暴露思維慣性 提升思維廣度 增強(qiáng)解題能力
——以高三三角函數(shù)拆角技巧求值復(fù)習(xí)課為例分析

浙江 陳啟超

筆者通過課堂上復(fù)習(xí)三角函數(shù)求值時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于學(xué)過的拆角技巧求值基本不會，大部分學(xué)生采用解方程的思想解題.為什么教過的方法學(xué)生不會用，而解方程的方法卻有那么多的學(xué)生采用.從中反思：學(xué)生受習(xí)慣思維的束縛，按部就班，缺少獨(dú)立求異的思維，這對學(xué)生的發(fā)展是不利的.筆者通過對學(xué)生學(xué)情和教師教學(xué)的分析，提了幾點(diǎn)突破思維習(xí)慣的建議：一是暴露學(xué)生原有的思維框架，改善學(xué)生的思維習(xí)慣；二是加強(qiáng)變式教學(xué)，拓展學(xué)生思維廣度；三是防止解題教學(xué)的簡單化，提高學(xué)生思維深度，與大家共勉.

1．問題提出

在高三的一節(jié)三角函數(shù)復(fù)習(xí)課上，筆者給出這樣一道題目：

據(jù)課堂上觀察，學(xué)生的做法主要有以下兩種：

一種是(很多學(xué)生采用的方法)解方程的思想方法：就是利用兩角和的正弦公式將sin(α+β)展開，得到sinβ，cosβ的一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合sin2β+cos2β=1去解cosβ.在給定的時(shí)間內(nèi)，很多學(xué)生還沒算出答案，有的甚至中途放棄了.

另一種是利用拆角的技巧：把β看成是(α+β)-α，則cosβ=cos[(α+β)-α]利用兩角差的余弦公式展開計(jì)算.但這種方法用的學(xué)生很少，一個(gè)班就五六位學(xué)生左右.

筆者在另外一個(gè)班也給出這道題進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果大致一樣，學(xué)生大部分選擇了解方程的思想.課后，筆者想：拆角的方法思路巧妙，過程簡潔，課堂上也講過這種方法，但為什么過了一段時(shí)間后能順利求解這一問題的學(xué)生那么少.這說明平常將看似很好的方法直接灌輸給學(xué)生，其教學(xué)效果是很低的，學(xué)生對解題方法的認(rèn)識只停留在賞析的層面上，沒能在大腦中留下深刻的印象，對拆角的方法并沒有深刻的理解.我們可以想象，如果下次再出現(xiàn)類似的題目，還是有很多學(xué)生用解方程的方法.好的方法學(xué)生不會用，為什么會如此？ 這是值得思考的一個(gè)問題.

2．原因分析

2.1 學(xué)生的想法

課后筆者找了幾位學(xué)生談心,經(jīng)過訪談了解到學(xué)生的一些想法.

甲同學(xué)認(rèn)為(基礎(chǔ)較好)：平時(shí)在求解三角函數(shù)值時(shí)經(jīng)常是利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，大部分就是解方程的方法.一看此題，就發(fā)現(xiàn)和原來做的很類似，而且利用sin(α+β)展開，容易找到sinβ，cosβ的關(guān)系，再結(jié)合sin2β+cos2β=1，很自然就想到消元解方程了，就是沒想到計(jì)算會那么復(fù)雜.

學(xué)生乙：(頭腦靈活，平時(shí)有點(diǎn)懶)：讀完題目，很快就找到了題目的突破口，聯(lián)立方程求解，計(jì)算沒什么意思，就不算了，主要是方法知道了就可以了.像乙這類學(xué)生平時(shí)缺少思考，學(xué)習(xí)習(xí)慣不怎么好，只會耍點(diǎn)小聰明.

學(xué)生丙：曾經(jīng)碰到過類似題目，嘗試過解方程，解起來很困難，后來聽老師講解拆角的方法，印象很深.對三角函數(shù)的求值問題，不同的類型要選擇不同的方法.對于此題試過解方程，但發(fā)現(xiàn)計(jì)算量大，就嘗試用拆角來解，沒想到就很方便的解出來了.

