探究一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維——談初中數(shù)學(xué)發(fā)散思維的培養(yǎng)

江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣廣洋湖鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué) 馬亞允

創(chuàng)新發(fā)展是黨的十九大報(bào)告中傳遞出的重要信息，這是未來(lái)我國(guó)人才發(fā)展的一個(gè)趨勢(shì)，也為新時(shí)期的教育改革指明了方向。創(chuàng)造性思維是一個(gè)人和一個(gè)社會(huì)智力水平發(fā)展到一定高度的“產(chǎn)物”，也是產(chǎn)生更多具有社會(huì)意義成果的基石與來(lái)源。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力和創(chuàng)造性思維成為新時(shí)期教育的首要任務(wù)，而發(fā)散思維則是測(cè)定學(xué)生是否具有創(chuàng)造力的重要標(biāo)志，因此借助初中數(shù)學(xué)的學(xué)科優(yōu)勢(shì)，著力培養(yǎng)中學(xué)生發(fā)散思維，值得每個(gè)數(shù)學(xué)教育者關(guān)注。筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生探究一題多解，對(duì)于發(fā)散思維的培養(yǎng)，思維靈活性激發(fā)以及創(chuàng)造性思維的形成具有積極的推動(dòng)和促進(jìn)作用?；诖耍疚慕Y(jié)合具體的教學(xué)案例，對(duì)此進(jìn)行了深入研究和全面解析。

一、探究一題多解，發(fā)展發(fā)散思維

一個(gè)問(wèn)題只能有一種解法的思維定式，導(dǎo)致了中學(xué)生思維僵化，很容易在題型稍加變化的情況下出現(xiàn)無(wú)解現(xiàn)象。數(shù)學(xué)是鍛煉學(xué)生思維多樣化的一門(mén)學(xué)科，通過(guò)探究一題多解，在讓學(xué)生了解到常規(guī)解法之后，引導(dǎo)他們?cè)購(gòu)牟煌嵌葘?duì)問(wèn)題進(jìn)行審視與，找到更多方法，并從中篩選出最優(yōu)、最佳方案，是幫助他們提高解題效率，培養(yǎng)中學(xué)生聚合思維、發(fā)散思維等多種思維共同發(fā)展的有效途徑。以“多邊形內(nèi)角和”一課為例。

師：三角形內(nèi)角和為180度，這是我們都了解的，但是四邊形呢？大家知道嗎？

生1：應(yīng)該是360度，我們學(xué)過(guò)的正方形和長(zhǎng)方形，它們四個(gè)內(nèi)角都是直角90度，所以內(nèi)角和是360度。

師：不錯(cuò)，但這兩種圖形在四邊形中是比較特殊的，不具有一般性。想想看怎樣將特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一般問(wèn)題？并由此推測(cè)出五邊形和六邊形的內(nèi)角和。

這時(shí)可以鼓勵(lì)學(xué)生們通過(guò)小組合作的形式進(jìn)行探究，并在討論之后以小組為代表進(jìn)行發(fā)言。

小組1：四邊形可以先連接對(duì)角線，使一個(gè)四邊形變成兩個(gè)三角形，那么從三角形內(nèi)角和就可以推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和。五邊形可以以一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，向它對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角邊接，使一個(gè)五邊形轉(zhuǎn)化成三個(gè)三角形，那么五邊形內(nèi)角和就是3個(gè)180度，即540度。

小組2：我們的方法相似，六邊形內(nèi)角和就是先將它分成四個(gè)三角形的內(nèi)角和相加，即720度。

師：不錯(cuò)，大家都找到了一個(gè)簡(jiǎn)單又有效的方法，那么從這個(gè)方法中是不是可以將多邊形（假設(shè)是個(gè)n邊形）內(nèi)角和進(jìn)行歸納？

小組3：通過(guò)觀察我們通過(guò)一個(gè)表格進(jìn)行了歸納。

師：歸納得很到位，那么對(duì)于多邊形內(nèi)角和的解法就沒(méi)有別的方法了嗎？

在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生們繼續(xù)更深層次的挖掘和討論。

圖1

小組4：我們還想到了兩種方法，如圖1，一種是可以在n邊形里取任意點(diǎn)和所有頂點(diǎn)進(jìn)行連接，就能夠得到“180°n-360°=180°（n-2）”。另一種就是在多邊形任意邊上取一點(diǎn)連接所有頂點(diǎn)，可以得到“180°（n-1）-180°=180°（n-2）”。

二、探究一題多用，碰撞思維火花

發(fā)散思維一方面是鍛煉學(xué)生思維靈活性，讓他們的思維不會(huì)停留在某個(gè)點(diǎn)或者某個(gè)面上，而是能夠跳出思維定式，多方位和多角度地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考、分析和解決，在這個(gè)過(guò)程中完成思維的創(chuàng)造、創(chuàng)新和發(fā)展。另一方面是訓(xùn)練學(xué)生思維深刻性，通過(guò)“一題多解”和“一題多用”將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)連接起來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)舉一反三，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的價(jià)值，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。如在探究：“△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于O點(diǎn)，∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)是多少？”時(shí)，就可以通過(guò)一題多用對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練：

圖2

應(yīng)用①：△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于O點(diǎn)，∠A=a°，如圖2，那么∠BOC的度數(shù)是多少？它與∠A之間是否有數(shù)量關(guān)系存在？

應(yīng)用②：△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于O點(diǎn)，∠BOC=a°，那么∠A度數(shù)是多少？

應(yīng)用③：△ABC中，∠BCE和∠CBD兩外角平分線相交于O點(diǎn)，∠A=a°，如圖3。那么∠BOC度數(shù)是多少？它與∠A之間是否有數(shù)量關(guān)系存在？

圖3

圖4

應(yīng)用④：△ABC中，∠ACE外角平分線與∠ABC的角平分線相交于O點(diǎn)，∠A=a°，如圖4。那么∠BOC的度數(shù)是多少？它與∠A之間是否有數(shù)量關(guān)系存在？

結(jié)合中學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知能力和水平以及數(shù)學(xué)思維的遞進(jìn)性和層次性，秉承逐漸深入、逐步遞進(jìn)和環(huán)環(huán)相扣的原則，設(shè)計(jì)多種題型進(jìn)行“一題多用”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生們由簡(jiǎn)到難，由一般至特殊地對(duì)題目中隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行發(fā)現(xiàn)探究，對(duì)數(shù)學(xué)“建模思想”進(jìn)行了滲透和強(qiáng)化。在這種訓(xùn)練下，學(xué)生們的思維越來(lái)越靈活，也越來(lái)越深刻，完成了知識(shí)理論與實(shí)踐應(yīng)用的融合和統(tǒng)一。

我國(guó)教育無(wú)可避免地受到傳統(tǒng)教育思想的影響，知識(shí)在老師手中一遍遍“填滿”學(xué)生腦海，而學(xué)生則通過(guò)不斷背誦復(fù)習(xí)讓其成為自己終身記憶，扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)反而束縛了學(xué)生的思維與思維，讓他們失去了創(chuàng)造與創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。教育不應(yīng)該是填滿學(xué)生的腦袋，而是要讓他們的思維“飛躍”。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一題多解”的模式是對(duì)學(xué)生思維最好的訓(xùn)練，但同時(shí)教育者也應(yīng)該積極探索更好的方法，讓中學(xué)生在知識(shí)的同化與建構(gòu)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)思維的提升與發(fā)展。