析疑難之諸因，探求解之通法
——反思求解一類幾何最值問題

☉浙江省三門縣英華外國語學(xué)校葉春泉

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題.解題過程中，常會遇到一些常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)方法，我們稱之為通性通法.在研究解題過程中，若能提煉得到這種“學(xué)一法、會一類”的通用方法，自然是解題者的追求.但在實(shí)際的解題研究中，似乎又普遍在尋求著“妙解”，追求著“妙解”帶來的思維創(chuàng)造的快樂.其解題思路，學(xué)生往往是難以想到的.這與課標(biāo)［1］中對評價(jià)的要求：注重通性通法，淡化特殊技巧的建議是不相符的.對此，筆者通過對一個(gè)幾何最值考題的反思，來闡述對數(shù)學(xué)解題中通性通法的關(guān)注.

一、試題呈現(xiàn)

原題：如圖1，△ABC、△DEF分別是腰長為16cm、10cm的兩個(gè)等腰直角三角形，頂點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上滑動(dòng).則滑動(dòng)過程中，點(diǎn)A、F間距離的最大值為______cm.

本題是筆者命制的，用于重點(diǎn)高中自主招生檢測與教師區(qū)域調(diào)動(dòng)文化檢測.作為填空題的壓軸題，本題在類型上屬于近幾年中考的常見題型——“動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值問題”.試題圖形背景簡潔，考查對圓的相關(guān)特征的理解與線段的最值問題，試題的設(shè)計(jì)遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的相關(guān)要求，關(guān)注考查學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和動(dòng)手實(shí)踐能力，以及通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理證明結(jié)論的能力.但從教師的檢測結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，26份答卷中只有1人正確作答，還有4人的錯(cuò)誤答案均為有17人未作答，4人為其他錯(cuò)誤答案，學(xué)生檢測反饋的得分率也接近0.

二、疑難分析

筆者通過閱查各種教輔資料和一些期刊，發(fā)現(xiàn)對“動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值問題”的研究文章不少，對問題的求解也給出了很好的建議與策略，這些策略普遍關(guān)注創(chuàng)造性思維的開發(fā)和激發(fā)思維的靈活性，但很少有對這類問題具有的通性通法的見解.下面筆者將引用這些策略及其實(shí)例來分析這類問題求解中的疑難因素.

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡，顯現(xiàn)之難

例1 如圖2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4.點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）

圖2

圖3

本題為2016年安徽中考第10題，參考文獻(xiàn)［2］利用“隱圓”巧解這種線段最值問題，為此類問題提供了一種很好的解題模型.文中認(rèn)為解本題時(shí)想到“隱圓”并不困難.如圖3，由題意可知∠APB=90°，故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，當(dāng)線段CP的長最小時(shí)，點(diǎn)C、P、O在一條直線上，從而得到線段CP長的最小值為2.

這個(gè)“隱圓”在此問題的解決中的確起著關(guān)鍵的作用，但筆者認(rèn)為發(fā)現(xiàn)“隱圓”并不容易，學(xué)生為何偏要去計(jì)算∠APB=90°？若事先能猜得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為直徑的圓弧，再去探求計(jì)算∠APB=90°，思路上可能會比較自然.

圖4

2.模型抽象，技巧之高

例2如圖4，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)A從點(diǎn)O開始沿著x軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)B在∠xOy的平分線上移動(dòng)，則點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離是（）.

本題與原題相似度極高，參考文獻(xiàn)［3］利用“曲柄連桿模型”進(jìn)行巧妙求解.如圖5～7，圖5為曲柄連桿實(shí)物圖.如圖6，當(dāng)N位于OM上時(shí)，OM最大；如圖7，當(dāng)O位于MN上時(shí)，OM最小.這個(gè)模型的特征是“曲柄”中的兩條線段ON和MN是定長的，其中ON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

圖5

圖6

圖7

文中分析：先找到“曲柄”中哪一條柄在旋轉(zhuǎn)，即找出這個(gè)定圓，聯(lián)系相關(guān)點(diǎn)O、A、B，確定△ABO的外接圓，如圖8，P的是圓心，因?yàn)椤螦PB=2∠AOB=90°，所以O(shè)P=PB=PA=，PC=1+.因此，當(dāng)AB在滑動(dòng)時(shí)，圓P的位置改變，大小不變，OP、PC就是“曲柄”中的兩條“柄”，問題便可解決.同時(shí)指出了解決這類題的關(guān)鍵是找到“曲柄連桿模型”中的兩條“柄”.

圖8

圖9

反思本題所運(yùn)用的“曲柄連桿模型”，基本的思想方法就是把變化的距離轉(zhuǎn)化為幾條定長的線段.因?yàn)槟Ｐ偷某橄?，決定了轉(zhuǎn)化并不容易.從模型本身來看，具有“定圓（心）動(dòng)點(diǎn)”的特征.而本題的求解又進(jìn)一步抽象為“動(dòng)圓（心）動(dòng)點(diǎn)”，所以要找到兩條定長的線段OP、PC實(shí)屬不易.筆者認(rèn)為本求解有兩疑難：其一，解題時(shí)，判斷問題是否符合“曲柄連桿模型”；其二，模型抽象，要正確轉(zhuǎn)化并不容易.再如原題中4位教師的錯(cuò)誤解答，答案為筆者推測是轉(zhuǎn)化過于復(fù)雜所致.推測如下：如圖9，求得三條定長線段OA=5、OG=5、GF=5 5 ，當(dāng)這三條線段在同一直線上時(shí)，AF取得最大值但未進(jìn)一步思考 OA、OG、GF能否共線，導(dǎo)致出錯(cuò).其實(shí)，能想到利用“隱圓”把問題轉(zhuǎn)化為三條定長的線段，已經(jīng)不容易了.