2.2 教師的看法

聽了學(xué)生的想法，筆者也對任課的部分老師做了探討性的調(diào)查.經(jīng)討論，對學(xué)生的這種解法主要?dú)w結(jié)為兩個(gè)方面：一是這類題目本身具有一定的難度，拆角是一種技巧，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力要求比較高.在學(xué)生的思想中，α+β始終是看成兩個(gè)角的和，α，β才認(rèn)為是一個(gè)單獨(dú)的角，也就是對整體思想的理解還不夠，所以學(xué)生很難想到把β看成是(α+β)-α.二是學(xué)生受到慣性思維的影響，一看到這道題目就自然而然想到解方程，這個(gè)想法是很自然的.但對于一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程構(gòu)成的方程組，通過消元之后，雖然只有一個(gè)變量，但往往難于因式分解，要用求根公式來解，結(jié)果很多學(xué)生就被計(jì)算給卡住了.

2.3 心理學(xué)視角

這次解方程解不出來，下次碰到了大部分學(xué)生還是解方程.而且現(xiàn)在這一屆學(xué)生如此，換了一屆學(xué)生仍會出現(xiàn)同樣的問題，這可能也有心理學(xué)上的原因吧！

在心理學(xué)上，學(xué)生的這種現(xiàn)象叫做思維慣性.什么是思維慣性呢？從心理學(xué)上講：我們把這種按照積累的思維活動、經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和已有的思維規(guī)律，在反復(fù)使用中所形成的比較穩(wěn)定的、定型化了的思維路線、方式，叫做思維慣性.簡單地說：就是以前怎么做，我現(xiàn)在就模仿著做.

思維慣性一方面有利于學(xué)生按照一定的程序思考數(shù)學(xué)問題，比較順利地求得一般同類數(shù)學(xué)問題的答案.另一方面這種習(xí)慣思維又會帶來負(fù)面效應(yīng).學(xué)生由于受思維習(xí)慣的影響，不注重變換思維的方式，缺乏探索解決問題的途徑和方法，缺少了思考的空間，這對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是不利的，從而也影響到學(xué)生解題能力.

那么，作為一線教師，我們該怎么做呢？筆者通過自己的教學(xué)實(shí)踐，提出了幾點(diǎn)改善的措施.

3 .改善措施

3.1 暴露學(xué)生原有的思維框架，改善學(xué)生的思維習(xí)慣

就如本文開頭講的這道三角函數(shù)的求值問題.雖然教師在課堂上講過拆角的方法，但是過了一段時(shí)間讓學(xué)生做，還是有一大部分學(xué)生利用解方程的方法.既然這樣，教師就讓學(xué)生順著他們的思路往下解，而不是馬上否認(rèn)此方法不行.讓學(xué)生出錯(cuò)，摔跟頭，讓他們從錯(cuò)誤中尋找原因，要讓他們經(jīng)歷困難和挫折，才能感受深刻.

本題學(xué)生錯(cuò)的主要有以下一些步驟：

②聯(lián)立得到的一元二次方程還要用求根公式求根，學(xué)生求根公式經(jīng)常算錯(cuò).(能解出一元二次方程的根的學(xué)生寥寥無幾)

③即使解出來了根還得檢驗(yàn)，可能會有增根.(做到這步的學(xué)生幾乎沒有)

既然解方程過程這么麻煩，那有沒有其他的方法呢？這時(shí)再講解拆角的方法，學(xué)生就有一種豁然開朗的感覺.通過兩種方法的對比，讓學(xué)生切身體驗(yàn)到第二種方法的簡便和優(yōu)點(diǎn).成功的體驗(yàn)不僅限于結(jié)果，還有思考的過程，有時(shí)過程比結(jié)果更精彩.回想教師自己，可能第一次解這類題時(shí)也是用解方程的方法，通過不斷地積累、思考以及認(rèn)知的提高，自身的思維能力和解題能力也在逐步提升.學(xué)生正處于積累經(jīng)驗(yàn)的初期，在解題中培養(yǎng)學(xué)生悟性尤為重要.我們可以以典型題為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷失敗與成功，培養(yǎng)學(xué)生多嘗試的思考模式和探究習(xí)慣，這是一條突破學(xué)生慣性思維的有效途徑.

