“真、善、美”的數(shù)學(xué)探究教學(xué)實(shí)例研究與思考

☉江蘇省溧水高級中學(xué) 洪 亮

教師站在“育人”的高度落實(shí)具備“真、善、美”的探究教學(xué)能令學(xué)生在真切的體驗(yàn)與感受、教師的真情與啟發(fā)中獲得更多的領(lǐng)悟，使學(xué)生在充分感受知識形成與數(shù)學(xué)之美的過程中展現(xiàn)出思維的靈活與智慧.

一、問題提出

根據(jù)每一個考點(diǎn)配以大量講題與解題訓(xùn)練是目前很多高三數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中采用的慣常手段，“講、練、測”的教學(xué)模式也因此形成，這一簡單而枯燥的教學(xué)模式往往會給學(xué)生與教師帶來壓抑與疲勞感，學(xué)生思維因此被“模式化”和“標(biāo)準(zhǔn)化”并在學(xué)習(xí)中失去了應(yīng)有的靈活與創(chuàng)新，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼、煩躁的心理情緒也就不難理解了.

只限于接受、記憶、模仿與練習(xí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式已經(jīng)不能順應(yīng)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的要求，新課程明確要求教師應(yīng)積極倡導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)并使學(xué)生逐步提升探索、實(shí)踐與合作交流的能力，要求教師力爭將學(xué)生培養(yǎng)成能夠?yàn)樯鐣缲?fù)重?fù)?dān)的人才.

筆者以為，教師如果能夠站在“育人”的高度進(jìn)行具備“真、善、美”的探究教學(xué)，一改唯高考論的落后觀點(diǎn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必然能夠呈現(xiàn)出令人欣喜的局面.

二、案例呈現(xiàn)

在某節(jié)復(fù)習(xí)課中，筆者指出函數(shù)y=lnx和y=ex互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對稱，x=0和y=0分別為它們的漸近線時，有學(xué)生提問：“直線y=x是否為它們的漸近線呢？”筆者作出了這樣的回復(fù)：“問得很好，大家在課后研究一下是否能有合理的解釋，我們在下一課對這一問題進(jìn)行具體的討論.”筆者在課后對學(xué)生的這一問題進(jìn)行了認(rèn)真的思考并發(fā)現(xiàn)，這個問題對于學(xué)生來說，其意義不小，以下是后續(xù)課堂活動討論的實(shí)況.

1.直奔主題，探究方法

問題1：如圖1，直線y=x為y=lnx的漸近線嗎？

圖1

師：誰能給出其合理解釋？

生1：由研究雙曲線的漸近線的方法可得，在x∈（0，+∞）上作任意一條與x軸垂直的直線，分別與y=x、y=lnx相交于點(diǎn)M、N，則|MN|=|x-lnx|.

研究|MN|的長度變化，令（fx）=x-lnx，只需研究（fx）的單調(diào)性.f′（x）=1-，當(dāng)x∈（0，1）時，f（′x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（′x）＞0.所以（fx）在（0，1）上遞減，在（0，+∞）上遞增，所以（fx）min=（f1）=1，所以|MN|≥1，直線y=x不是y=lnx的漸近線.

生2：我是這樣想的，根據(jù)圖1，設(shè)直線MN與x軸相交于點(diǎn)A，只需研究的值.如果該比值隨著自變量的增大而越發(fā)接近1但小于1，就是漸近線，因此，只要對的單調(diào)性進(jìn)行研究就可以了.

生3：我有一法.

圖2

（全體學(xué)生都不禁直呼太聰明了）

師：方法1是運(yùn)用類比思想進(jìn)行解釋的，除此以外，上述三位同學(xué)的解釋都用到了數(shù)形結(jié)合這一重要的思想，思路也都很清晰，值得大家學(xué)習(xí).

2.引申思考，擴(kuò)大戰(zhàn)果

問題2：直線y=x是y=ex圖像的漸近線嗎？

生4：因y=ex和y=lnx互為反函數(shù)且都關(guān)于直線y=x對稱，根據(jù)上述討論可知，直線y=x不是y=ex圖像的漸近線.

