基于幾何直觀的初中代數(shù)教學(xué)思考

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星湖學(xué)校毛興明

幾何直觀是一種重要的數(shù)學(xué)研究思路，指人們根據(jù)圖像對(duì)問題進(jìn)行描述和分析.幾何直觀的運(yùn)用可以促成復(fù)雜問題的簡(jiǎn)化，有助于學(xué)生對(duì)問題產(chǎn)生更加形象、簡(jiǎn)明的認(rèn)識(shí)，這樣的操作有助于學(xué)生更快地探明問題的解析思路，并預(yù)測(cè)結(jié)果.在初中代數(shù)教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以幾何直觀為載體，促進(jìn)學(xué)生理解相關(guān)內(nèi)容，不但有助于學(xué)生理解代數(shù)知識(shí)，同時(shí)他們的直觀想象能力也會(huì)得到發(fā)展，這正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要方面.

一、有效引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合圖像思考代數(shù)問題的習(xí)慣

對(duì)學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)而言，正確的習(xí)慣非常重要，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷將代數(shù)問題翻譯為圖形問題的過程，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)如此操作讓問題變得更加簡(jiǎn)化的事實(shí).一旦學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一些直接處理起來比較麻煩的代數(shù)問題，在幾何圖形的幫助下，就實(shí)現(xiàn)了高效解決，學(xué)生將產(chǎn)生自發(fā)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和研究的意識(shí).

在實(shí)際操作中，學(xué)生首先要明確所要研究的代數(shù)問題的內(nèi)容，教師再引導(dǎo)他們將對(duì)應(yīng)問題與圖形銜接起來，將代數(shù)問題中所涉及的研究對(duì)象以圖形的方式直觀表達(dá)出來.然后，學(xué)生需要研究圖形間的聯(lián)系，藉此發(fā)現(xiàn)問題解決的突破口，探明問題解決的思路.學(xué)生將在上述過程中體驗(yàn)到利用幾何直觀處理代數(shù)問題的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)而養(yǎng)成一種與之匹配的問題分析習(xí)慣.

比如，有這樣一個(gè)問題，已知兩個(gè)一次函數(shù)l1∶y1=x+2和l2∶y2=-x+4，兩條線相交于點(diǎn)A（1，3），試問：如果要讓y1＞y2，則x的取值范圍是什么？

面對(duì)這樣的問題，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中勾勒出這兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，這一步是讓學(xué)生形成最基本的構(gòu)圖意識(shí)，然后要求學(xué)生在直角坐標(biāo)系中將圖像繪制出來，隨后學(xué)生將通過對(duì)圖1的觀察，得出結(jié)論：當(dāng)x大于1時(shí)，直線l1處在l2的上方，相應(yīng)的取值范圍也就由此而被確定.

在上述過程中，學(xué)生的思考過程要比繪圖過程重要得多，因?yàn)橹挥锌茖W(xué)的思維才能將代數(shù)研究的對(duì)象與直觀圖形聯(lián)系起來，由此推動(dòng)代數(shù)問題的圖形化.當(dāng)然，繪圖過程也相當(dāng)重要，這能讓學(xué)生形成更加形象化的處理，減輕學(xué)生抽象思維的負(fù)擔(dān)，學(xué)生的分析和研究也能有所依據(jù).

圖1

二、結(jié)合幾何圖形，研究代數(shù)問題中的邏輯關(guān)系

初中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并且由圖形產(chǎn)生直觀思維，這樣可以讓學(xué)生的思維更加形象、直觀.但同時(shí)，教師要啟發(fā)學(xué)生在此基礎(chǔ)上展開理性思考，探求相關(guān)圖形的邏輯關(guān)系，這樣處理有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決的本質(zhì).

比如，有這樣一個(gè)例子：市區(qū)組織各個(gè)學(xué)校進(jìn)行排球聯(lián)賽，比賽以循環(huán)賽的模式進(jìn)行，即每支隊(duì)伍都要跟其他學(xué)校的球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，如果已知參加聯(lián)賽的排球隊(duì)一共有n（n≥2）支，請(qǐng)問：一共要發(fā)生多少場(chǎng)比賽？

這個(gè)問題的處理，要求學(xué)生不但能畫出對(duì)應(yīng)的圖形，還能夠通過圖形將其中的邏輯關(guān)系梳理清楚.在探討各個(gè)球隊(duì)比賽場(chǎng)次的問題時(shí)，我們可以用點(diǎn)代表球隊(duì)，以點(diǎn)和點(diǎn)之間的連線代表球隊(duì)之間要進(jìn)行的比賽，這樣最終要確定的比賽場(chǎng)次也就對(duì)應(yīng)著線段總的條數(shù).

圖2

隨后學(xué)生結(jié)合幾何圖形研究和分析問題，又由于這個(gè)問題中的球隊(duì)支數(shù)是以字母表示的，這也就對(duì)應(yīng)著一個(gè)探尋規(guī)律的問題，學(xué)生可以依次將n設(shè)定為2、3、4、…，由此得出如圖2所示的點(diǎn)與線段的關(guān)系，并結(jié)合n的不同取值，得出比賽場(chǎng)次，并最終得出總的規(guī)律.

