注重概念應(yīng)用，培養(yǎng)抽象思維

☉南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué) 朱 斌

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》一書在“課程基本理念”中創(chuàng)新性地提出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”進(jìn)而根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，歸納總結(jié)出了高中階段數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

數(shù)學(xué)抽象思維是指除去事物的一切物理屬性后得到的數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，而數(shù)學(xué)概念恰是揭示相關(guān)事物之間的數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間形式等關(guān)系的本質(zhì)屬性，兩者之間具有一定的關(guān)聯(lián).而數(shù)學(xué)概念應(yīng)用成為培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)之一.數(shù)學(xué)概念應(yīng)用問題是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條主要鏈條，如何在數(shù)學(xué)概念應(yīng)用過程中培養(yǎng)與滲透學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維呢？本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過具體的教學(xué)案例來剖析學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)與提升.

二、問題的解決

數(shù)學(xué)概念完全離不開數(shù)學(xué)抽象的思維過程，必須從具體事物中區(qū)分、抽象出研究對象的本質(zhì)特征，進(jìn)而加以抽象概括，從而得以認(rèn)識和理解研究對象，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)知識來分析與處理.

1.借助參數(shù)引入，開展形式運(yùn)算

在相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用中，往往借助參數(shù)引入，利用字母代替未知數(shù)進(jìn)行運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，把抽象問題加以合理應(yīng)用.借助形式運(yùn)算，往往是鍛煉學(xué)生抽象思維的一種非常有效的方法，也能真正提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

例1已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，且滿足（fx）·f（ （fx）+）=1，則（f1）=______.

分析：引入?yún)?shù)，設(shè)（f1）=m≠0，通過單調(diào)函數(shù)的定義，并分別結(jié)合x=1，x=m+1進(jìn)行形式運(yùn)算，利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)建立相應(yīng)的關(guān)系式來確定參數(shù)的值，進(jìn)而得以求解（f1）的值.

解：設(shè)（f1）=m≠0，否則不滿足（fx）·f（ （f x） +）=1.

令x=1時(shí)，可得（f1）·（f（f1）+1）=1，即m（fm+1）=1，可得（fm+1）=；

思維剖析：涉及抽象函數(shù)及其函數(shù)值的求解，涉及函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的解析式、函數(shù)值等問題.解題的關(guān)鍵是如何從抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式入手，通過賦值引入?yún)?shù)，結(jié)合形式運(yùn)算，利用待定系數(shù)法、局部換元法、整體換元法等方法來解決，從而達(dá)到求解相應(yīng)的函數(shù)值的目的.巧妙滲透數(shù)學(xué)抽象思維.

2.應(yīng)用形象思維，認(rèn)識本質(zhì)規(guī)律

在相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用中，往往應(yīng)用形象思維，借助形象思維的“踏板”作用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維.形象思維借于抽象思維與本質(zhì)規(guī)律的中間層面，富含有充分的心理活動，通過形象思維的巧妙應(yīng)用與培養(yǎng)，可以有效認(rèn)知學(xué)科知識，掌握本質(zhì)屬性.

例2 （2018年北京卷文7）在平面直角坐標(biāo)系中，A（B，C（D，E（F，G（H是圓x2+y2=1上的四段弧（如圖1），點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tanα＜cosα＜sinα，則點(diǎn)P所在的圓弧是（ ）.

圖1

分析：根據(jù)題目圖形加以形象思維，借助三角函數(shù)的概念應(yīng)用，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），把對應(yīng)的三角不等式tanα＜cosα＜sinα加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定滿足條件的參數(shù)x，y的正負(fù)取值情況，從而得以正確解答.

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.

由題設(shè)條件tanα＜cosα＜sinα，利用三角函數(shù)的定義可得＜x＜y，解得x＜0，y＞0. （

所以點(diǎn)P所在的圓弧是EF，故選擇答案：C.

