解題教學(xué)中存在的問題及應(yīng)對(duì)策略
——一道中考試題的考后思考

☉江蘇省江陰市第一初級(jí)中學(xué)鐘珍玖

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于圓心O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的長(zhǎng).

圖1

圖2

二、學(xué)生答題失誤

這是2018年無錫市中考數(shù)學(xué)卷第24題，本題滿分8分，全市平均得分4.25分，從學(xué)生的答題情況來看，有以下幾種失誤：

失誤1：思維定式誤作圓的直徑.學(xué)生答卷上有很多都是連接BD，雖然構(gòu)造了一條直徑，但是∠B被分成了兩個(gè)角，cosB=這樣一個(gè)重要的條件就不能使用了，這是典型的由思維定式形成的解題思維障礙，反映學(xué)生的思維缺乏靈活性，與教師平時(shí)的解題教學(xué)方法息息相關(guān).

失誤2：思維定式誤作弦的垂線.這類考生有利用∠B的余弦的意識(shí)，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，同樣受到思維定式的影響，過點(diǎn)O作弦BC的垂線，反向延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，連接DF（如圖2），采用圖形分割的方法來構(gòu)圖，此時(shí)需要證明四邊形DFEC是矩形，證明難度較大，學(xué)生思維受阻.

失誤3：三角函數(shù)概念記憶錯(cuò)誤.學(xué)生還有一類非?？上У拇痤}錯(cuò)誤，就是正確作出了輔助線，延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)E，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，但是把正弦和余弦的定義記反了，在高強(qiáng)度、大思維量的數(shù)學(xué)考試中，凸顯了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性.

三、解題教學(xué)中存在的問題

1.套用“模型”，引發(fā)思維定式

數(shù)學(xué)解題模型化教學(xué)，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中很常見，對(duì)此也有很多的爭(zhēng)論和研討，不可否認(rèn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（特別是幾何圖形問題學(xué)習(xí)）的初期，模型識(shí)別有積極的價(jià)值，特別是對(duì)于數(shù)學(xué)思維能力不強(qiáng)的同學(xué)，對(duì)解題能力的提高有一定的作用.但是筆者從長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，模型教學(xué)有很多的弊端，特別是容易形成思維定式，弱化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，扼殺學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，違背了數(shù)學(xué)思考“隨意性”的原則，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.平時(shí)在學(xué)校聽課、外出培訓(xùn)學(xué)習(xí)，包括時(shí)下盛行的網(wǎng)絡(luò)教研，套用“模型”解題比較流行，各種模型種類繁多，如將軍飲馬模型、手拉手模型、一線三等角模型等，甚至對(duì)于同一個(gè)問題深入挖掘，讓學(xué)生記住很多的中間結(jié)論，在解題中套用，筆者認(rèn)為這些做法值得商榷.如果對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一般化或者特殊化，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和結(jié)論，這些做法值得提倡，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必須的.上題中的失誤1就是非常典型的模型強(qiáng)化形成的結(jié)果，我不止一次在聽課時(shí)，見到很多老師總結(jié)了圓中作輔助線的口訣：看到直徑想直角，看到直角連直徑，在這種模型的多次刺激后，思維不夠靈活的學(xué)生在連接BD把∠B破壞后就沒有解決問題的辦法了，這是答卷上出現(xiàn)失誤的情形.

2.就題論題，缺乏思維深度參與

一線教師的解題教學(xué)，就題論題的現(xiàn)象非常普遍，數(shù)學(xué)解題教學(xué)演變成只要解出答案或者推理出結(jié)論就可以了，更有甚者，解題的過程都是教師包辦的，沒有學(xué)生的思維參與，更不用說思維的深度參與了，這對(duì)于培養(yǎng)思維能力的數(shù)學(xué)學(xué)科來說，無疑是致命的做法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，所以解題教學(xué)的重要性是不言而喻的，解題教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，注重引導(dǎo)學(xué)生思考，特別是數(shù)學(xué)化的思考，要教會(huì)學(xué)生一般的思維方法如分析法、綜合法、綜合分析法等，也要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)獨(dú)有的思考方法如數(shù)形結(jié)合、圖形法等，除此之外，解題教學(xué)更要提倡學(xué)生用創(chuàng)新的思考方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.教師要從思維方法和數(shù)學(xué)方法論的高度進(jìn)行教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).對(duì)于失誤2，如果從數(shù)學(xué)美的角度來看，把“殘缺”的圖形補(bǔ)齊，延長(zhǎng)AD、BC構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，問題就迎刃而解了，而不是過分挖掘圓心的作用，作垂線構(gòu)造直角三角形，缺少了思維的深度參與，學(xué)生的解題視野狹窄，解題手段單一，缺少應(yīng)有的靈活性.