如果n取2，即只有2支球隊(duì)比賽，對(duì)陣關(guān)系如圖2a所示，2個(gè)點(diǎn)之間只有1條線段，因此需要進(jìn)行1場(chǎng)比賽.

如果n取3，即有3支球隊(duì)比賽，對(duì)陣關(guān)系如圖2b所示，3個(gè)點(diǎn)之間有3條線段，因此需要進(jìn)行3場(chǎng)比賽.

如果n取4，即有4支球隊(duì)比賽，對(duì)陣關(guān)系如圖2c所示，4個(gè)點(diǎn)之間有6條線段，因此需要進(jìn)行6場(chǎng)比賽.

如果n取5，即有5支球隊(duì)比賽，對(duì)陣關(guān)系如圖2d所示，5個(gè)點(diǎn)之間有10條線段，因此需要進(jìn)行10場(chǎng)比賽.

學(xué)生對(duì)上述幾幅圖展開比較和探索，在此基礎(chǔ)上研究比賽場(chǎng)次和n的取值之間的邏輯關(guān)系.這一過程要求學(xué)生能夠多方位展開思考，才能在錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)據(jù)中提煉出簡(jiǎn)潔且明確的數(shù)量關(guān)系.筆者認(rèn)為，這一過程最能激活學(xué)生的思維，同時(shí)是最能向?qū)W生展現(xiàn)思維力量的時(shí)候.該階段最適合讓學(xué)生將自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)搭配進(jìn)行，讓學(xué)生在相互討論中獲得啟發(fā).學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，每個(gè)點(diǎn)都會(huì)與其他點(diǎn)發(fā)生連線關(guān)系，但同時(shí)每條線都參與了兩次連線過程，所以如果有n個(gè)點(diǎn)，則每個(gè)點(diǎn)都會(huì)產(chǎn)生（n-1）條連線，如此一共產(chǎn)生了n（n-1）條連線，再考慮到每根線都產(chǎn)生了兩次，也就是最后的結(jié)果要除以2，即一共發(fā)生的比賽場(chǎng)次應(yīng)該是

三、重視實(shí)踐操作，重構(gòu)幾何圖形

在代數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)代數(shù)問題，如果直接處理，則很容易陷入僵局，但是如果換一下思路，則可能產(chǎn)生意想不到的效果.類似地，如果我們采用幾何直觀的思維處理某些問題，無(wú)法得到滿意的答案，而通過實(shí)踐操作，對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)變換，往往會(huì)讓人原先被卡住的思維恢復(fù)暢通.

比如，研究圓柱體的側(cè)面積時(shí)，由于這是一個(gè)彎曲面，直接求解非常困難，但是我們把圓柱的側(cè)面徹底展開，這樣就可以把這個(gè)曲面轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生所熟悉的平面圖形——矩形，圓柱體的高和圓柱體底面的周長(zhǎng)就分別對(duì)應(yīng)著圓柱體的寬和長(zhǎng).

再比如，這樣一個(gè)問題：現(xiàn)有如圖3a所示的四邊形ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點(diǎn)E，如果已知AE的長(zhǎng)度為10，求原四邊形的面積.

學(xué)生在處理這個(gè)問題時(shí)，大多會(huì)從分割的方法著手，將原先的這個(gè)四邊形分割成直角梯形ABCE和直角三角形ADE，只要將這兩個(gè)特殊圖形的面積求解出來了，問題也就徹底解決了，但是，題目中只給出了AE這條邊的長(zhǎng)度，因此這條路無(wú)法走下去.

圖3

怎么辦呢？幾何直觀要求學(xué)生能夠通過自己的操作不斷試探，進(jìn)而將規(guī)律混亂的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉而簡(jiǎn)單的圖形，促使題目的簡(jiǎn)化處理.這個(gè)問題最終的處理只要將圖3b中的直角三角形ADE裁剪下來，拼湊到圖中虛線的位置，學(xué)生將很容易地得到一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形，整個(gè)圖形的面積在這個(gè)過程中沒有發(fā)生變化，因此可以確定原先四邊形的面積是100.

當(dāng)我們引導(dǎo)學(xué)生采用幾何直觀的方法構(gòu)建思路處理問題時(shí)，務(wù)必要讓學(xué)生重視實(shí)際操作的過程，很多時(shí)候問題與答案也就是一線之隔，學(xué)生如果卡在某處猶豫不決，只會(huì)讓他們浪費(fèi)時(shí)間，在無(wú)法收獲的同時(shí)厭倦了對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究.越是遇到這樣的情況，就越要關(guān)注學(xué)生意志品格的走向.所以在日常教學(xué)中，教師不但要注意知識(shí)和方法的教學(xué)，也要通過一些難題訓(xùn)練學(xué)生的耐受能力，鍛煉他們的意志.

總之，在初中代數(shù)教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開思考和探討，將幾何直觀納入代數(shù)問題的探究過程中，由此提升他們的探究效率，也培養(yǎng)與此相關(guān)的能力.