高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)研究之?dāng)?shù)學(xué)運算

湖北 柯張軍 王衛(wèi)華

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.新課標(biāo)提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.筆者經(jīng)過對新課標(biāo)的研究和學(xué)習(xí)，結(jié)合考試大綱和個人教學(xué)實際就核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運算提出自己的研究心得.

一、數(shù)學(xué)運算概念解讀

新課標(biāo)對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的定義是從四個方面表述的，分別是：

數(shù)學(xué)運算概念：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.

學(xué)科價值：數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.數(shù)學(xué)運算是演繹推理，是計算機解決問題的基礎(chǔ).

具體表現(xiàn)：數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果.

教育價值：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.

二、數(shù)學(xué)運算與其他核心素養(yǎng)的聯(lián)系

學(xué)科核心素養(yǎng)被稱為繼課程改革之后基礎(chǔ)教育最重要的研究成果，其在綜合了國外已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對國內(nèi)的總體教學(xué)以及學(xué)科教學(xué)提出了新的理念與認(rèn)識.就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，其既沿襲了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的精髓，又融入了新的理解.從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個方面來理解數(shù)學(xué)運算，可以形成這樣的認(rèn)識：數(shù)學(xué)運算反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)運算是利用運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，在這個過程中，學(xué)生需要經(jīng)歷分析運算對象，猜想運算方向，選擇運算規(guī)則，計算并判斷問題結(jié)果等環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)中，其他的核心素養(yǎng)常常也需要發(fā)揮作用，如在分析運算對象的時候，就常常用到數(shù)學(xué)建模，在選擇運算規(guī)則的時候也必然會用到邏輯推理，運算的過程本身就是一個數(shù)據(jù)分析的過程，在猜測運算方向與判斷運算結(jié)果的時候，直觀想象也會發(fā)揮重要的作用.因此，數(shù)學(xué)運算與其他核心素養(yǎng)密切相關(guān)，相互聯(lián)系并相互促進.

三、數(shù)學(xué)運算的學(xué)業(yè)質(zhì)量要求及水平劃分

高中數(shù)學(xué)的“四基”是基礎(chǔ)知識和基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，“四能”是指發(fā)現(xiàn)問題的能力，提出問題的能力，分析問題的能力和解決問題的能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.

新課標(biāo)提出體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面如下：

情境與問題：情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境.問題是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問題；

知識與技能：主要是指能夠幫助學(xué)生形成相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識與技能；

思維與表達：主要是指數(shù)學(xué)活動過程中反映的思維品質(zhì)、表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性；

交流與反思：主要是指能夠用數(shù)學(xué)語言直觀地解釋和交流數(shù)學(xué)的概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想方法，并能進行評價、總結(jié)與拓展.

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn).每一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為三個水平，每一個水平是通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的幾個方面進行表述的.其中數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平劃分如下：

水平一：能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運算對象，提出運算問題.

能夠了解運算法則及其適用范圍，正確進行運算；能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，根據(jù)問題的特征建立合適的運算思路，解決問題.

在運算過程中，能夠體會運算法則的意義和作用，能夠運用運算驗證簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論.

在交流的過程中，能夠用運算的結(jié)果說明問題.

水平二：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題.

能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設(shè)計運算程序，解決問題.

能夠理解運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用.

在交流的過程中，能夠借助運算探討問題.

水平三：在綜合情境中，能把問題轉(zhuǎn)化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向.

能夠?qū)\算問題，構(gòu)造運算程序，解決問題.

能夠用程序化的思想理解與表達問題，理解程序化與計算機解決問題的聯(lián)系.

在交流的過程中，能夠用程序化思想理解和解釋問題.

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達到的要求，也是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù)；數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二是高考的要求，也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)；數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成提出的要求，可以作為大學(xué)自主招生的參考.

四、案例分析

新課標(biāo)要求教師在教學(xué)活動中落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，達到相應(yīng)水平的要求，部分學(xué)生可以達到更高水平的要求，筆者選取部分案例探討如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

【例1】已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn．

(Ⅰ)求an及Sn；

【案例評析】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.第一問求an及Sn，這直接利用等差數(shù)列通項公式和求和公式，如果學(xué)生能根據(jù)公式列方程求解，根據(jù)滿意原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平一的要求.第二問求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，先化簡變形再裂項法求數(shù)列的和，說明學(xué)生熟悉運算對象并且能夠明晰運算途徑、得到運算結(jié)果，根據(jù)加分原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平二的要求.

【例2】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD,AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點.

(Ⅰ)證明：PE⊥BC;

(Ⅱ)若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.

【解析】以H為原點，HA,HB,HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，設(shè)線段HA的長為1， 建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則A(1，0，0)，B(0，1，0).

設(shè)n=(x,y,z)為平面PEH的法向量，

【案例評析】本題考查向量法解決立體幾何問題，主要體現(xiàn)直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).通過向量計算和證明體會運算法則的作用，感知運算是一種嚴(yán)格的邏輯推理，通過一般性運算可以發(fā)現(xiàn)和提出命題、掌握推理的基本形式和規(guī)則、探索和表述論證的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).本題向量法比幾何法簡單，第一問能用向量法證明，根據(jù)滿意和加分原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平一和水平二的要求.第二問能把線面角轉(zhuǎn)換成向量夾角問題，通過向量運算求解，說明學(xué)生具有綜合轉(zhuǎn)化能力，依據(jù)加分原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平三的要求.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

【解析】(Ⅰ)由題知，f(x)的定義域為(0,+∞)，

(ⅱ)若a-1<1，又a>1，故1

當(dāng)x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(a-1,1)上單調(diào)遞減，在(0,a-1)，(1,+∞)上單調(diào)遞增.

(ⅲ)若a-1>1，即a>2， 同理可得f(x)在(1，a-1)上單調(diào)遞減，在(0,1)，(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.

由于10，即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)0

【案例評析】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.第一問學(xué)生能求導(dǎo)數(shù)f'(x)說明學(xué)生能運用求導(dǎo)運算，根據(jù)滿意原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平一的要求.分類討論導(dǎo)數(shù)符號確定單調(diào)性，說明學(xué)生數(shù)學(xué)運算能達到一定的深度和廣度，根據(jù)加分原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平二的要求.第二問能分析得出用構(gòu)造函數(shù)的方法去解決，說明學(xué)生能在綜合情境中，把問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向，根據(jù)加分原則，可以認(rèn)為達到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平三的要求.

五、反思與建議

以上的三個案例分別從數(shù)列、向量、導(dǎo)數(shù)三方面知識分析了學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平并作出合理評價.教學(xué)評價是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分.評價應(yīng)以課程目標(biāo)、課程內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為基本依據(jù)，日常教學(xué)活動評價，要以教學(xué)目標(biāo)的達成為依據(jù).評價要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識技能的掌握，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和習(xí)慣，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達成.教師要基于對學(xué)生的評價，反思教學(xué)過程，總結(jié)經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)問題，提出改進思路.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的評價目標(biāo)，既包括對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價，也包括對教師教學(xué)的評價.