淺談化歸與轉化思想專題復習
——以數(shù)列問題為例

廈門市五顯中學 范建珍

轉化和化歸思想是解答數(shù)學問題中常用的思想方法,它不僅僅是一種常用的數(shù)學思想和數(shù)學方法，還體現(xiàn)了一種數(shù)學的能力。在數(shù)學學習的過程中處處都體現(xiàn)著轉化和化歸思想。轉化，簡單的理解就是把一個問題變成了另一個問題。轉化是數(shù)學中最常用的思想，轉化的本質在于使問題簡單化，明朗化。常見的轉化有一般與特殊的轉化、等價轉化、復雜與簡單的轉化、數(shù)與形的轉化、構造轉化、聯(lián)想轉化、類比轉化等。

數(shù)列問題一直是高中數(shù)學中的核心內容，研究數(shù)列的基本手段是運算，變式多樣，且常與其他知識點結合起來考察，所以對于基礎薄弱的高中學生來說難度較大，出錯概率較大，在數(shù)列應用上失分現(xiàn)象較為普遍。本節(jié)課是以數(shù)列問題為例的化歸與轉化思想專題復習，是數(shù)列復習不可缺少的內容。數(shù)列遞推公式又是近幾年高考考查的熱點內容之一，因此由數(shù)列遞推公式求通項公式也顯得更加重要。由于數(shù)列這部分知識所涉及的概念、公式、性質較多，計算較復雜，導致學生在這部分知識的學習中經(jīng)常出錯。主要問題是邏輯混亂、思維受限制、缺少反思，解題方法沒有掌握本質，基于學生的這個學習特征，本節(jié)課以化歸轉化思想為專題進行復習，既可以對學生的數(shù)列知識進行一定的梳理建構，又能滲透相關的數(shù)學思想與方法，培養(yǎng)“數(shù)學抽象和運算”等數(shù)學核心素養(yǎng)，追求解決問題的根本大法。本節(jié)課從學生的元認知水平出發(fā)，采取“問題探究—總結—再探究”的循環(huán)類比教學模式，通過三個題組從學生熟悉的地推公式出發(fā)，由易到難，問題層層深入。圍繞本節(jié)課教學的重點和難點，組織學生討論、發(fā)言，實現(xiàn)師師互動、生生互動，使數(shù)學教學成為“有思想的教學”。教學過程設計如下：

一、問題引入

問題1：已知數(shù)列{an}中，a1=1且點Q（nan+an+1）（n∈N*）在直線x-y+2=0上，則數(shù)列{an}的通項公式。

問題2：若把條件“在x-y+2=0上”改為條件“在3x-y=0上”，其他條件不變，則數(shù)列{an}的通項公式。

問題3：若把條件“在x-y+2=0上”改為條件“在4x-y+1=0上”，其他條件不變，則數(shù)列的通項公式。

設計意圖：以題引知，溫故而知新，讓學生把數(shù)列問題轉化為簡單的等差、等比數(shù)列問題進行處理，讓學生養(yǎng)成不斷回到概念去，是解決數(shù)列問題的常見的轉化思路。由特殊到一般，由簡單到復雜。形如遞推公式an+1=qan+p，若q，p其中一個為零，數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列或等比數(shù)列；若q，p均不為零，可通過加k法轉化為簡單的等比數(shù)列問題進行處理。這符合學生的認知規(guī)律，激發(fā)學生探索的熱情。讓學生全面看待問題，學會合理轉化。

二、問題探究

例1.以下遞推公式怎么轉化？

學生自編題目如下：

構建研究的整體框架，再展開具體研究。學生動腦、獨立思考嘗試解答，并參與編題，加深學生對此類題型的印象。合理轉化，滲透定義法、加K法、倒數(shù)法、疊加法、累乘法等。

例2.設Sn是數(shù)列{an}的前項和，且an+1=2Sn，a1=-1，求 Sn

追問1.若把條件an+1=2Sn改為條件an+1=SnSn+1，其他條件不變，怎么轉化？

拋出問題讓學生探究，加強比較，讓學生感悟與同時出現(xiàn)的時候的轉化對象、目標、及轉化的方法，在an與Sn同時出現(xiàn)的關系式中，一般通過進行轉化，使關系式僅含an或Sn，再根據(jù)情況進行處理。

例 3.數(shù)列{an}滿足若數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，求的通項公式。

追問1.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，若公差d=-2，S3=21，求nSn取得最大值？

嘗試讓學生體驗把數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題，引導學生執(zhí)行數(shù)學運算三步曲：理解、選擇、運算，注重方法的選擇，規(guī)范答題的板書，結合課件展示。最值問題是我們這種普通高中學生最為薄弱的題型，學生往往不知道如何下手，從何入題。結合學生實際，我們在平時的教學中，應該逐步滲透并總結出求數(shù)列最值問題的方法：（1）轉化為函數(shù)的單調性；（2）運用遞推公式。

課后反思：1.合理精準探究可促進課堂效率的提升。首先，探究活動起點太低，學生會覺得沒有探究的必要，不能激發(fā)學生探究的興趣。起點太高，學生無法在已有的知識方法與所要探究的對象之間建立有效的聯(lián)系，從而失去探究的信心。因此，在本節(jié)課探究設計中，筆者從學生熟知的等差等比數(shù)列出發(fā)，通過類比到an+1=qan+p這類模型，大多數(shù)學生能夠參與到探究活動中，探究活動的設計符合學生認知的“最近發(fā)展區(qū)”。其次，教師應成為探究活動的指導者，教師應該為學生提供較為豐富的數(shù)學探究課題的案例和背景，教師應引導和幫助而不是代替學生發(fā)現(xiàn)和提出問題。在本節(jié)課中，教師通過對例1前兩道題的講解，引導學生通過類比轉化與化歸的思想，自己出題，自己解題。學生的認知水平達到一個新的高度。在整個探究過程中教師起到為學生攀登思維高峰搭建腳手架的角色。

2.激發(fā)學生學習動機，培養(yǎng)學生的化歸與轉化思想。

課堂上教師采用問題串的形式，能夠激發(fā)學生的求知欲。巧妙地設計問題，問題的設計要符合學情，問題太難容易使學生喪失信心，問題過于簡單，學生沒有動力。教師在備課時應當充分考慮學生的真實水平，合理巧妙的設計問題串。新授課時教師應啟發(fā)學生從自己已有的知識中去尋找與新知識的相似之處，將新問題中的陌生形式或內容轉化為比較熟悉的形式和內容。以此找到突破口，再通過老師的啟發(fā)和同學的討論，自己的思考來解決問題。在老師的不斷鼓勵下，學生遇到問題總是喜歡做一做，想一想，議一議，然后在自己獨立思考的過程之后大膽提出看法，隨著轉化與化歸思想方法的不斷滲透，看清問題的實質，最終解決問題。