3.類別歸屬，局限之實(shí)

數(shù)學(xué)解題中，明確問題的類別，為解決的精準(zhǔn)切入提供了方向.如：例1、例2具有“隱圓”這個(gè)特征，為解題的思考指明了方向.由于方法的運(yùn)用僅局限于有“隱圓”的前提，所以解題時(shí)首要任務(wù)是判斷問題是否具有此特征.既然是隱著的，那么判斷的意識又來自哪里？而且判斷也是一個(gè)難點(diǎn)，況且在“動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值問題”中，存在“隱圓”的僅是部分而已.所以，用“隱圓”去求解此類問題，又具有明顯的局限性.

諸多的因素，反映了求解這類“動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值問題”時(shí)存在的障礙，同時(shí)為探尋自然的、具有廣泛意義的解法指明了方向.

三、探尋通法

數(shù)學(xué)解題中，通用、自然的解法應(yīng)該具有特征明顯、模型簡潔及切入容易等特征.在“動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值問題”中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的特征是明顯的，但動(dòng)點(diǎn)會隨圖形的變化而運(yùn)動(dòng)，涉及點(diǎn)的軌跡知識，它對分析問題的能力要求較高.由于初中階段受知識方面的局限，經(jīng)整理發(fā)現(xiàn)考題基本上是考查直線型與圓弧型兩類軌跡，運(yùn)用的基本依據(jù)是“垂線段最短”與“兩點(diǎn)之間線段最短”.基本的模型如下：如圖10，若P點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP⊥l時(shí)，AP最小；如圖11，若P點(diǎn)在⊙O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，AP1最小、AP2最大.顯然P點(diǎn)的軌跡判斷是問題解決的關(guān)鍵，尋求一種通用的判斷方法自然值得關(guān)注.

圖10

圖11

1.動(dòng)點(diǎn)有痕，思軌跡

動(dòng)靜兩點(diǎn)間的距離最值問題中，動(dòng)點(diǎn)的軌跡顯然是問題突破的關(guān)鍵，如何得出運(yùn)動(dòng)的軌跡，值得去思考、去實(shí)踐.結(jié)合上述疑難分析，筆者對此進(jìn)行了一定的調(diào)查與實(shí)踐，并在參考文獻(xiàn)［4］中給出了一種認(rèn)為比較自然的求解思路：描動(dòng)點(diǎn)→猜軌跡→尋依據(jù)→用模型.

例3如圖12，已知?OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為______.（2016年無錫市中考第17題）

圖12

圖13

圖14

如13，若通過A、C的位置變化，描出若干個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)B的位置，從而可以猜測點(diǎn)B在直線x=4的平行線上運(yùn)動(dòng).如圖14，進(jìn)而分析為什么點(diǎn)B會在直線x=4的平行線上運(yùn)動(dòng)，指向于去發(fā)現(xiàn)BE的長為定值.由△BEC≌△ODA，得BE=OD=1，證實(shí)了點(diǎn)B在直線x=5上運(yùn)動(dòng)，依據(jù)“垂線段最短”，可得對角線OB長的最小值為5.

在例1中，這個(gè)“隱圓”的發(fā)現(xiàn)是問題解決的關(guān)鍵.如圖15，若先描出若干個(gè)符合條件的動(dòng)點(diǎn)，容易猜出P點(diǎn)在以AB為直徑的圓弧上，再指向于尋找∠APB=90°.在這樣的思考中，軌跡的顯現(xiàn)自然變得容易.這種先實(shí)驗(yàn)，再猜想判斷的做法是探析點(diǎn)的軌跡一種有效的方法.也是課標(biāo)所強(qiáng)調(diào)的“參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力……”體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

圖15

2.動(dòng)靜相對，易轉(zhuǎn)化

圖16

在“動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離最值的問題”中，雖然動(dòng)點(diǎn)的軌跡通常是明確的，但也存在著動(dòng)點(diǎn)軌跡很難明確的及動(dòng)點(diǎn)軌跡不是直線型或圓弧型的問題.由于初中階段知識的局限，求解的障礙也就出現(xiàn)了.若利用“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”的策略，往往可輕易突破，即把動(dòng)點(diǎn)看成定點(diǎn)，把定點(diǎn)看成動(dòng)點(diǎn).

原題求解時(shí)，先對動(dòng)點(diǎn)F的軌跡利用描點(diǎn)猜想，可發(fā)現(xiàn)軌跡很難判斷確定.如圖16，若把△DEF看成固定的，則F成了參照點(diǎn)，若把△ABC看成運(yùn)動(dòng)的，則A成了動(dòng)點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的軌跡是圓弧.其中，DE為弦，圓周角∠A=45°，圓心角∠EOD=90°.易知當(dāng)A、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF最大，即A1F的長.半徑OA1=OE=OD=5，進(jìn)而求得OF=，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到A1位置時(shí)，A1F=5+5.

本題的求解，由于直接判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡比較困難，從而通過簡單的轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為求相對點(diǎn)的軌跡，把問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的直線型與圓弧型軌跡問題，是解決這類幾何最值問題一種常用的轉(zhuǎn)化策略.在求解例2時(shí)，如圖8，若把正三角形ABC看成固定的，點(diǎn)O看成動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)O在以AB為弦的定圓P上運(yùn)動(dòng)，易知C到原點(diǎn)O的最大距離是1++.

四、寫在最后

數(shù)學(xué)解題貴在自然，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，當(dāng)然也并非不要巧解妙法，而是說首先要考慮某種解法的廣泛適應(yīng)性，然后才是局部的靈巧性.即使一道題的某一解法，具有廣泛的意義而稍煩瑣，也比雖靈巧但意義局限的方法要可貴得多.