艱辛的勞動，把一個知識體系建立起來更需要教師與學生共同的努力.教師首先掌握知識，通過教，學生得以順利掌握知識、領悟數(shù)學知識的應用，學生的學就顯得那么自然.H