3.缺乏變化，不能洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)就在于富于變化，特別是幾何圖形的結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化，所以解決問題的方法也是多種多樣，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)解題的魅力所在.很多老師把題目講死、方法固定，失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究的趣味，學(xué)生淪為解題機(jī)器，從而失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力.數(shù)學(xué)解題的變式教學(xué)，是深挖數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，探索數(shù)學(xué)本質(zhì)最重要的手段.數(shù)學(xué)問題的變式方法很多：如把條件和結(jié)論互換，把條件強(qiáng)化和弱化，或者把結(jié)論特殊化或一般化，改變問題的背景等，本文不贅述這些方法.筆者要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式處理，反映出教師的基本功和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，是教學(xué)必備的一項(xiàng)基本技能.從目前教學(xué)的現(xiàn)狀來看，很多教師沒有重視此項(xiàng)能力的提升，試想：解題教學(xué)中如果學(xué)生沒有領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，怎么能夠提高思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)？對(duì)于無錫市這道考題的答題失誤，就是沒有理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，套用數(shù)學(xué)解題方法形成的，此題的本質(zhì)就是構(gòu)造直角三角形，然后解直角三角形，學(xué)生受圓的干擾，把思考問題的著力點(diǎn)放在圓上，導(dǎo)致解題失誤，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解不透.命題者別具匠心，繞開了平時(shí)教學(xué)中作垂線構(gòu)造直角三角形的做法，用“補(bǔ)形”來解決問題，恰好命中了教師的教和學(xué)生的學(xué)的“軟肋”.

四、解題教學(xué)的應(yīng)有之意

1.解題教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)生長(zhǎng)之道

眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要思維的參與，不能僅靠記憶和模仿解決問題，生搬硬套的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就失去了本真，“模型”解題教學(xué)有諸多的弊端，實(shí)不可取.數(shù)學(xué)有其自身的鮮明特征，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也應(yīng)該有其獨(dú)特的方法.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本概念、原理是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，需要學(xué)習(xí)者深刻理解和領(lǐng)悟，這也是解題教學(xué)中要確定的目標(biāo)之一，解題教學(xué)的目的不是解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題寫出答案，而是加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)能力提高的重要抓手，數(shù)學(xué)學(xué)科區(qū)別于其他學(xué)科的特質(zhì)就在于有其自身的思想方法，這是解題教學(xué)中最需要揭示和挖掘的，數(shù)學(xué)中很多困難的問題就在于含有豐富的思想方法，其思維具有獨(dú)到性，就是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn).掌握了基本概念，熟悉了數(shù)學(xué)思想，會(huì)用思維方法解決問題就意味著領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)生長(zhǎng)之道，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就真正得到提升.

2.解題教學(xué)，培養(yǎng)多種思維品質(zhì)

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力和多種思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的任務(wù)之一，而解題教學(xué)就是培養(yǎng)思維品質(zhì)最重要的抓手.解題教學(xué)不僅僅是教給學(xué)生套路，掌握一些解題方法和技巧，其終極目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，即思維的敏捷性，靈活性、創(chuàng)新性等.對(duì)于問題中的條件和結(jié)論，要深刻理解其思維本質(zhì)，這樣思維的方向才能準(zhǔn)確，思維才能敏捷，視野才能開闊.失誤2的問題在于思維不靈活，只想到把∠B構(gòu)造到直角三角形中，而不會(huì)把∠B轉(zhuǎn)移到另一個(gè)直角三角形中.解題教學(xué)提倡一題多解、一題多變，才能使學(xué)生思維靈活.解題教學(xué)更提倡解后反思，反思思維的優(yōu)化和思維的創(chuàng)新度，這是現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)所要求的，提高思維水平和思維監(jiān)控能力的必經(jīng)之路.教師的教學(xué)要讓學(xué)生的解后反思成為習(xí)慣，通過教師課堂教學(xué)的示范和引領(lǐng)，真正做到把提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到課堂上和學(xué)生的學(xué)習(xí)中.

3.解題教學(xué)，提升數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還有一個(gè)重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，讓學(xué)生會(huì)數(shù)學(xué)化地思考問題，這就要求學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，灌輸式教學(xué)不能解決數(shù)學(xué)的育人問題，甚至連解題也很難有大的進(jìn)步.如上述考題，其本質(zhì)就是解直角三角形，而三角函數(shù)就是刻畫三角形中邊角關(guān)系的，問題的難點(diǎn)在于已知∠B的余弦不能直接使用，而是經(jīng)過作輔助線實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)移，實(shí)際上已知角的余弦，就是已知角的度數(shù)，結(jié)合已知的邊CD就容易想到把∠B轉(zhuǎn)化為∠ADC的補(bǔ)角，圓的作用就是實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)移，這就是數(shù)學(xué)化的思考，突出轉(zhuǎn)化、化歸、聯(lián)系.培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念的另一個(gè)途徑就是數(shù)學(xué)文化的滲透.數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵非常豐富，前文已經(jīng)闡述的數(shù)學(xué)之美就可以大有作為.數(shù)學(xué)之美的類型這里不再贅述，筆者想要說明的是，數(shù)學(xué)之美不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，陶冶學(xué)生的情操，更為重要的是，數(shù)學(xué)之美可以啟發(fā)學(xué)生思考，提供解決問題方法和途徑，教師一旦把數(shù)學(xué)之美和方法論聯(lián)系起來就有極其重要的學(xué)習(xí)價(jià)值.如學(xué)生在解題中從“美”的角度出發(fā)，想到“補(bǔ)形”，延長(zhǎng)AD和BC則問題迎刃而解.命題者如果能夠命制出這樣數(shù)學(xué)文化味濃厚的數(shù)學(xué)試題，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的引領(lǐng)和指導(dǎo)價(jià)值是巨大的，對(duì)于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成都大有裨益.

解題教學(xué)不僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)做題，而且要讓學(xué)生提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵，培養(yǎng)多種思維品質(zhì)，進(jìn)而形成正確的數(shù)學(xué)觀念，所以解題教學(xué)值得廣大數(shù)學(xué)教師深入研究.