巧用多方法，妙解拋物線
——以2018年全國卷Ⅰ文科第20題為例

☉江蘇省常州市金壇區(qū)第一中學(xué) 宮雞明

著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都是成串生長.找到一個以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而，當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.

題目 （2018年全國卷Ⅰ文20）設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn) A（2，0），B（-2，0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

（2）證明：∠ABM=∠ABN.

分析：本題涉及拋物線的方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線的方程與斜率、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.關(guān)鍵是證明∠ABM=∠ABN時(shí)所切入的角度，可以利用直線的斜率和為零，也可以利用角平分線的性質(zhì)，還可以利用幾何法、參數(shù)方程法等來轉(zhuǎn)化.不同的切入點(diǎn)有不同的解法，多點(diǎn)思維，多面開花.

解法1：（官方標(biāo)準(zhǔn)答案）（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）.

（2）證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN.

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

直線BM，BN的斜率之和為

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN.

綜上，∠ABM=∠ABN.

解法2：（官方標(biāo)準(zhǔn)答案的改進(jìn)）通過改進(jìn)，巧設(shè)直線l的方程為x=my+2（m∈R），省去對直線l的斜率是否存在的分類討論，從而結(jié)合kBM+kBN=0的證明來確定直線BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，得以證明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設(shè)直線l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

直線BM，BN的斜率之和為

將x1=my1+2，x2=my2+2及y1+y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得x2y1+x1y2+2（y1+y2）=2my1y2+4（y1+y2）=-8m+8m=0.

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN.

解法3：（角平分線性質(zhì)法1）通過改進(jìn)，巧設(shè)直線l的方程為x=my+2（m∈R），結(jié)合∠MBN的角平分線上的點(diǎn)A到兩直線BM、BN的距離相等的性質(zhì)，進(jìn)而確定x軸為∠MBN的平分線，得以證明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設(shè)直線l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

所以x軸為∠MBN的平分線，故∠ABM=∠ABN.

解法4：（角平分線性質(zhì)法2）通過改進(jìn)，巧設(shè)直線l的方程為x=my+2（m∈R），通過分析，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，若有∠ABM=∠ABN，則有成立，利用兩點(diǎn)間的距離公式的轉(zhuǎn)化，以及比值的應(yīng)用得到關(guān)系式成立，得以證明∠ABM=∠ABN.

法律制度的制定與修改，其背后都蘊(yùn)含著社會現(xiàn)實(shí)生活對某一特定問題的關(guān)注和期待。然而并非所有的社會問題都會通過國家專項(xiàng)立法的方式予以明確性規(guī)定。以兒童健康權(quán)保護(hù)為例，我國目前并未就兒童健康權(quán)保護(hù)問題作出單獨(dú)立法，而有關(guān)于專項(xiàng)保護(hù)未成年人健康成長的法律規(guī)范，主要規(guī)定在了《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》等法律當(dāng)中。

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設(shè)直線l：x=my+2（m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＞0，x2＞0.

由得y2-2my-4=0，可知y1+y2=2m，y1y2=-4.

而A（2，0），B（-2，0），

可得|MA|2=m2y12+y12，|NA|2=m2y22+y22，|MB|2=（my1+4）2+y12，|NB|2=（my2+4）2+y22.

亦即（1+m2）［（my1+4）2y22-（my2+4）2y12］=0成立.

而（my1+4）2y22-（my2+4）2y12=［2my1y2+4（y1+y2）］·4（y2-y1）=（-8m+8m）·4（y2-y1）=0，

所以∠ABM=∠ABN.

解法5：（幾何法）通過改進(jìn)，巧設(shè)直線l的方程為x=my+2（m∈R），通過分析，利用平面幾何方法，根據(jù)∠ABM=∠ABN的等價(jià)條件Rt△BFN∽Rt△BEM的轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何中對應(yīng)直角三角形相應(yīng)邊的比值的關(guān)系式的建立與轉(zhuǎn)化來分析，得以證明∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

（2）證明：由于直線l的斜率可能不存在但不會為0，則可設(shè)直線l：x=my+2 （m∈R），M（x1，y1），N（x2，y2），結(jié)合圖1可知，y1＞0，x1＞0，x2＞0，y2＜0.

分別過點(diǎn)M，N作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

要證∠ABM=∠ABN，即證Rt△BFN∽Rt△BEM，即即證（my2+4）y1+（my1+4）y2=0.

而（my2+4）y1+（my1+4）y2=2my1y2+4（y1+y2）=-8m+8m=0，所以∠ABM=∠ABN.

（1）同解法1.

代入y2=2x得t2sin2θ-2tcosθ-4=0，可知

直線BM，BN的斜率之和為

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN.

通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”W