雙彈簧問(wèn)題歸類(lèi)剖析

江西 陳 明

彈簧在生活中很常見(jiàn)，而彈簧模型是高中物理中一個(gè)重要模型，可與物理中的諸多知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合來(lái)考查同學(xué)們的分析能力和推理能力。本文將對(duì)一個(gè)題中出現(xiàn)兩個(gè)彈簧的問(wèn)題進(jìn)行分析探究，本文中的彈簧模型都是輕質(zhì)彈簧模型。

一、彈簧彈力

彈簧可以被拉伸也可以被壓縮，因此彈簧的彈力具有雙向性，彈簧彈力大小與彈簧的形變量遵循胡克定律，即F=kx，但只能判斷出彈簧彈力的大小，不能判斷出彈力的方向。

【例1】如圖1所示，一重為12 N的物塊上、下兩端分別與兩根完全相同的豎直輕彈簧a、b相連，彈簧a的上端固定在天花板上，彈簧b的下端固定在桌面上。當(dāng)物塊靜止時(shí)，兩彈簧的彈力大小相等，此時(shí)兩彈簧的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)a=18 cm、Lb=12 cm。求：

(1)每根彈簧的自然長(zhǎng)度L0及每根彈簧的勁度系數(shù)k；

(2)若撤去彈簧b，則物塊靜止時(shí)物塊下端離桌面的距離h。

【解析】(1)根據(jù)兩彈簧彈力相等

k(La-L0)=k(L0-Lb)

得L0=15 cm

物體受力平衡

k(La-L0)+k(L0-Lb)=G

(2)若撤去彈簧b，設(shè)彈簧a的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，有

k(L-L0)=G

得L=21 cm

物塊離桌面距離為h=Lb-(L-La)=9 cm。

二、彈簧長(zhǎng)度的變化問(wèn)題

彈簧受力的變化與彈簧長(zhǎng)度的變化也遵循胡克定律，即ΔF=kΔx，此時(shí)ΔF表示彈簧彈力的變化量，并不是彈簧彈力大??；此時(shí)Δx表示的是彈簧長(zhǎng)度的改變量，并不是形變量。

【例2】如圖2所示，勁度系數(shù)為k1的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m1、m2的物塊1、2拴接，勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上(不拴接)，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個(gè)彈簧的下端剛脫離桌面。在此過(guò)程中，物塊2的重力勢(shì)能增加了多少？物塊1的重力勢(shì)能增加了多少？

【解析】由題意可知，彈簧k2長(zhǎng)度的增加量就是物塊2的高度增加量，彈簧k2長(zhǎng)度的增加量與彈簧k1長(zhǎng)度的增加量之和就是物塊1的高度增加量。

三、彈簧多解問(wèn)題

彈簧可以伸長(zhǎng)也可以被壓縮，因此彈簧的彈力具有雙向性，即彈力既可能是推力又可能是拉力，這類(lèi)問(wèn)題往往有多解。

【解析】乙彈簧的末狀態(tài)應(yīng)分壓縮和拉伸兩種情況：

1.乙彈簧被壓縮

2.乙彈簧被拉伸

【點(diǎn)評(píng)】以上這類(lèi)題是高中階段常見(jiàn)題型，在求解過(guò)程中，一般由平衡條件、牛頓運(yùn)動(dòng)定律與彈力相聯(lián)系，再結(jié)合F=kx求解。

表達(dá)式F=kx中，若x可指彈簧形變量，則相應(yīng)的F指彈簧彈力；x也可指彈簧形變量的變化量，則相應(yīng)的F指彈簧彈力的改變量；還有x可正可負(fù)，相對(duì)的F的大小相等但方向不同，即彈簧可被拉伸也可被壓縮。所以在分析求解過(guò)程中，一定要明確x(或F)的含義、方向等。

四、彈簧串、并聯(lián)組合

彈簧串、并聯(lián)與電路電阻的串、并聯(lián)類(lèi)似，彈簧串、并聯(lián)后新組合彈簧勁度系數(shù)會(huì)發(fā)生變化。

彈簧串、并聯(lián)的特點(diǎn)：彈簧串聯(lián)時(shí)，每根彈簧的彈力相等，與彈簧原長(zhǎng)無(wú)關(guān)；原長(zhǎng)相同的彈簧并聯(lián)時(shí)，每根彈簧的形變量相等。

