過程教育下“立方根”教學的若干問題問答

☉浙江省象山縣教育局教科研中心周林祥

發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，是數(shù)學課堂教學的重要育人任務，而過程教育是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑.但在以浙教版數(shù)學七年級上冊3.3“立方根”為載體的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題.鑒于此，筆者在重復觀摩與反思的基礎上，以問答的形式呈現(xiàn)該課的幾個節(jié)點問題及參考答案，供讀者參考、研究.

問：該課研究的對象是什么？它是在怎樣的背景下提出來的？

答：該課研究的對象是“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的運算.它是在學習乘方運算的基礎上，為解決形如“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的需要提出來的，因為形如“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的運算有豐富的現(xiàn)實情景.

問：該課研究的內容是什么？其地位與作用分別是什么？

答：從立方根的概念體系中可以分析出該課研究的內容是：開立方、立方根的概念，立方根的符號表示，求具體數(shù)的立方根，立方根的有關事實.其邏輯關系如圖1所示.“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的運算具有豐富的現(xiàn)實情景，用根號表示立方根的式子在實數(shù)運算中會經常遇到，求數(shù)的立方根是需要學生掌握的基本技能，由一般到一般或由特殊到特殊的研究方法在教學實踐中會經常用到.

圖1

問：產生“已知x3=a，求x”有哪幾種方式？哪種方式比較合適？

答“：已知x3=a，求x”可以看成是從實際問題中抽象出來的，也可以看成是從“已知底數(shù)和指數(shù)3，求其冪”中演繹出來的，還可以看成是通過類比“已知x2=a，求x”得出的，也可以看成是從具體的“（？）3=8”等中歸納出來的.但采用演繹方式更能促使學生感悟立方與開立方是互逆運算.

問：數(shù)學概念有幾種定義形式？定義該課中的概念可用怎樣的形式？

答：數(shù)學概念的定義形式大致可分為白描、歸納和抽象這3種.例如，畫出三角形，定義“這樣的圖形為三角形”為白描形式；畫出一些包括三角形在內的多邊形，定義“由三條邊構成的多邊形為三角形”為歸納形式；直接給出定義“由三條線段首尾相接所組成的平面圖形為三角形”為抽象形式［1］.盡管立方根概念的形式特征比較明顯，能從外形上直接觀察和識別，并且教學要求不高，但學生對方程根的認識還沒有達到一定的“深度”，而開立方與立方運算是互逆運算，所以定義立方根宜采用抽象形式.

問：根據(jù)立方根有關事實的教學性質，獲得立方根的有關事實要經歷哪幾個步驟？

答：立方根有關事實的教學性質是原理教學，所以它要遵循原理教學的基本規(guī)范，但這些事實相對比較簡單，不必經歷原理教學完整的認知過程，可以在求數(shù)的立方根的基礎上，引導學生通過歸納猜想得到.其基本過程可以是：用立方運算求有代表性的數(shù)的立方根→歸納猜想立方根的有關事實→表達立方根的有關事實.

問：根據(jù)上述確立的研究思想，該課研究的內容有何教育價值？

答：用演繹方式產生“已知x3=a，求x”的過程和所蘊含的從運算角度提出問題的經驗，用抽象形式定義開立方和立方根的過程和所蘊含的演繹思想、符號表示思想，解釋立方根概念的過程和所蘊含的從數(shù)學概念中可以分解出判定和性質兩個命題的經驗，用立方運算求數(shù)的立方根的過程和所蘊含的演繹思想、化歸思想、間接運算的經驗，求數(shù)的立方根之后反思的過程和所蘊含的歸納思想及數(shù)學活動經驗等，這些對發(fā)展學生的智力、能力和個性有積極影響.

問：學生在學習該課的過程中可能會遇到哪些認知障礙？

答：盡管學生有從運算角度提出問題的經驗，但從“底數(shù)指數(shù)=冪”中提出“已知x3=a，求x”，估計對部分學生來說有難度；盡管學生學過許多數(shù)學概念，但從兩個方面理解概念的本質特征，大部分學生無先前經驗；盡管學生有用平方運算求數(shù)的平方根的經歷與經驗，但學生還沒有養(yǎng)成這種間接運算的習慣，估計部分學生不能自然地用立方運算求數(shù)的立方根；盡管學生有合情推理的經歷與經驗，但歸納猜想立方根的有關事實可能對部分學生來說有困難.

問：根據(jù)全面的課程目標觀，該課應設置怎樣的教學目標？

答：根據(jù)上述分析結果，并用“課標、教材、學生”三把篩子進行篩選，該課的教學目標可以設置為：經歷回顧舊知與提出問題的過程，能從“底數(shù)指數(shù)=冪”中提出“已知x3=a，求x”的運算，能感悟研究開立方運算的意義；參與定義開立方和立方根的活動，能陳述開立方和立方根的概念，能知道開立方與立方是互逆運算，會用根號表示數(shù)的立方根，能感悟符號表示思想；參與求數(shù)的立方根的活動，會用立方運算求數(shù)的立方根，能知道立方根的有關事實，能感悟演繹思想和歸納思想，并在學習過程中有個性化的表現(xiàn).

問：根據(jù)教學重、難點的含義，該課教學的重點與難點分別是什么？

答：根據(jù)該課概念的地位與作用，以及所蘊含的教育價值，其教學重點是立方根的概念和求數(shù)的立方根.因為用根號表示立方根的式子在實數(shù)運算中會經常遇到，求數(shù)的立方根是需要學生掌握的基本技能.其教學難點是立方根的概念.因為從兩個方面理解立方根概念的本質特征學生無先前經驗，又因為具有雙重性的含義比較抽象，許多學生不能自然地把轉化為“（？）3=a”.

