互逆運(yùn)算引出新知，數(shù)學(xué)史話融入學(xué)程
——以“數(shù)的開(kāi)方（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)張威

目前初中階段對(duì)有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是分在不同學(xué)期進(jìn)行學(xué)習(xí)，有些教材上引入數(shù)的開(kāi)方、算術(shù)平方根時(shí)往往從一個(gè)生活問(wèn)題出發(fā)，這些教學(xué)安排或情境引入當(dāng)然有一定的道理.教無(wú)定法，若從數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯連續(xù)、前后一致的角度來(lái)審視“數(shù)的開(kāi)方”的教學(xué)引入與起始課研發(fā)呢？筆者近期有了一次實(shí)踐的機(jī)會(huì)，本文就整理該課的教學(xué)流程，并給出教學(xué)立意的解釋，供分享和研討.

一、“數(shù)的開(kāi)方（第1課時(shí)）”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）從數(shù)及其運(yùn)算說(shuō)起

問(wèn)題1：數(shù)，有理數(shù)，還有π，它不是有理數(shù)，是什么數(shù)呢？（如果有學(xué)生預(yù)習(xí)過(guò)能說(shuō)出無(wú)理數(shù)，記得板書在黑板副板區(qū)）

問(wèn)題2：有理數(shù)學(xué)習(xí)了哪些相關(guān)概念和哪幾種運(yùn)算？（學(xué)生能答出數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)等，有理數(shù)的運(yùn)算有加法、減法、乘法、除法、乘方，教師選擇一些進(jìn)行板書）

問(wèn)題3：舉幾個(gè)簡(jiǎn)單乘方運(yùn)算的例子.（學(xué)生舉出22=4，33=27，（-3）2=9等，可收集一部分板書在黑板上）

問(wèn)題4：我們知道，加和減、乘和除都是互逆運(yùn)算，它們的結(jié)果分別稱和、差、積、商.乘方的結(jié)果稱冪.現(xiàn)在逆過(guò)來(lái)研究乘方與冪，若已知冪、指數(shù)，求底數(shù)怎么算？（預(yù)設(shè)：學(xué)生求x2=4時(shí)，可能會(huì)漏掉-2.啟發(fā)大家再次分析x2=9時(shí)，要考慮兩解）

問(wèn)題5：上面已知冪和指數(shù)，求底數(shù)的運(yùn)算，就是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算，也就是第六種運(yùn)算：開(kāi)方運(yùn)算.這么簡(jiǎn)單，為什么有理數(shù)那章沒(méi)有順便學(xué)習(xí)？

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）研究數(shù)的開(kāi)方

問(wèn)題6：研究開(kāi)方運(yùn)算.

從最簡(jiǎn)單的開(kāi)平方運(yùn)算開(kāi)始.

給出定義：上面已知道了4開(kāi)平方得到2、-2；9開(kāi)平方得到3、-3.我們把開(kāi)平方得到的結(jié)果稱為平方根.

跟進(jìn)訓(xùn)練：9的平方根如何表示？3的平方根如何表示？5的平方根如何表示？

小結(jié)歸納：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.特別的，對(duì)于正數(shù)a的平方根中那個(gè)正的平方根，我們稱之為a的算術(shù)平方根.

過(guò)渡：開(kāi)平方也稱開(kāi)二次方，現(xiàn)在讓我們拾級(jí)而上，研究開(kāi)三次方，即開(kāi)立方.

自主研究：將8開(kāi)立方的結(jié)果是？你覺(jué)得開(kāi)立方的結(jié)果取個(gè)什么名字？你能想到用怎樣的符號(hào)表示它們嗎？（對(duì)于數(shù)x來(lái)說(shuō)，它的立方根記為）舉幾個(gè)例子來(lái)鞏固理解一個(gè)數(shù)的立方根.

小結(jié)歸納：一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè).正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）“數(shù)系”再次擴(kuò)充

回顧：進(jìn)入初中，引入負(fù)數(shù)之后，小學(xué)階段的數(shù)系相應(yīng)地?cái)U(kuò)充為有理數(shù)，我們也知道了整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，也稱可比數(shù)（m、n為整數(shù)，n≠0）.

