結(jié)構(gòu)化思維：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的價值指向

翟新偉

【摘要】數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化思維”是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標(biāo)識?！敖Y(jié)構(gòu)化思維”是一種層析性、系統(tǒng)性、本質(zhì)性、遷移性的思維方式。在教學(xué)中，教師可以通過整體呈現(xiàn)、過程探究、反思追問和活化運用等方式，展開結(jié)構(gòu)化教學(xué)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)能夠統(tǒng)馭數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化知識”，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化思維”。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化思維 結(jié)構(gòu)化教學(xué) 價值指向

當(dāng)下，小學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的價值取向?！昂诵乃仞B(yǎng)”是什么？仁者見仁，智者見智，但也漸漸達成了一些共識。北京師范大學(xué)心理學(xué)教授林崇德教授認為，核心素養(yǎng)是一種結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力?！督逃芯俊冯s志主編袁振國則深刻地指出，“知識的問題關(guān)鍵不是多少的問題，而是結(jié)構(gòu)的問題，不是教多少的問題，而是怎么教的問題?！睂τ跀?shù)學(xué)學(xué)科而言，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力更深刻地表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)化思維能力上。什么是“結(jié)構(gòu)化思維”？結(jié)構(gòu)化思維就是一種層析性、系統(tǒng)性、本質(zhì)性、遷移性的思維。那么，如何形成學(xué)生的“結(jié)構(gòu)化思維”呢？筆者認為，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于培育學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

一、整體呈現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生“系統(tǒng)性思維”

數(shù)學(xué)知識是一個整體，數(shù)學(xué)知識之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系。某種意義上，數(shù)學(xué)教材將數(shù)學(xué)知識分門別類只是為了教學(xué)的需要。教學(xué)中，教師要立足知識整體，從知識整體上把握各個知識點。教師要有瞻前顧后、左顧右盼的解讀教材的眼光，洞察每一個知識點的源與流，把握知識點的來龍去脈。對某些相關(guān)知識點的教學(xué)，教師可以整體呈現(xiàn)，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，讓學(xué)生“見樹木，更見森林”。引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的知識點能動地納入學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)之中。

例如：教學(xué)蘇教版六年級上冊《分?jǐn)?shù)除法》這一單元，對于“分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題”的教學(xué)，許多教師還在進行特征分析——“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”。由于學(xué)生在“分?jǐn)?shù)乘法”單元已經(jīng)學(xué)習(xí)了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”內(nèi)容，因此這種歸納無疑增加了學(xué)生對知識點的理解難度，學(xué)生在解決問題時經(jīng)常將這兩類問題混淆。筆者在教學(xué)中，整體呈現(xiàn)問題，如（1）果園里有果樹600棵，其中桃樹占總果樹棵數(shù)的■，桃樹有多少棵？（2）果園里有桃樹360棵，占總果樹棵數(shù)的■，果樹一共有多少棵？引導(dǎo)學(xué)生進行比較，得到良好的教學(xué)效果。學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)，兩道題最本質(zhì)的地方相同，即“桃樹占總果樹棵數(shù)的■”，所不同的是：第一道題單位“1”的量是已知的，第二道題的單位“1”的量是未知的；第一道題的已知量在第二道題中是未知量，第一道題的未知量在第二道題中是已知量。因此，學(xué)生認為，這兩道題的基本數(shù)量關(guān)系是相同的，解題思路也是相同的。盡管第二道題單位“1”的量未知，但我們完全可以設(shè)未知數(shù)，借助列方程解應(yīng)用題來解決。這樣的教學(xué)，將分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的內(nèi)容與分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的內(nèi)容有效對接，真正實現(xiàn)了知識整合。在解決問題的過程中，學(xué)生的思維變得活躍了。

整體性呈現(xiàn)問題，將問題置于比較情境之中，有助于培養(yǎng)學(xué)生串式思考、網(wǎng)狀思維能力，有助于培育學(xué)生“舉一反三”“觸類旁通”的學(xué)習(xí)遷移能力。學(xué)生對數(shù)學(xué)問題主動辨析、比較中，體會到數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)認知獲得質(zhì)的提升，思維深度得到真正開掘。

二、過程探究，培育學(xué)生“層次性思維”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進行過程性探究，從條件入手，對照問題展開深入分析，從而由因?qū)Ч?，建?gòu)解決問題的方案；或者從問題入手，層層分析解決問題所必需的條件，執(zhí)果索因，建構(gòu)解決問題的方案。在解決問題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生有序、有理、有向思維，厘清要解決怎樣的問題，需要怎樣的條件等，避免出現(xiàn)“眉毛胡子一把抓”的解決問題現(xiàn)象。