問題3：直線y=ax+b會是y=lnx的漸近線嗎？

生5：設(shè)直線斜率是a，a＞0是明顯的，類比問題1中的方法3可知，直線y=ax+b不會是y=lnx的漸近線.

（1）如果將上式中的“x”換成“n”，可以得到哪些不等式呢？

（2）比較20182019和20192018大小.

師：請大家思考探究.

生6：根據(jù)其單調(diào)性，可在定義域內(nèi)取相鄰的兩個整數(shù)有g(shù)（n）＞g（n+1），即

進(jìn)一步變形可得nn+1＞（n+1）n.

生8：兩邊取倒數(shù)可得

師：如果取兩個不相鄰的正整數(shù)且e＜m＜n，又可得到什么結(jié)論呢？

師：太棒了，大家居然能從簡單的結(jié)論上變出這么多不等式，大家繼續(xù)你們的思考.

生10：直接套上述公式，當(dāng)e＜m＜n時，mn＞nm，因此可知20182019＞20192018.

生11：該公式如果記不住怎么辦呢？

生12：倒著想，分別對20182019和20192018取自然對數(shù)，可得2019ln2018和2018ln2019，它們同時除以2018×2019可得，然后只要研究函數(shù)的單調(diào)性即可.

（全體學(xué)生驚嘆并鼓起掌來）

師：這位同學(xué)正是運(yùn)用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法才獲得了令大家驚嘆的解法.

3.歸納總結(jié)（略）

4.課后變式強(qiáng)化（略）

三、幾點(diǎn)思考

1.體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的“善”

（1）教師以情動人、以情育人并以朋友的身份和學(xué)生交流往往能夠令學(xué)生放下思想包袱，盡情敞開心扉并表達(dá)出自己的個性化想法.

（2）預(yù)設(shè)的問題應(yīng)與學(xué)生的知識與思維水平相吻合.教師在設(shè)計探究問題時應(yīng)做到“知己知彼”并將問題設(shè)計成層層鋪墊的導(dǎo)向性問題串，使學(xué)生能夠在適度的動機(jī)中展開分步探索，令各層面學(xué)生在春風(fēng)化雨般的真情關(guān)愛中都能獲得思考與討論的機(jī)會.

2.體現(xiàn)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的“真”

（1）真自主與真合作.學(xué)生在真切的體驗(yàn)與感悟中才能真正獲得能力提升，因此，教師應(yīng)保障學(xué)生思考與探索的機(jī)會與時間并將最原始、最火熱的思維過程體現(xiàn)出來.

（2）問題設(shè)計求真.教師在設(shè)計問題時應(yīng)考慮問題的解法是否具有多樣性，問題是否能反映學(xué)生思維的多層次性.本文案例中的前三個問題對于鍛煉學(xué)生全面且多角度研究問題的能力是極有價值的，問題1中的三種解釋正是不同視角下所產(chǎn)生的結(jié)果，學(xué)生思維的靈活和機(jī)智也在這三種解釋中得到了具體的體現(xiàn).問題4中得到的不等式則是全體學(xué)生共同參與、合作所產(chǎn)生的智慧結(jié)晶.不僅如此，問題4還將“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了很好的滲透.

3.挖掘數(shù)學(xué)探究教學(xué)的“美”

數(shù)學(xué)包含了統(tǒng)一、和諧、簡潔、對稱、邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)、奇異等多個方面的“美”，以美啟真往往能夠更好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與參與度，學(xué)生感知、欣賞、應(yīng)用、創(chuàng)造美的過程不僅是對其情操的陶冶，更是對其學(xué)習(xí)興趣與思維能力的鍛煉與促進(jìn).比如，本文案例中問題1的解決就將數(shù)形結(jié)合的和諧統(tǒng)一美、解題中的類比與簡潔美體現(xiàn)得尤其明顯.問題4中所生成的眾多優(yōu)美不等式則讓學(xué)生在結(jié)果生成的過程中很好地賞析了一回對稱美.問題4的解決又是數(shù)學(xué)邏輯與應(yīng)用美的生動體現(xiàn).從教學(xué)效果看，學(xué)生在感受數(shù)學(xué)之美的過程中也對所學(xué)內(nèi)容領(lǐng)悟得更加透徹.H