小議特征根法的證明和運(yùn)用

☉江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) 馬世明

已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)有不少方法，其中構(gòu)造法是深受競(jìng)賽數(shù)學(xué)和高考數(shù)學(xué)命題人的青睞.對(duì)于一階線性遞推數(shù)列，我們的構(gòu)造相對(duì)而言是比較簡(jiǎn)單的，多數(shù)以構(gòu)造等比為主要手段，并輔之以整體思想的使用，稍顯復(fù)雜的問(wèn)題也可以通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)變形轉(zhuǎn)換為上述問(wèn)題.競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的難題是以二階線性遞推數(shù)列或分式遞推數(shù)列為主，此時(shí)構(gòu)造相對(duì)一階而言，難度大大升高，一般性的方式主要是以不動(dòng)點(diǎn)原理進(jìn)行構(gòu)造求解.多數(shù)講座只講特征根的使用和記憶，卻不怎么告訴學(xué)生特征根的使用原理，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的學(xué)習(xí)是“囫圇吞棗”，不長(zhǎng)久的.因此本文將二階線性遞推數(shù)列的一般性原理進(jìn)行了分析，旨在培養(yǎng)學(xué)生“知其然又知其所以然”的探索精神.

一、二階線性遞推數(shù)列特征根證明

定理 對(duì)二階齊次線性遞歸數(shù)列{an}，已知其前兩項(xiàng)為a1，a2，且an=pan-1+qan-2（n≥3），若其特征方程t2-pt-q=0的兩根為α，β，證明：

（1）當(dāng)α≠β時(shí)，an=Aαn+Bβn，其中A，B由n=1，n=2上述方程唯一確定；

（2）當(dāng)α=β時(shí)，an=（A+Bn）αn，其中A，B由n=1，n=2上述方程唯一確定.

證明：（1）其中p+q=1時(shí)，由p+q=1，得p=1-q，代入遞歸式，整理得an-an-1=-q（an-1-an-2），可得{an-an-1}（n≥2）是一個(gè)以a2-a1為首項(xiàng)，以-q為公比的等比數(shù)列，易知

（2）當(dāng)p+q≠1時(shí)，受（1）型處理方法的啟示，不妨設(shè)原遞歸數(shù)列能表示為an-αan-1=β（an-1-αan-2）（n≥3），整理得an=（α+β）an-1-αβan-2與原遞歸式比較系數(shù)，得可見(jiàn)α，β是二次方程t2-pt-q=0（*）的兩根（實(shí)虛均可）.

聯(lián)立①②兩式解得

但實(shí)際上A，B可由n=1，n=2及④式方程唯一確定.

（ii）若t2-pt-q=0有兩相同實(shí)根α=β，則③式可改寫成an=a2（αn-2+αn-3β+…+αβn-3+βn-2）+a1（αn-3+αn-4β+…+αβn-4+βn-3）.

又α=β，得an=a2（n-1）αn-2-a1（n-2）αn-1.

同理，可簡(jiǎn)化為an=（A+Bn）αn，其中但實(shí)際上A，B可由n=1，n=2及④式方程唯一確定.證畢.

注：應(yīng)用這一定理，特征根方程法就成為了求二階齊次線性遞歸數(shù)列的一種通法.

二、運(yùn)用

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

解析：其特征方程為x2=3x-2，解得x1=1，x2=2.

所以an=1+2n-1.

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，4an+2=4an+1-a（nn∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

解析：其特征方程為4x2=4x-1，解得x=x=，令

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說(shuō)明：例1和例2恰是特征根不同的兩種情形，在運(yùn)用特征根理論講解問(wèn)題的同時(shí)，我們不難理解特征根的來(lái)源，即函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)列形態(tài).函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)極限狀態(tài)，其數(shù)列形態(tài)就是特征根.學(xué)生理解了特征根的原理，回頭再學(xué)習(xí)其本質(zhì)的運(yùn)用，才能更好地理解特征根.

三、分式遞推數(shù)列特征根證明

四、再運(yùn)用

例3 已知數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

例4 已知數(shù)列{an}滿足（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

說(shuō)明：定理的運(yùn)用讓分式遞推數(shù)列的求解變得極為容易，但最重要的是理解特征根方程和不動(dòng)點(diǎn)原理，有了這樣的高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景，才能將知識(shí)運(yùn)用得更加得心應(yīng)手.

總之，特征根法是數(shù)列中的名稱，其最終的原理來(lái)自函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的理論.當(dāng)下教學(xué)注重了教學(xué)的效率卻往往不講求知識(shí)形成的過(guò)程，這一點(diǎn)筆者始終不能認(rèn)同.教學(xué)要講求的恰恰是懂理，更要是明過(guò)程、知細(xì)節(jié)，僅僅會(huì)用這樣的結(jié)論解決問(wèn)題還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.教學(xué)講過(guò)程、知識(shí)重理解，才是符合新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)提出的基本要求.