從一個題淺談一類不等式題的解題策略

浙江省余姚市第八中學(xué) 陳銀燕

高考命題重點考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題，一般難度不太大。在近年的高考中，不等式的考查有選擇題、填空題、解答題，不僅考查不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法，而且還考查了分析問題、解決問題的能力。解答題以函數(shù)、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)相交匯處命題，函數(shù)與不等式相結(jié)合的題多以導(dǎo)數(shù)的處理方式解答，函數(shù)不等式相結(jié)合的題目，多是先以直覺思維方式定方向，以遞推、數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，具有一定的靈活性。在一次聯(lián)考中，填空題最后一題考查基本不等式。下面就由此題展開，談?wù)剬τ诖祟惒坏仁降慕忸}策略和思考。

一、考題引入，一題多解

初次看到這一題,腦海中的第一種想法是利用基本不等式。在考試之前,正好在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)不等式的知識,只是學(xué)生中能靈活運用基本不等式的不多,只能解常見題,簡單不等式求最值，有個別學(xué)生連“一正，二定，三相等”都不能很好理解。以下是對這個題的幾種不同解法。

∵ S=xy，x＞0，y＞0，∴ S＞0，

這種想法與第一種方法是一致的，用到了基本不等式的一個比較常用的變形可以很好地把兩個數(shù)的加法與乘法聯(lián)系在一起。

其實這題是泰州2015屆高三調(diào)研(三)卷中14題原題,除了上面兩種想法外,還可以用其他的方法進行拆分組合,最大最小值分開來算。(因為此題涉及的是正實數(shù)x,y，以下解題不具體說明）

對學(xué)生來說,解法三、四很難會想到,解法四對學(xué)生不作要求,解法五的想法比較靈活,用函數(shù)的思想解決最值問題,前提先消元,視為x的函數(shù)，用函數(shù)性質(zhì)來解題。

上述是一題多解,從不同角度來解決不等式求最值問題,這類題比較喜歡放在填空題壓軸題的位置,在高考中出現(xiàn)概率非常高,變式題也非常多。

二、考題鏈接，變式拓展

∴t2≤20t-362≤t≤18，當且僅當x=3，y=12時，（2x+y）max=18。

變式三的這種解法是比較典型的，出現(xiàn)2x+y這個整體,用整體的想法,也可以對原題左右同乘2x+y,利用基本不等式把其變?yōu)槎ㄖ?。實際上,大多數(shù)題目是湊好的，否則在用基本不等式的時候，不等式右邊是無理數(shù)，題目再做下去就比較麻煩，當然個別題除外（比如可湊成完全平方解答）。

另解：這個題也可以構(gòu)造“1”,關(guān)鍵是怎么構(gòu)造。

掌握這兩種方法,解溫州市2015屆高三第一次適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)第6題,已知正數(shù)x,y滿足則求x+y的最大值就非常方便了。

以上是對這一類不等式提供的幾種解題策略，但具體問題還需具體分析。在復(fù)習(xí)解不等式過程中，注意培養(yǎng)、強化與提高函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力。能根據(jù)各類不等式的特點，變形的特殊性，歸納出各類不等式的解法和思路以及具體解法。