例談高考命題熱點(diǎn)之與球有關(guān)的計(jì)算問題

楊忠明

摘 要：與球有關(guān)的計(jì)算問題，特別是有關(guān)多面體外接球的問題是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。此類題的設(shè)計(jì)一般都源于教材但高于教材，解答時(shí)需要學(xué)生發(fā)揮較強(qiáng)的識(shí)圖能力和空間想象能力。本文就近兩年的部分高考題進(jìn)行舉例說明。

關(guān)鍵詞：高考 球 計(jì)算

通過認(rèn)真研究近幾年全國(guó)各省市的高考試題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，涉及與球有關(guān)的計(jì)算問題在高考中頻頻出現(xiàn)。可見，與球有關(guān)的計(jì)算問題，特別是有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)不可小覷的高考熱點(diǎn)。與球有關(guān)的高考題往往以小題的形式出現(xiàn)，試題的設(shè)計(jì)一般都源于教材但高于教材，有一定的難度，解決此類問題時(shí)需要學(xué)生發(fā)揮較強(qiáng)的識(shí)圖能力和空間想象能力。下面以近三年高考全國(guó)新課標(biāo)卷中出現(xiàn)的有關(guān)球的部分高考題進(jìn)行分類探討與解讀。

一、考查與球有關(guān)的三視圖問題

例1：2016年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·理6）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑。若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是

（A） （B） （C） （D）

解答：由所給三視圖可知，所給幾何體與球的關(guān)系如圖示。由圖可知，所給幾何體是一個(gè)球切掉了左上角的 后所得的部分。設(shè)球的半徑為 ，由題設(shè)可得 ，即 ，從而所給幾何體的表面積為 ，故選A。

點(diǎn)評(píng)：本題在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的同時(shí)，側(cè)重考查識(shí)圖

能力和空間想象能力。試題還要求考生能根據(jù)條件進(jìn)行正確的推理和運(yùn)算，將球的體積問題轉(zhuǎn)化為球的表面積問題。

二、考查與球有關(guān)的組合體問題

球與其他幾何體組合在一起的圖形稱為球的組合體，與球有關(guān)的組合體問題有內(nèi)切和外接兩種。如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球。球外切多面體是指球面和多面體的各個(gè)面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑，球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球。解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素之間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的。

例2：（2017年新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷·理9）已知圓柱的高為1，它的

兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為

（A） （B） （C） （D）

解答：如圖，由題意可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓的半徑為 ，則圓柱體的體積 ，故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱和球的相關(guān)概念，在能力層面上對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力進(jìn)行考查。解題時(shí)要將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，使球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高這三個(gè)量集中在一個(gè)直角三角形中，突出對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。

例3：（2017年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·文15）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為 。

解答：由題意易知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為球的直徑，故球的半徑為 ，∴球O的表面積為 ，故填 。

點(diǎn)評(píng)：本題考查長(zhǎng)方體的外接球、球的表面積公式，在能力層面考查學(xué)生的空間想象力、邏輯推理和運(yùn)算求解等能力。要求學(xué)生發(fā)揮空間想象力，通過邏輯推理將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而由長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高求得球的半徑和球的表面積。

例4：（2017年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·文16）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑。若平面SCA⊥平面SCB， ，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________。

解答：設(shè)球 的半徑為 ，∵SC是球O的直徑， ，SB=BC，∴ ， 均為等腰直角三角形。又點(diǎn)O為 的中點(diǎn)，連接 ， ，∴ ， ?！咂矫?平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 .∴ ，即 ，解得 .∴球O的表面積為 ，故填 。

點(diǎn)評(píng)：本題考查求幾何體的體積、球的表面積、平面與平面垂直的判定等，解題時(shí)必須要經(jīng)過“讀題”“思圖”“構(gòu)圖”“運(yùn)算”的過程。試題把空間想象能力和邏輯推理能力有機(jī)結(jié)合，很好地體現(xiàn)了新課程背景下要求學(xué)生自主探究的理念。

例5：（2016年新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷·文11理10）在封閉的直三棱柱 內(nèi)有一個(gè)體積為 的球。若 ， ， ， ，則 的最大值是

（A） （B） （C） （D）

解答：根據(jù)題意可得，要使球的體積最大，球應(yīng)與直三棱柱的若干個(gè)面相切，設(shè)球的半徑為 ，容易得到 的內(nèi)切圓半徑為 ， ，又因?yàn)?，所以 ，所以 .應(yīng)選擇 答案。

點(diǎn)評(píng)：本題考查直棱柱和球的相關(guān)概念，考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力以及分析問題和解決問題的能力。解題時(shí)通過對(duì)直棱柱的高、底面內(nèi)切圓半徑和球半徑這三個(gè)量的比較與估計(jì)，才能推得球的最大半徑，從而得到球的最大體積。

從以上例子可以看出，有關(guān)球的問題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)。有關(guān)球的考題一種是和三視圖的知識(shí)聯(lián)系，通過給出球與其它幾何體組合而成的組合體的三視圖，考查組合體的體積和表面積等問題；另一種是考查球與多面體的接、切問題。解答與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法與技巧是把問題轉(zhuǎn)化到相關(guān)圓的問題來解決，關(guān)于多面體與球的切、接問題的關(guān)鍵是找出切、接點(diǎn)，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決。

與球有關(guān)的問題可以很好的考查學(xué)生的空間想象能力、化歸能力和運(yùn)算求解能力，此類試題既注重基礎(chǔ)也關(guān)注能力，試題設(shè)計(jì)一般都是源于教材但高于教材。解題時(shí)必須經(jīng)歷從識(shí)“圖”、想“圖”到構(gòu)“圖”的過程，要通過觀察、分析、想象、判斷、計(jì)算的邏輯思維才能求解。這很好地體現(xiàn)了新課程背景下，要求學(xué)生自主探究的理念，是立體幾何教學(xué)要求的核心素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該把與球有關(guān)的問題作為一個(gè)專題進(jìn)行深度教學(xué)，讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在遇到此類問題時(shí)能發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，使問題迎刃而解。