雙曲空間中子流形的剛性

劉建成，曹亞春

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

0 引言及主要結(jié)果

很自然地考慮到雙曲空間中的子流形是否也有一些類似的結(jié)果,圍繞這一問題,Seo[7]證明了:若雙曲空間中極小子流形Mn滿足第二基本形式A的Ln模小于一個適當(dāng)?shù)某?shù)，那么子流形上不存在非平凡的L2調(diào)和1-形式,它蘊含的是Mn僅有一個端.周俊東[8]研究了雙曲空間中n維完備極小子流形Mn,證明了若Mn的第二基本形式A的模長平方的上確界小于一個僅依賴于n的正常數(shù),那么子流形Mn僅有一個端.

文中將關(guān)于A或φ的點態(tài)條件減弱為整體積分條件,證明了雙曲空間中具有常平均曲率H的完備非緊子流形依然具有類似的剛性結(jié)果,并且子流形Mn上僅有一個非拋物型的端.

定理1設(shè)Mn(n≥5)是雙曲空間Hn+m(-1)中具有常平均曲率H的完備非緊子流形,假設(shè)H≤α,0≤α

則H1(L2(M))={0},并且Mn僅有一個端.

2 預(yù)備知識及引理

設(shè)Mn(n≥5)是雙曲空間Hn+m(-1)中的n維完備非緊子流形.在Hn+m(-1)中選取局部單位正交標(biāo)架場{eA},1≤A≤n+m,使得限制在Mn上時,{ei}與Mn相切,{eα}與Mn正交,其中求和指標(biāo)取值范圍如下:

1≤i,j,…≤n,n+1≤α,β,…≤n+p.

φαX,Y=X,YH,eα-AαX,Y

容易驗證，每一個線性映射φα都是無跡的,并且

φ2=0當(dāng)且僅當(dāng)Mn是全臍的.

記H1(L2(M))為M上所有L2調(diào)和1-形式構(gòu)成的空間,即

此外,定義Mn的第一特征值λ1(M)為[9]

為了完成定理的證明,我們需要以下引理.

引理1[10]設(shè)Mn是雙曲空間Hn+m(-1)中具有常平均曲率H的完備非緊子流形,若H≤α,0≤α

引理2[11]設(shè)Nn+m是截曲率非正的完備連通流形,Mn是Nn+m中的完備非緊子流形,那么對于任意的1≤p≤n,下面不等式成立：

引理3[8]設(shè)ω是n維黎曼流形M上的一個調(diào)和1-形式,則

ω2.(1)

根據(jù)Bochner公式有

Δω2=(ω2+Ric(ω,ω)).(2)

另一方面

Δω2=2(ωΔω+ω2).(3)

結(jié)合(1)～(3)式得

將(5)式代入(4)式整理得

3 定理1的證明

(6)式結(jié)合Cauchy-Schwarz不等式得

應(yīng)用散度定理可得

根據(jù)M上第一特征值λ1的定義,結(jié)合引理1得

引理2結(jié)合Holder不等式得

其中

對于任意的ε>0,應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式，有

將(12)式代入(11)式整理得

固定一個點x0∈M,對于任意的r>0,截段函數(shù)f滿足以下性質(zhì):

應(yīng)用截段函數(shù)的性質(zhì)(13)整理得

ω=0,Hω=0.

H1(L2(M))={0}.

根據(jù)文獻[13]中的引理2.2可得Mn僅有一個非拋物型的端.