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    類橢球體放礦理論實(shí)際散體速度方程和密度方程的構(gòu)建

    2018-11-30 01:53:40李榮福郭進(jìn)平劉少青
    金屬礦山 2018年11期
    關(guān)鍵詞:散體橢球方程

    李榮福 郭進(jìn)平 劉少青

    (西安建筑科技大學(xué)材料與礦資學(xué)院,陜西西安710055)

    類橢球體放礦理論是李榮福教授在實(shí)驗(yàn)觀察、回歸分析和理論研究的基礎(chǔ)上創(chuàng)立的[1]。類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí),實(shí)際散體速度方程和密度方程都是各自獨(dú)立給出的,雖然方程都通過了理論檢驗(yàn),但論證欠充分。本研究主要討論實(shí)際散體速度方程和密度方程的構(gòu)建過程,進(jìn)一步證明類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的實(shí)際散體速度方程和密度方程有堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)和充分的理論依據(jù),說明類橢球體放礦理論體系是嚴(yán)密的,自身閉合的。

    1 密度方程的構(gòu)建

    1.1 密度經(jīng)驗(yàn)公式

    密度經(jīng)驗(yàn)公式是根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立的符合實(shí)驗(yàn)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式,大量的放礦實(shí)驗(yàn)可以得到以下結(jié)果[3]:①理論放出口(Q=0)放出體的密度為放出密度 ρo,松動(dòng)體Qs表面(Q=Qs)的密度為初始密度ρa(bǔ);②移動(dòng)體表面各質(zhì)點(diǎn)介質(zhì)密度相等,為等密度面,其密度為 ρ,且有0≤Q≤Qs,ρo≤ρ≤ρa(bǔ);③松動(dòng)體體積Qs是放出體體積Qf的C倍,即Qs=CQf,C是一個(gè)與放出條件和散體性質(zhì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù),稱為松動(dòng)范圍系數(shù);④理想散體的松動(dòng)范圍與Qf值無關(guān),且Qs→∞,并有松動(dòng)范圍內(nèi)各處密度均為初始密度 ρa(bǔ),也是放出密度 ρo,即 ρ=ρo=ρa(bǔ)。

    由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)滿足以下條件:Q=0時(shí),ρ=ρo;Q=Qs時(shí),ρ=ρa(bǔ);0<Q<Qs時(shí),ρo<ρ<ρa(bǔ);Qs→∞ 時(shí),ρ=ρo,Q 表面各處密度都相等。經(jīng)驗(yàn)公式還應(yīng)具有良好的可調(diào)性。

    類橢球體放礦理論創(chuàng)建過程中,提出的符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果的密度經(jīng)驗(yàn)公式如下:

    式中,α,ω均為與密度及其變化相關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù)。

    1.2 類橢球體放礦理論的密度方程

    類橢球體放礦理論的密度方程應(yīng)滿足質(zhì)量守恒定律的理論要求。根據(jù)質(zhì)量守恒定律得到松動(dòng)體質(zhì)量平衡方程式:

    式中,Qs、Qf分別為松動(dòng)體體積和放出體體積;ρa(bǔ)為散體初始密度;ρc為松動(dòng)體Qs中散體的平均密度。

    根據(jù)密度經(jīng)驗(yàn)式(1),得到松動(dòng)體Qs中散體的平均密度 ρc值為:

    當(dāng)Q=Qs時(shí),ρ=ρa(bǔ),由密度經(jīng)驗(yàn)公式可知,初始密度 ρa(bǔ)值為:

    由松動(dòng)體質(zhì)量平衡方程式(2)得:

    代入 Qs=CQf和 ρa(bǔ)、ρc值得:

    由于上式不存在變量,成立的必要條件是C=(1 +α )ω+1=α(ω +1)(1 +α)ω,故存在 ω=。也就是說密度經(jīng)驗(yàn)公式只有ω=時(shí)才能滿足質(zhì)量守恒定律的理論要求。因此,符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果又滿足理論要求的密度方程為:

    式(3)表達(dá)的密度方程正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的密度方程。它是一個(gè)由經(jīng)驗(yàn)公式上升為理論公式的密度方程。由密度方程式(3)的構(gòu)建過程可知,該密度方程具有堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)和充分的理論依據(jù)。

    2 實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式

    類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí),在實(shí)際散體速度方程的構(gòu)建中,認(rèn)為實(shí)際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數(shù)之積,現(xiàn)論證其理論依據(jù)。

    2.1 理論表達(dá)式的基礎(chǔ)方程[2,4-5]

    類橢球體放礦理論根據(jù)理想散體的移動(dòng)過渡方程建立了理想散體速度方程式(4)和式(5)。

    式中,VX、VR分別為理想散體垂直下移速度和徑向速度;X、R分別為圓柱面坐標(biāo)系的垂直坐標(biāo)和徑向坐標(biāo);qo為單位時(shí)間放出體積;n、m、k均為與放出條件和散體性質(zhì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù)。

