解析初中數(shù)學教學中的最短路徑問題

尹加根

【摘要】最短路徑問題是初中數(shù)學中的經(jīng)典問題，進行最短路徑問題分析需要綜合運用初中數(shù)學知識，在初中數(shù)學教學中，應(yīng)該做到教學結(jié)合實際，因為數(shù)學問題來源于生活，同時指導著人們的生活.點點之間、點線之間以及立體圖形中兩點的最短距離都是初中數(shù)學最短距離研究的問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；最短距離；對稱

在初中數(shù)學中大家都知道“兩點之間線段最短”，現(xiàn)實生活中也會遇到最短距離的問題，這就可以用到初中數(shù)學中的最短距離進行分析解決實際問題，例如，一個人游泳到河對岸，朝哪個方向游距離比較短，在路邊建一個公共廁所，剛好馬路對面有兩個學校，廁所建在什么位置可以使兩所學校到廁所的距離之和最小等，都是利用了初中數(shù)學中的最短路徑問題解決實際中的生活問題.下面就初中數(shù)學最短路徑中的點點之間最短路徑問題，點線最短路徑問題和立體圖形表面展開之中最短路徑問題進行探討分析.

一、點與點最短路徑分析

平面上兩個不重合的點，兩者之間的最短路徑分析.作為定理大家都清楚：“兩點之間的線段最短”.所以這也就可以用來解釋另外一個定理“三角形的兩邊之和大于第三邊”是成立的.

二、點與線的最短路徑分析

如圖所示，一個人想在河邊的P點游到河的對岸，要想使游的距離最短，應(yīng)該選擇圖中哪條線路？圖中的四條路線中，最短的是線路PB，因為，點到直線的距離垂線最短.

三、兩點一線最短路徑分析

兩點一線分為兩點在一條直線兩側(cè)和兩點在一條直線同側(cè)兩種不同情況.把兩點在一條直線兩側(cè)的情況視為情況一，把兩點在一條直線同側(cè)的情況視為情況二，進行單獨分析.

情況一：

例如，如圖所示，在圖中有一條直線，圖中兩點A，B分別在直線兩側(cè)，在直線上求取一點P，使線段PA和PB之和最小.

解 如圖所示，連接A，B兩點，使線段AB與直線相交，線段AB與直線的交點P，就是所求的點.這正是利用了兩點之間線段最短的定理.

情況二：

例如，如圖所示，計劃在沿街道的空置商鋪中開設(shè)一個商店，使兩個居民區(qū)A和B的居民方便購物，應(yīng)該選擇哪個地方的商鋪，可以使A，B兩個小區(qū)的居民到商店的距離之和最短.

解 把要求的點假設(shè)為P點，由兩點之間線段最短可知，只有A，P，B三點在一條直線上的時候，才可以使得AP+PB最短.因此，利用對稱性，把街道看作一條直線，在直線的另一邊找到點A的對稱點A′，連接點A′和點B，線段A′B與直線的交點P就是商店應(yīng)該選擇的位置.

四、一點在兩相交直線內(nèi)部

例如，如圖所示，A是銳角∠MON內(nèi)部的一點，在OM和ON上分別取一點，分別記為B和C，使這三點組成的三角形邊長的和最小.

解 要想使組成的三角形三條邊之和最小，則只有三角形的三條邊AC，AB，BC重合在一條直線上才能滿足周長最小.所以，在OM和ON的另一側(cè)作點A的對稱點A′和A″，線段AA′，AA″分別與OM和ON交于B，C兩點，點B，C就是要求的兩點.

五、兩點兩線最短路徑分析

例如，如圖所示，C為喂馬的馬廄，D為休息的臨時小屋，OA為草原的邊界，OB為河流，馬的主人需要從馬廄牽出馬，先讓馬在草原上吃草，然后讓馬到河邊喝水，最后牽馬回到小屋休息，請確定馬的主人應(yīng)該怎樣走，才能使行走路線最短.

解 利用對稱性，

1.在直線OA的另一側(cè)找出點C的對稱點F；

2.在直線OB的另一側(cè)找出點D的對稱點E；

3.連接點E和點F，得到線段EF，線段EF交直線OA和直線OB于G和H兩點；則CG+GH+HD就是行走的最短路線.

六、總 結(jié)

初中數(shù)學教學中的最短路徑問題，主要是利用“兩點之間線段最短”和對稱性進行分析，學生應(yīng)該在掌握數(shù)學知識的同時，靈活運用所學知識解決生活中的實際問題，其實數(shù)學就是一門解決問題的學科，生活中應(yīng)該學會利用轉(zhuǎn)化的思想，把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題進行解決，做到生活和數(shù)學學習有機結(jié)合.

【參考文獻】

[1]張媛.關(guān)于初中數(shù)學最短路徑問題的探究[J].高考，2017（6）：194.

[2]王素娟.淺談初中數(shù)學教學中的最短路徑問題[J].教育實踐與研究（B），2016（6）：55-56.