例如：教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》這一課時，筆者引導(dǎo)學(xué)生分多個層次展開探索，有的學(xué)生采用“測量法”，探索出三角形的內(nèi)角和為180°左右；有的學(xué)生采用“撕角法”，將三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角，探索出三角形的內(nèi)角和是180°；還有的學(xué)生運用“折角法”，將三角形的三個內(nèi)角折到一起，探索出三角形的內(nèi)角和是180°。這時，有的學(xué)生認為三角形的內(nèi)角和是180°，但也有部分學(xué)生表示懷疑，認為三角形的內(nèi)角和在180°左右。為此，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生展開層次性探索，一是探索特殊的三角形——直角三角形的內(nèi)角和；二是探索銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和。在探索直角三角形的內(nèi)角和時，筆者出示了一個長方形，引導(dǎo)學(xué)生思考長方形和直角三角形之間的關(guān)系。有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個完全相同的直角三角形可以拼成一個長方形；有的學(xué)生認為，任意一個長方形都可以沿著對角線分成兩個完全相同的直角三角形。學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)，任意直角三角形的內(nèi)角和都是180°。為了深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷爬坡、深化，筆者出示了一個銳角三角形、一個鈍角三角形，借助輔助線將銳角三角形和鈍角三角形沿著高分成了兩個直角三角形。學(xué)生運用直角三角形的內(nèi)角和是180°展開嚴(yán)密的推理發(fā)現(xiàn)任意一個三角形（含任意一個銳角三角形和任意一個鈍角三角形），都可以分成兩個直角三角形，每一個直角三角形的內(nèi)角和都是180°。因此，銳角三角形和鈍角三角形分成的兩個直角三角形的內(nèi)角和是360°。用這兩個直角三角形的內(nèi)角和減去高所在的兩個直角和也就是180°，就能得到三角形的內(nèi)角和是180°。學(xué)生從特殊到一般，有理有序有據(jù)，層層歸納出三角形的內(nèi)角和。在整個學(xué)習(xí)過程中，歸納與演繹圓融，實驗與思想對接，思維與創(chuàng)造共生。

教師引導(dǎo)學(xué)生從自己的已有經(jīng)驗出發(fā)，借助操作實驗，展開自主探究，形成準(zhǔn)科學(xué)結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助演繹推理推出直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和。最后運用完全歸納法形成結(jié)論——三角形的內(nèi)角和是180°。在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步深入。

三、反思追問，培養(yǎng)學(xué)生“本質(zhì)性思維”

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)不僅要遵循數(shù)學(xué)知識本身的邏輯，而且要順應(yīng)學(xué)生的認知規(guī)律。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開反省性追問，追問數(shù)學(xué)知識點的源與流，在追問中引導(dǎo)學(xué)生刨根問底，培養(yǎng)學(xué)生的本質(zhì)性思維。只有通過不斷反思、追問，學(xué)生才能洞察數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，才能對知識點在知識結(jié)構(gòu)中的節(jié)點位置、知識點之間的關(guān)系有深刻的把握，才能對知識點的動態(tài)發(fā)生、發(fā)展和融合有所領(lǐng)悟，才能舉一反三、融會貫通。

例如：“平行四邊形的面積”是小學(xué)階段平面圖形面積教學(xué)的重要內(nèi)容，它承上（長方形面積）啟下（三角形、梯形的面積），從轉(zhuǎn)化思想的滲透來看，這是圖形面積轉(zhuǎn)化的第一堂課，具有“種子課”的意義和價值。教學(xué)中，在學(xué)生運用“割補法”推導(dǎo)出平行四邊形的面積后，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開適度追問，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，將感性的操作提煉成理性的數(shù)學(xué)思想和方法。

追問1：為什么要將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形？（用數(shù)方格的方法比較麻煩，轉(zhuǎn)化成長方形就可以運用公式進行計算）

追問2：為什么要沿著高將平行四邊形分成直角梯形、直角三角形或者兩個直角梯形？（只有沿著高剪開，才能產(chǎn)生直角，進而將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形）

追問3：在轉(zhuǎn)化的過程中，什么發(fā)生了變化？（形狀、周長等）什么沒有發(fā)生變化？（面積）

追問4：轉(zhuǎn)化后的長方形和轉(zhuǎn)化前的平行四邊形之間有著怎樣的關(guān)系？（對應(yīng)的長和底、寬和高相等）

追問5：三角形、梯形可以轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形嗎？怎樣轉(zhuǎn)化呢？（向未知數(shù)學(xué)領(lǐng)域延伸）