【例4】如圖4所示，在水平面上運(yùn)動(dòng)的小車(chē)內(nèi)，有一質(zhì)量為m的物塊與兩根勁度系數(shù)分別為k1、k2的輕彈簧連接，小車(chē)向右以大小為a的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知兩根彈簧的形變量總和為Δx，不計(jì)物塊與小車(chē)間的摩擦。則圖中物塊的加速度a為多少？

【解析】物塊與小車(chē)的相對(duì)位移為兩彈簧形變量之和，設(shè)相對(duì)位移為Δx，彈簧k1的形變量為Δx1，彈簧k2的形變量為Δx2，則有Δx1+Δx2=Δx

對(duì)k2：k1Δx1=k2Δx2

對(duì)物塊：k1Δx1=ma

【例5】如圖5所示，兩個(gè)勁度系數(shù)分別為k1、k2的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細(xì)繩連接，并有一光滑的輕滑輪放在細(xì)線上；滑輪下端掛一重為G的物體后滑輪下降，求滑輪靜止后重物下降的距離。

【例6】如圖6甲所示，一根大輕彈簧內(nèi)套有一根小輕彈簧，大彈簧比小彈簧長(zhǎng)0.1 m，它們的下端固定于地面上，上端自由，當(dāng)用力壓縮此組合彈簧時(shí)，測(cè)得壓力與壓縮距離之間的關(guān)系如圖6乙所示，兩根彈簧的勁度系數(shù)k1、k2分別是多少？

【解析】大彈簧勁度系數(shù)為k1，小彈簧勁度系數(shù)為k2，依據(jù)ΔF=kΔx得

在0～0.1 m內(nèi)：20 N=k1×0.1 m

在0.1～0.2 m內(nèi)：小彈簧的壓縮量比大彈簧小0.1 m

80 N=k1×0.2 m+k2×0.1 m

解得k1=200 N/m，k2=400 N/m。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于彈簧串、并聯(lián)問(wèn)題，首先要分析清楚彈簧連接方式，即找出各彈簧之間的彈力、形變量等關(guān)系，找出物體位移與彈簧形變量之間關(guān)系，再結(jié)合F=kx以及其他知識(shí)求解。

五、彈簧彈力突變

彈簧彈力與彈簧的形變量有關(guān)，由于彈簧兩端一般與物體連接，因彈簧形變過(guò)程需要一段時(shí)間，其長(zhǎng)度變化不能在瞬間完成，因此彈簧的彈力不能在瞬間發(fā)生突變。即可以認(rèn)為彈力大小和方向不變，與彈簧相比較，輕繩和輕桿的彈力可以突變。

【例7】如圖7所示，豎直光滑桿上套有一個(gè)小球和兩根輕彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，另一端分別用銷(xiāo)釘M、N固定于桿上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。設(shè)拔去銷(xiāo)釘M瞬間，小球加速度的大小為12 m/s2。若不拔去銷(xiāo)釘M而拔去銷(xiāo)釘N瞬間，小球的加速度可能是(取g=10 m/s2)

( )

A.22 m/s2，豎直向上 B.22 m/s2，豎直向下

C.2 m/s2，豎直向上 D.2 m/s2，豎直向下

【解析】設(shè)小球的質(zhì)量為m，向上為正方向，剛開(kāi)始受力平衡，則有FN+FM-G=0，拔去銷(xiāo)釘M瞬間有FN-G=±12m，所以FN=-2m或22m，F(xiàn)M=12m或-12m，拔去銷(xiāo)釘N瞬間，小球受M彈簧和重力G的作用，F(xiàn)M-G=ma，解得加速度a=2 m/s2或-22 m/s2，故選BC。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)彈簧形變量較大時(shí)，彈簧彈力只能發(fā)生漸變。所以，對(duì)于彈簧突變問(wèn)題，一般認(rèn)為彈簧彈力瞬間不變。但如果將彈簧兩端的連接物體或力撤銷(xiāo)瞬間，彈簧彈力將變?yōu)?。

