三角函數(shù)最值問題的分類探究

☉江蘇省啟東市第一中學(xué) 邢華妹

三角函數(shù)最值問題處在代數(shù)、三角、幾何等知識(shí)的交匯處，解法靈活多變，能力要求高，是高考的?？键c(diǎn).在求解時(shí)，若能根據(jù)題目特征，合理選擇方法則可以快速解題.本文主要從y=asinx+b，y=Asin（ωx+φ），y=asin2x+bsinx+c類型問題等幾個(gè)方面進(jìn)行論述，以供參考.

一、y=asinx+b型

題中僅含正弦或余弦一種，且次數(shù)為1，這一類問題相對(duì)比較簡單，通常求解方法是將正弦或余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解決.

例1 已知y=asinx+b，ymax=3，ymin=-1，求a，b.

分析：設(shè)t=sinx，則問題可轉(zhuǎn)化為在t∈［-1，1］上，求一次函數(shù)y=at+b的最值問題.

所以a=±2，b=1.

評(píng)注：將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為在一定區(qū)間上求代數(shù)函數(shù)最值是常用的方法，還可以嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為斜率問題等方法來進(jìn)行求解.

二、化成y=Asin（ωx+φ）的形式

1.y=asinωx+bcosωx+c型

評(píng)注：此類題目看起來較為復(fù)雜，難以厘清思路，巧妙變形轉(zhuǎn)化后，再結(jié)合三角函數(shù)有界性進(jìn)行求解，問題則迎刃而解.需要說明的是：若函數(shù)是條件函數(shù)，則常需利用三角函數(shù)的圖像來解題.

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型

先降次，再整理，然后化為上述類型，最后求y=Asin2x+Bcos2x的最值，含有sinx，cosx的二次式為該類顯著特征.

例3已知函數(shù)（fx）=2cos2x+sin2x+m（m∈R）.

評(píng)注：題目看起來較為復(fù)雜，但厘清思路后發(fā)現(xiàn)，此題的關(guān)鍵：把問題化歸為f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式.常見為：f（x）max=|A|+k，f（x）min=-|A|+k，但如果已附加x的取值范圍，通過圖像來解決為最佳辦法.

特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別有正、余弦的一次式.不難發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的分式型都可以通過分子、分母的化簡，最后整理成這個(gè)形式，它的處理方式有多種，多半化歸為y′=Asinx+Bcosx型解或用數(shù)形結(jié)合法（常用直線斜率的幾何意義）.

三、y=asin2x+bsinx+c型

使用換元法，化成二次函數(shù)，設(shè)t=sinx，則y=at2+bt+c，再求其在t∈［-1，1］上的最值.

例5 求函數(shù)y=-2cos2x+2sinx+3的值域.

解析：原式化為y=-2（1-sin2x）+2sinx+3=2sin2x+t∈［-1，1］.由二次函數(shù)圖像（此略）可知，當(dāng)；當(dāng)t=1時(shí)，ymax=5.

四、y=sinx+ 型

圖1

五、y=asinxcosx+b（sinx±cosx）+c型

例7 求函數(shù)y=4sinxcosx+3（sinx+cosx）+3的最值

評(píng)注：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα相互制約與關(guān)聯(lián).知其一，則能夠求出其二，令t=sinx-cosx換元后，則可使用配方法、函數(shù)的單調(diào)性、重要不等式等法去求函數(shù)的最值.

總結(jié)規(guī)律，摸索經(jīng)驗(yàn).在解決三角函數(shù)的最值相關(guān)問題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)一些忽視題設(shè)條件、概念模糊、方法不當(dāng)?shù)葐栴}，導(dǎo)致求解困難.基于此，在解決相關(guān)問題時(shí)，要注意三角函數(shù)的變形方向、正（余）弦的有界性、靈活選擇方法、多多練習(xí)，確?？紤]周全，準(zhǔn)確無誤，答題精準(zhǔn).W