數(shù)學(xué)史話鏈接：據(jù)傳畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)“門徒”希帕索斯率先發(fā)現(xiàn)了不是有理數(shù)，

圖1

如圖1，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分別沿它的對(duì)角線剪開(kāi)，得到四個(gè)等腰直角三角形，即可拼成一個(gè)大正方形.容易知道，這個(gè)大正方形的面積是2，那么大正方形的邊長(zhǎng)為多少呢？

建立模型：待求的大正方形的面積為2，設(shè)它的邊長(zhǎng)為a，則有a2=2.也就是要把平方運(yùn)算逆過(guò)來(lái)思考，即在冪的運(yùn)算式子“an”中已知指數(shù)和冪，逆過(guò)來(lái)求底數(shù)的值.問(wèn)題簡(jiǎn)化如下：

若a2=2，求a=_____（.答案為，負(fù)的平方根舍去）

因?yàn)檫@個(gè)“邪惡”的發(fā)現(xiàn)，不符合學(xué)派教義“萬(wàn)物皆備于數(shù)”，他被扔進(jìn)了大海，也引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.隨著數(shù)系擴(kuò)充，從有理數(shù)系再次擴(kuò)充到實(shí)數(shù)（有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)），第一次數(shù)學(xué)危機(jī)就得到了解釋.

研究展望：數(shù)系擴(kuò)充之后，就需要進(jìn)一步研究新數(shù)系的相關(guān)概念，如數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、大小比較，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，這些都將是后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）回到“開(kāi)平方”

應(yīng)用1：解簡(jiǎn)單的一元二次方程.

解方程：（1）x2=16；（2）x2-25=0；（3）4x2=9.

圖2

圖3

你能理解這種畫法嗎？能找到表示- 2 的點(diǎn)嗎？

同類推介：如圖3，直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)O′點(diǎn)，那么O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為π.

最后進(jìn)行適當(dāng)?shù)男〗Y(jié)，完善本節(jié)課結(jié)構(gòu)化板書：

圖4

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.教無(wú)定法，重視基于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的角度引入新課

數(shù)學(xué)是科學(xué)，教學(xué)是藝術(shù).教無(wú)定法，適合的就是好的.教材上引入平方根、數(shù)的開(kāi)方自有其道理和依據(jù)，但是我們?cè)谏衔闹谢跀?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)思了從乘方的逆運(yùn)算思考，定義并引出實(shí)數(shù)系及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)新知，如平方根、無(wú)理數(shù)，特別是數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系之后，對(duì)于實(shí)數(shù)的相關(guān)概念、數(shù)軸、相反數(shù)等也帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了眺望和初步感知.從這個(gè)角度看，這種新知引入方式是符合教學(xué)實(shí)際的情境創(chuàng)設(shè).

2.對(duì)話互動(dòng)，通過(guò)系列問(wèn)題串起教學(xué)進(jìn)程并促進(jìn)課堂生成

在上面課例中，通過(guò)一系列的問(wèn)題串起了教學(xué)環(huán)節(jié)，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考，把學(xué)生的思維“卷入”到本課內(nèi)容中來(lái)，學(xué)生積極思考，踴躍展示，得到了很多生成性資源，教師及時(shí)捕捉這些生成性資源并用于推進(jìn)后續(xù)教學(xué)進(jìn)程，生成、完善板書設(shè)計(jì).讓學(xué)生“不知不覺(jué)”感受到這節(jié)課的新知都是在他們參與下獲得并豐富起來(lái)的，除了學(xué)得新知，探究數(shù)學(xué)的求知欲和自信心都能得到有效提升.

3.滲透文化，精心預(yù)設(shè)融入“數(shù)學(xué)史”激發(fā)學(xué)生參與的熱情

數(shù)學(xué)是一種文化，幾千年來(lái)與人類文明相伴始終.數(shù)學(xué)發(fā)展史也表明，像無(wú)理數(shù)這樣的數(shù)學(xué)史話，特別是引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”這樣的重要內(nèi)容，初中生在首次接觸時(shí)，如果進(jìn)行必要的“融入式”學(xué)習(xí)，則對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是一種精神的洗禮.所以，我們把畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，特別是其門徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的故事融入了新課教學(xué)進(jìn)程，并運(yùn)用后來(lái)歐氏幾何原本中的證法向?qū)W生進(jìn)行演示推介，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)，雖然這些都不是為了“眼前利益”而服務(wù)，但是為他們打開(kāi)的這扇窗，對(duì)滲透數(shù)學(xué)文化、熏陶數(shù)學(xué)精神是十分有益的.