在求解這類(lèi)彈簧突變問(wèn)題，要分析清楚突變前、后物體受力情況的變化，包括力的大小，方向的變化，而彈簧彈力大小和方向不變，結(jié)合F=kx以及其他知識(shí)求解。

六、彈簧彈力與牛頓運(yùn)動(dòng)定律相結(jié)合

彈簧模型是高中物理中一個(gè)重要模型，可與物理中的諸多知識(shí)點(diǎn)結(jié)合來(lái)，這里將彈簧彈力與牛頓運(yùn)動(dòng)定律相結(jié)合，來(lái)考查分析能力和推理能力。

【例8】用如圖8所示的裝置可以測(cè)量汽車(chē)在水平路面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。該裝置是在矩形箱子的前、后壁上各安裝一個(gè)由力敏電阻組成的壓力傳感器。用兩根相同的輕彈簧夾著一個(gè)質(zhì)量為2.0 kg的滑塊，滑塊可無(wú)摩擦的滑動(dòng)，兩彈簧的另一端分別壓在傳感器a、b上，其壓力大小可直接從傳感器的液晶顯示屏上讀出。現(xiàn)將裝置沿運(yùn)動(dòng)方向固定在汽車(chē)上，傳感器b在前，傳感器a在后，汽車(chē)靜止時(shí)，傳感器a、b的示數(shù)均為10 N(取g=10 m/s2)，

(1)若傳感器a的示數(shù)為14 N、b的示數(shù)為6.0 N，求此時(shí)汽車(chē)的加速度大小和方向。

(2)當(dāng)汽車(chē)以怎樣的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器a的示數(shù)為零。

【解析】傳感器上所顯示出的力的大小，即彈簧對(duì)傳感器的壓力，據(jù)牛頓第三定律知，此即為彈簧上的彈力大小，亦即該彈簧對(duì)滑塊的彈力大小。

(1)如圖9所示，選滑塊為研究對(duì)象，依題意：左側(cè)彈簧對(duì)滑塊向右的彈力F1=14 N，右側(cè)彈簧對(duì)滑塊的向左的彈力F2=6.0 N，滑塊所受合力產(chǎn)生加速度a1，根據(jù)牛頓第二定律有F1-F2=ma1，得a1=4 m/s2，a1與F1同方向，即向右。

七、彈性勢(shì)能

高中階段對(duì)彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式不要求，但很多問(wèn)題又涉及彈性勢(shì)能，在求解過(guò)程中利用功能轉(zhuǎn)換來(lái)求解相關(guān)問(wèn)題。

【例9】如圖11所示，兩根相同的輕質(zhì)彈簧，中間與質(zhì)量為m的圓環(huán)相連于O位置，另一端各自固定在同一水平線上的P、Q兩點(diǎn)，彈簧恰好處于原長(zhǎng)L，圓環(huán)套在粗糙的豎直細(xì)桿上，細(xì)桿上的A、B兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，OA=H?，F(xiàn)將圓環(huán)沿桿拉至A位置由靜止釋放，當(dāng)下滑到速度最大時(shí)，彈簧與細(xì)桿間的夾角為θ，整個(gè)過(guò)程中，彈簧處于彈性限度范圍內(nèi)。重力加速度為g。求：

(1)圓環(huán)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的加速度；

(2)圓環(huán)過(guò)B點(diǎn)的瞬時(shí)速度；

(3)每根輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)。

【解析】(1)物體下落到O點(diǎn)時(shí)只受重力作用，由牛頓第二定律得

mg=ma

解得a=g。

(2)圓環(huán)從A到B過(guò)程中，彈簧彈力做功為零，圓環(huán)水平方向合力為0，故不受摩擦力作用，只有重力做功，由動(dòng)能定理得

(3)下落過(guò)程中，當(dāng)環(huán)所受合力為零時(shí)速度最大，此時(shí)有

2Fcosθ=mg

由胡克定律得F=kΔx

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于這類(lèi)綜合題，考查知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)綜合性強(qiáng)，在分析過(guò)程中要全面分析，分析出物體的位移與彈簧形變量之間關(guān)系，將其他知識(shí)，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、物體平衡、功能轉(zhuǎn)換等，有效地與F=kx相結(jié)合求解。