問：教學結構是實現(xiàn)教學目標的通道，該課應構建怎樣的教學結構？

答：根據(jù)抽象形式定義概念的認知過程觀［2］，該課的教學結構可用圖2表示.

圖2

這是一個以數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展過程為載體的學生認知過程和以學生為主體的數(shù)學活動過程.這個“簡單、自然、動態(tài)、和諧”的教學結構，能使學生經歷完整的數(shù)學思考過程，對促進學生認知與情感的變化與發(fā)展有積極的影響.

問：“經歷回顧舊知與提出問題的過程”的教學怎樣操作？

答：首先，教師指出：我們知道，23=8，它是已知底數(shù)和指數(shù)求冪的運算.在“底數(shù)指數(shù)=冪”中，還能提出怎樣的運算？

其次，教師解釋：事實上，許多實際問題可以轉化為這些運算.例如，要做一個體積為8cm3的立方體模型，它的棱長應取多少？這個問題可以轉化為已知冪和指數(shù)求底數(shù)的運算.

最后，揭示課題：既然這些運算有豐富的現(xiàn)實情景，就有研究這些運算的必要.已知x3=a（a是已知數(shù)），怎樣求x？本節(jié)課我們先來研究與之相關的問題.

解析：提出問題是概念教學不可忽視的一個環(huán)節(jié)，旨在激發(fā)學生的學習興趣和感悟研究的必要性.該課知識的生長點是立方運算.這個經歷性數(shù)學活動的內容，不僅包括立方運算，還包括從“底數(shù)指數(shù)=冪”中演繹出“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的過程和所蘊含的演繹思想及開立方運算的意義.教學采用了教師價值引導下的學生自主體驗的方法.它建立了新知識和舊知識之間的內在聯(lián)系，能使學生感悟研究對象從哪里來和往何處去.

問“：參與定義立方根的活動”的教學怎樣操作？

答：第一，教師直接給出定義：一個數(shù)的立方等于a（a是已知數(shù)），求這個數(shù)的運算，叫作開立方，這個數(shù)叫作a的立方根，也叫作a的三次方根.即：如果x3=a，那么求x的運算叫作開立方，x叫作a的立方根.

第二，教師解釋：開立方與立方是互逆運算.根據(jù)立方根概念可得：若x3=a，則x是a的立方根；若x是a的立方根，則x3=a.并舉例說明.

解析：盡管立方根概念的教學要求是“了解”，但用根號表示立方根的式子在實數(shù)運算中會經常遇到，它需要學生知道用根號表示立方根式子的含義.這個參與性數(shù)學活動的內容，不僅包括開立方、立方根的概念、立方根的符號表示，還包括開立方與立方是互逆運算，從數(shù)學概念中可以分解出判定和性質兩個命題的經驗，用根號表示立方根式子的含義，立方根的事實“（）3=a”，與的差異.教學采用了教師價值引導下的學生自主體驗的方法.它揭示了立方根概念的本質特征，暗示了求數(shù)的立方根的方法，能使學生知道有雙重性含義.

問“：參與求數(shù)的立方根的活動”的教學怎樣操作？

答：第一，教師指出：由于開立方與立方是互逆運算，所以我們可用立方運算來求數(shù)的立方根.并示范求-的立方根的過程.

第二，教師要求學生模仿樣例求下列各數(shù)的立方根：

在求上述各數(shù)的立方根之后，教師要求學生猜一猜關于數(shù)的立方根有什么結論，說說數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么不同，并引導學生通過歸納得出

第三，教師要求學生先說出下列各式的意義，再計算.

最后，要求學生完成課本中的練習題，待學生完成任務后進行交互反饋與評價.

解析：用立方運算求數(shù)的立方根是整節(jié)課認知過程的后半段，求數(shù)的立方根是該課的教學重點，是需要學生掌握的基本技能，“在后繼學習中會經常用到.這個參與性數(shù)學活動的內容，不僅包括求數(shù)的立方根，還包括求數(shù)的立方根的過程和所蘊含的演繹思想，立方根的有關事實，以及獲得立方根有關事實的過程和所蘊含的歸納思想.教學采用了教師價值引導與學生自主建構相結合的先“放”后“收”的適度開放的方法.它能促使學生養(yǎng)成用立方運算間接求立方根的習慣，增強計算之后反思的意識，感悟計算過程中所蘊含的演繹思想和獲得立方根有關事實過程中所蘊含的歸納思想等.

問：“參與回顧與思考的活動”的教學怎樣操作？

答：首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內容？

（2）“已知x3=a，求x”是從哪里來的？為何學習求數(shù)的立方根？

（3）我們是用什么方法來求數(shù)的立方根的？

（4）大家在學習過程中有何感觸？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

最后，教師總結該課的研究內容與研究方法，并指出以后可用計算器來求一個數(shù)的立方根（或其近似值）.

解析：課堂總結也是整節(jié)課認知過程的后半段，旨在欣賞研究內容與研究方法，感悟研究過程和所蘊含的數(shù)學思想及積淀求數(shù)的立方根的經驗.這個參與式數(shù)學活動的內容，不僅包括回顧研究內容與研究方法，還包括交流學生學習后的感悟；教學采用了“問題清單”引導下的學生獨立回顧與思考基礎上的交互反饋和交互反饋基礎上的教師總結性講解的方法.它有助于學生深化認識，產生個性化的想法，并對學生增強反思意識、發(fā)展語言表達能力及養(yǎng)成敢想、敢說、敢于創(chuàng)新的良好習慣有積極的影響.

以上幾個問題雖不十分系統(tǒng)，回答可能也不全面，但它對改變當前“只教不研”的現(xiàn)象和發(fā)展教師的實踐性智慧有積極的影響.