3.2 加強(qiáng)變式教學(xué)，拓展學(xué)生思維廣度.

如:函數(shù)f(x)=x2+bln(x-1),其中b∈R，若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求b的取值范圍.雖然是高三的學(xué)生了，但還是有很多學(xué)生是這樣解的：

從學(xué)生的解答過程中，可以看出，學(xué)生的思維還停留在初中的水平上，對于二次函數(shù)的恒成立問題，學(xué)生習(xí)慣性的認(rèn)為定義域是R，第一反應(yīng)就是Δ≤0，他們的這種習(xí)慣思維導(dǎo)致此題失誤.那么在課堂上，筆者不如這樣來設(shè)計(jì)：已知函數(shù)f(x)=2x2-2x+b，

①對?x∈R,恒有f(x)≥0,求b的取值范圍.這個(gè)學(xué)生很擅長，基本沒問題.

②對?x∈[1，+∞),恒有f(x)≥0,求b的取值范圍.這是二次函數(shù)定區(qū)間，定對稱軸問題，但注意此時(shí)對稱軸并不在定義域內(nèi)，則要結(jié)合定義域求最小值.

③若f(x)=2x2+bx+2,當(dāng)x∈[-1,1]，f(x)≥0,求b的取值范圍.二次函數(shù)定區(qū)間，不定對稱軸，此時(shí)要討論對稱軸的位置.

上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，每做完一題，適時(shí)指出解決這類問題的要點(diǎn)以及前后兩題之間的聯(lián)系，讓學(xué)生關(guān)注定義域在解決函數(shù)問題中的作用.因?yàn)楹芏鄬W(xué)生對于二次函數(shù)問題，習(xí)慣的認(rèn)為其定義域是R，所以要改變他們的這種習(xí)慣的思維.通過變式，加深了學(xué)生對函數(shù)概念的理解.定義域變了，即使對應(yīng)法則不變，函數(shù)也是跟著變的.所以在解函數(shù)問題時(shí)首先要關(guān)注函數(shù)的定義域.通過這樣的練習(xí)，他們對函數(shù)的概念有了進(jìn)一步的理解，學(xué)生的思維空間得以提升，想問題，做事情也就會考慮周全，這是一種好的思維習(xí)慣.好的思維習(xí)慣的養(yǎng)成，對消除學(xué)生的思維慣性和培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯能力有很大的幫助.

3.3 防止解題教學(xué)的簡單化

高三復(fù)習(xí)常常是以解題教學(xué)為主，因?yàn)閺?fù)習(xí)的內(nèi)容多，時(shí)間緊，很多老師往往分析了題目的思路，然后進(jìn)行歸納，形成套路，沒有分析題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，就題論題的教學(xué)對學(xué)生的思維能力的提高是不利的.

①方法上的拓展，平面幾何和解析幾何不是單獨(dú)的兩個(gè)內(nèi)容，他們之間有著密不可分的聯(lián)系.本題還可以利用橢圓第二定義及三角形相似這樣來解：

把①式代入②③中即可得ME=MF，學(xué)生驚嘆，好簡單呀！教師也可順著思路講到在歷年的高考題中也經(jīng)常會出現(xiàn)用平面幾何知識來解圓錐曲線的題目.如：

( )

利用第二定義解比較方便.

②結(jié)論的延伸，本題的曲線是橢圓，那么換成雙曲線或是拋物線是不是還有類似的結(jié)論呢？感興趣的學(xué)生興致就被提上來了.課后學(xué)生通過獨(dú)立思考和探索，有學(xué)生說其實(shí)就是一個(gè)定值問題，等價(jià)于直線AC經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).那么，還可以進(jìn)一步思考，若F點(diǎn)改成其他的橢圓內(nèi)的與x軸的交點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線外的其他直線，直線AC是否還經(jīng)過定點(diǎn)呢？通過這樣的變式教學(xué)，學(xué)生的思維也漸漸展開了，對題目的研究也就深了，思維的空間得到了拓展，增強(qiáng)了學(xué)生解題的悟性.若是碰到新題、活題，學(xué)生思考問題的空間也就不再是那么的固定和狹隘，對學(xué)生解題能力的提高是很有利的.

4.結(jié)束語