一系列追問，讓學(xué)生深刻地理解了轉(zhuǎn)化的思想、方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認知由感性上升到理性。原來，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化往往是將未知轉(zhuǎn)化成已知，將陌生轉(zhuǎn)化成熟悉，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單。轉(zhuǎn)化作為一種數(shù)學(xué)思想、方法，必將在不斷地反思和追問中扎根學(xué)生的心靈深處。學(xué)生在追問中思考，在思考中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中真正地獲得。這樣不斷追問的過程也是學(xué)生立體反思的過程。在這個過程中，學(xué)生的思維更豐滿，思維品質(zhì)得到了真正提升。

四、活化運用，培養(yǎng)學(xué)生“遷移性思維”

學(xué)生數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化思維，不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的掌握上，而且表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的靈活運用上，表現(xiàn)為學(xué)生在問題情境中能夠主動運用數(shù)學(xué)知識解決問題，這就是學(xué)生的數(shù)學(xué)“遷移性思維”。遷移性思維是一種主動、積極的思維，帶有一種聯(lián)想性質(zhì)。教學(xué)中，教師應(yīng)該立足學(xué)生立場，幫助學(xué)生顯現(xiàn)沉淀的經(jīng)驗、連綴散落的經(jīng)驗，外化內(nèi)隱的經(jīng)驗，形成遷移性的數(shù)學(xué)意識、能力。

例如：教學(xué)《圓柱的體積》，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶，喚醒學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，助推學(xué)生運用已有經(jīng)驗積極遷移，自主推導(dǎo)、建構(gòu)圓柱的體積。

啟發(fā)1：圓的面積是怎樣推導(dǎo)的？長方形的長相當(dāng)于圓的什么，長方形的寬相當(dāng)于圓的什么？

啟發(fā)2（帶有遷移性質(zhì)）：圓柱的體積可以怎樣推導(dǎo)？長方體的長相當(dāng)于圓柱的什么，長方體的寬相當(dāng)于圓柱的什么，長方體的底面積相當(dāng)于圓柱的什么，長方體的高相當(dāng)于圓柱的什么？

啟發(fā)3：圓柱還可以怎樣擺放？不同的位置擺放，其長、寬、底面積和高相同嗎？分別相當(dāng)于原來圓柱的什么？

啟發(fā)4：圓柱的體積公式是什么？比較圓柱的體積公式推導(dǎo)過程和圓的面積公式推導(dǎo)過程，你獲得了怎樣的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想啟示？

啟發(fā)5：學(xué)習(xí)了圓柱和長方體、正方體的體積，比較一下，它們有什么相同的地方？

在這個基礎(chǔ)上，學(xué)生展開剪一剪、拼一拼等動手操作活動，如研究圖形面積時可以剪一剪、拼一拼，可以將要研究的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形，等等，通過對原有學(xué)習(xí)情境的回顧，將學(xué)生的活動經(jīng)驗正確遷移到新的學(xué)習(xí)活動中。如果缺少了這一環(huán)節(jié)，很多學(xué)生可能無法實現(xiàn)原有活動經(jīng)驗的順利遷移。

如何讓學(xué)生主動提取已有經(jīng)驗、內(nèi)隱經(jīng)驗和散落經(jīng)驗？如何讓學(xué)生重組自己的認知結(jié)構(gòu)？一個重要的方式就是讓學(xué)生學(xué)會遷移。遷移不僅助推學(xué)生原經(jīng)驗的內(nèi)化，而且催發(fā)學(xué)生新經(jīng)驗的生成。從這個意義上說，學(xué)習(xí)遷移的機制就是學(xué)習(xí)的機制。當(dāng)學(xué)生將自己原有經(jīng)驗提取并遷移到新的問題情境、新的問題研究活動中時，就意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造。這是一種不斷同化與順應(yīng)的過程，通過這個過程，學(xué)生不斷充實、豐富、完善自我的認知結(jié)構(gòu)。

華東師范大學(xué)教育學(xué)系吳亞萍教授深刻地指出，“教學(xué)策略不同于教學(xué)原則、教學(xué)方法，教學(xué)策略立意的高遠之處在于：一是樹立整體教學(xué)思想；二是分析內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系；三是對整體、結(jié)構(gòu)進行謀劃……”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以“結(jié)構(gòu)化的教學(xué)”統(tǒng)馭數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化的知識”，進而催生學(xué)生的“結(jié)構(gòu)化思維”，讓數(shù)學(xué)學(xué)科價值最大化。這或許就是結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的價值旨歸。

注：本文系徐州市教研室第12期課題“基于核心素養(yǎng)下的小學(xué)生數(shù)學(xué)思維建構(gòu)的研究”（KT12060）階段研究成果之一。