思維剖析：借助形象思維，并利用三角函數(shù)的概念把相應(yīng)的三角不等式轉(zhuǎn)化為涉及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)的不等式，結(jié)合相關(guān)不等式的分析與求解來確定對應(yīng)參數(shù)的正負(fù)取值情況即可作出正確的判斷.形象思維角度正常切入，抽象思維得以充分展示，求解過程簡單有效，優(yōu)化解題過程，節(jié)約解題時(shí)間，提升解題能力.

3.注重知識遷移，增強(qiáng)信息溝通

在相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用中，由于數(shù)學(xué)知識每一部分之間都存在著一定的關(guān)聯(lián)性，往往要注重知識遷移，將所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起，加以合理遷移，建立信息溝通，加以正確轉(zhuǎn)化，得以知識的聯(lián)系以及深入探索.

例3（2019屆廣東省高三六校第一次聯(lián)考第10題）拋物線y=2x2上有一動弦AB，中點(diǎn)為M，弦AB的長度為3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為（ ）.

分析：通過拋物線方程得到對應(yīng)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義和梯形的中位線定理，通過知識遷移，轉(zhuǎn)化中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，并利用圖形的特征來確定最值問題.

解：由拋物線y=2x2，得其焦點(diǎn)為F（ 0，），準(zhǔn)線方程為y=-.

根據(jù)拋物線的定義和梯形的中位線定理，

故選擇答案：A.

思維剖析：借助知識遷移，把解析幾何問題與平面幾何問題加以遷移與聯(lián)系，題目較為簡單，以拋物線為問題背景，巧妙設(shè)置定長線段的動態(tài)問題，進(jìn)而來確定定長線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值.巧妙融合直線與曲線，交匯靜態(tài)與動態(tài)，轉(zhuǎn)化定值與最值，具有一定的創(chuàng)新性與應(yīng)用性.

4.嘗試逐層深入，有效解決問題

在相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用中，可以利用抽象思維幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理，解決實(shí)際問題.特別是在數(shù)學(xué)概念應(yīng)用中，需要一步一步加以合理引導(dǎo)，逐層深入，有效地幫助學(xué)生跨越形象思維，學(xué)會利用抽象思維來解決問題.

例4（2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)二模第14題）若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在區(qū)間［1，2］上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為______.

分析：通過二次函數(shù)、零點(diǎn)的相關(guān)概念，從二次函數(shù)入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的零點(diǎn)式，再結(jié)合題目條件逐層深入，結(jié)合二次函數(shù)的圖像、不等式的性質(zhì)等來處理與解決.

解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在區(qū)間［1，2］上的兩個(gè)不同的零點(diǎn)分別為x1，x2，其中1≤x1＜x2≤2，

則有f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

1）（x2-1）∈［0，1），由1≤x1＜x2≤2可得0≤x1-1＜x2-1≤1.

思維剖析：嘗試逐層深入，利用簡單問題逐漸向復(fù)雜問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到有效解決數(shù)學(xué)概念問題的目的.一般涉及二次函數(shù)已知零點(diǎn)的分布求解參系數(shù)的取值范圍問題時(shí)，可以使用二次函數(shù)的零點(diǎn)式，將參系數(shù)化歸為零點(diǎn)組合式的取值范圍問題，結(jié)合題目條件加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用即可.

三、感悟與反思

其實(shí)，數(shù)學(xué)抽象思維與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間既相互獨(dú)立存在，直接利用于具體問題，又相互融合交匯，形成一個(gè)有機(jī)和諧的整體，共同用來解決相關(guān)問題，而數(shù)學(xué)抽象思維是其中的一條主線.不僅僅是中學(xué)階段，而是從小學(xué)一年級（或更早的學(xué)前教育階段）開始到大學(xué)階段，各個(gè)階段都離不開數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)與提升，是一個(gè)系統(tǒng)不間斷的過程.在數(shù)學(xué)解題過程都可以有意識地加以培養(yǎng)與滲透.總之，在新課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)指引下，如何在各層面培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維已經(jīng)成為每一位數(shù)學(xué)教師的光榮使命，通過不同角度積極實(shí)踐，形成有效成果，共同交流，共同提高.