帶時滯項的高階Kirchhoff方程的拉回吸引子

徐瑰瑰，王利波，林國廣

(1.凱里學院 理學院，貴州 凱里 556011；2.云南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昆明 650091)

考慮如下帶有時滯項的高階Kirchhoff型方程整體吸引子的存在性：

(1)

方程(1)中m>1,Ω?Rn(n≥1)是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，h>0是時滯時間，φ是當h>0時區(qū)間[τ-h,τ]上的初始值;當θ∈[-h,0]時， 定義ut(θ)=u(t+θ)，ν是?Ω上的單位法向量.

Kirchhoff[1]在研究彈力繩的非線性震動時首次提出了Kirchhoff繩模型.隨后，Kirchhoff型波方程整體解的存在唯一性以及解的爆破性引起了許多學者的廣泛研究.Yang等[2]研究了如下帶有強耗散項的Kirchhoff型方程的整體吸引子:

其中x∈Ω,t>0,且

Li等[3]研究了如下帶有非線性耗散項的高階Kirchhoff型方程解的整體存在性和爆破性:

其中Ω?RN(N≥1)是具有光滑邊界的有界開區(qū)域，ν是向外的法向量，m>1是正整數(shù)，p,q,r>0是正常數(shù).文中利用凹度方法，得到當p≤r時解具有整體存在性，然而當p>max{r,2q}時，對任何帶有負初始能量的初始值，解以Lp+2中的范數(shù)在有限時間內(nèi)爆破.Salim[4]通過修改證明方法，不僅改善了文獻[3]的結果，而且證明了當正初始能量有上界的時候，解在有限時間內(nèi)也爆破.受文獻[3-4]的啟發(fā)，Ye等[5]研究了如下帶有阻尼項和源項的高階Kirchhoff型的雙曲方程:

Gao等[6]研究了如下帶有非線性強阻尼項的高階非線性Kirchhoff型方程:

其中m>1是正整數(shù)，Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域，ν是向外的法向量，q>0是正常數(shù)，g(u)是非線性函數(shù).通過改善文獻[5]中非線性項的假設條件，文獻[6]得到了上述方程光滑解的整體存在唯一性，進而得到解半群{S(t)}t≥0具有整體吸引子，最后證明了該整體吸引子具有有限的Hausdorff維數(shù)和Fractal維數(shù).

Lin等[7]研究了如下帶有強耗散項的高階非線性Kirchhoff型波方程的解的局部存在性和爆破性:

其中m>1是正整數(shù)，Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域，ν是向外的法向量，a≥0,b≥0,p≥0,q≥1是常數(shù).

由于時滯偏微分方程帶有對過去狀態(tài)的刻畫，能夠更精確地反映現(xiàn)實，因而時滯偏微分方程的研究也吸引了越來越多學者的注意[8-12].目前，關于高階Kirchhoff型方程的研究主要集中在解的爆破及其存在性，對帶有時滯的高階Kirchhoff型方程的研究鮮見報道.拉回吸引子是相空間的一族緊集，在過程的作用下具有不變性，且拉回吸引相空間中的有界集.從存在性角度考慮，相對一致吸引子而言，可以在較弱的外力假設下得到拉回吸引子的存在性.因此，研究帶有時滯項的高階Kirchhoff型方程的拉回吸引子是十分有意義的.

1 預備知識

為了后面證明的需要，首先引入以下符號：

H=L2(Ω)中的范數(shù)與內(nèi)積分別記作·和(·,·)，且記

(H1)對?ξ∈R,h(ξ)是連續(xù)的；

(H2)h(0)=0;

(H3)存在一個常數(shù)Lh>0，使得對任意的ξ,η∈R,有h(t,ξ)-h(t,η)≤Lhξ-η;

(H4)存在常數(shù)m0>0,Ch>0,使得對任意的m∈[0,m0],t≥τ,u,v∈C0([τ-r,τ],H),有

1)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ),?τ≤r≤t;

2)U(τ,τ)=I為恒同算子，τ∈R.

則稱U(t,τ)是一個過程.

?t∈R.

定理1[9](Poincare不等式) 若Ω?Rn是有界開子集,則

2 拉回吸引子的存在性

λ1是-Δ在H中的第一個特征值,而

用v與問題(1)中的第一個方程在H中作內(nèi)積,可得

對(4)式逐項進行計算，有

把(5)～(7)式代入(4)式，可得

而由Young不等式及Poincare不等式可得

其中λ1是-Δ在H中的第一個特征值.

由f(x)∈H及Young不等式可得

把(9)～(12)式代入(8)式，可得

由Young不等式可得

(14)

其中

在[τ,t]上對上式積分，有

由廣義Young不等式可知

因而由(16)式可得

用t+θ(-h<θ<0)代替上式中的t，則有

從而定理中的(2)式得證.

因此存在常數(shù)E0>0和t0>τ,使得當t≥t0時,有

從而定理中的(3)式得證. 】

定理3若條件(H1)～(H4)成立且

其中

因而存在常數(shù)E1>0和t1>τ,使得當t>t1時有

對(17)式逐項進行計算，有

由Young不等式及Poincare不等式可得

其中λ1是-Δ在H中的第一個特征值.

把(18)～(23)式代入(17)式，有

由定理2可知，Dmu2-ε>0，由于

所以

在[τ,t]上，對(26)式利用Gronwall不等式，可得

Dmφ2e(2ε-C)(t-τ)→0,

因而

由定理2可知，Dmu2是有界的，這表明(26)式成立，則(25)式可以變形為

其中

對上式在[τ,t]上積分，有

設α1=min{1,Dmu2-ε}，則

用t+θ(-h<θ<0)代替上式中的t,則有

因而存在常數(shù)E1>0和t1>τ,使得當t≥t1時,有

從而定理得證. 】

定理4若條件(H1)～(H4)成立,且

證明由Fadeo-Galerkin方法以及定理2和定理3可得初邊值問題(1)的光滑解的存在性,下面證明解的唯一性.

設u1,u2是問題(1)的兩個解,φ,φ是相應的初值,記ω=u1-u2,當t∈[τ-h,τ]時,

于是

對(29)式逐項進行處理,可得

把(30)～(33)式代入到(29)式,可得

由定理2，定理3，Lagrange中值定理以及絕對值不等式可得

由條件(H3)可得

利用(35),(36)式及定理2,可將(34)式變形為

其中

在[τ,t]上對(37)式使用Gronwall不等式,可得

即

于是

即

ω(x,t)=0.

所以當初值相同時,u1=u2,從而得到了解的唯一性. 】