    由類橢球體放礦理論可知,移動(dòng)體體積方程為式(6),放出體體積方程為式(7),移動(dòng)跡線方程為式(8):

    式中,Q、Qf分別為移動(dòng)體和放出體體積;Xo、Ro分別為顆粒點(diǎn)移動(dòng)前的初始垂直坐標(biāo)和徑向坐標(biāo);ρa(bǔ)、ρo分別為散體初始密度和放出密度;t為放出時(shí)間。

    2.2 實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式建立

    已知Q是X和R的函數(shù),根據(jù)微分運(yùn)算法則有:

    根據(jù)式(4)可進(jìn)一步得到:

    式(9)為實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式,它表明實(shí)際散體速度是理想散體速度與

    設(shè)

    其中,β稱為速度阻滯系數(shù),式(10)是速度阻滯系數(shù)的理論表達(dá)式。

    實(shí)際散體速度方程的理論表達(dá)式(9)則可轉(zhuǎn)換成速度阻滯系數(shù)β的表達(dá)形式:

    由式(10)可知,速度阻滯系數(shù) β與散體場(chǎng)密度及其變化相關(guān),它表明由于實(shí)際散體密度場(chǎng)的不均勻性和不定常性的性質(zhì),使得散體移動(dòng)場(chǎng)中的散體顆粒存在投入運(yùn)動(dòng)滯后和速度減慢的阻滯現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)研究表明,實(shí)際散體放出時(shí)產(chǎn)生二次松散現(xiàn)象,造成散體移動(dòng)場(chǎng)中各處密度都發(fā)生變化,使得散體顆粒運(yùn)動(dòng)滯后和受阻而減速。實(shí)際散體在放出口處(Q=0),不再產(chǎn)生二次松散,也無速度阻滯現(xiàn)象(β=1)。松動(dòng)體表面各處(Q=Qs),受速度阻滯最大,速度變?yōu)榱悖é?0)。在移動(dòng)場(chǎng)中隨移動(dòng)體Q增大則 β值減小,且有0<Q<Qs,1> β>0。理想散體由于不產(chǎn)生二次松散,沒有速度阻滯現(xiàn)象(β=1)。

    式(11)表明實(shí)際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數(shù)之積。式(11)正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的實(shí)際散體速度的表達(dá)式。

    由以上論證可知,類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)提出的速度阻滯系數(shù)概念,并認(rèn)為實(shí)際散體速度是理想散體速度與速度阻滯系數(shù)之積的觀點(diǎn)是正確的且有理論基礎(chǔ)的。

    3 類橢球體放礦理論實(shí)際散體速度方程

    類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí),其實(shí)際散體速度方程中給出的速度阻滯系數(shù)理論依據(jù),且與速度阻滯系數(shù) β的理論表達(dá)式(10)不同,下面對(duì)此進(jìn)一步論證。

    3.1 類橢球體放礦理論的速度阻滯系數(shù)

    由上節(jié)得到式(10)所示的速度阻滯系數(shù)的理論表達(dá)式,現(xiàn)根據(jù)類橢球體放礦理論的密度方程和移動(dòng)體質(zhì)量平衡方程來求算速度阻滯系數(shù)。

    當(dāng)放出量為放出體Qf時(shí),放出前位于Qo處的移動(dòng)體Qo移動(dòng)到Q,根據(jù)質(zhì)量守恒定律可建立移動(dòng)體質(zhì)量平衡方程式:

    式(13)為類橢球體放礦理論的移動(dòng)過渡方程,對(duì)式(13)兩端進(jìn)行微分運(yùn)算得:

    式(14)是根據(jù)速度阻滯系理論表達(dá)式和密度方程、移動(dòng)過渡方程求得的速度阻滯系數(shù)。式(14)也正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的速度阻滯系數(shù),可見速度阻滯系數(shù)有充分的理論根據(jù)。

    由式(14)可知,當(dāng) Q=0時(shí),β=1;Q=Qs時(shí)β=0;0<Q<Qs時(shí),1>β>0;Qs→∞ 時(shí),β=1。該理論公式給出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)完全相符。

    3.2 類橢球體放礦理論實(shí)際散體的速度方程

    將式(4)、式(14)代入式(11)得到類橢球體放礦理論垂直下移速度方程:

    由實(shí)際散體速度的理論表達(dá)式(5)和速度阻滯系數(shù)式(14)得到類橢球體放礦理論實(shí)際散體徑向速度V′R方程式。

    式(15)、式(16)表達(dá)的速度方程正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的類橢球體放礦理論的實(shí)際散體速度方程。實(shí)際散體速度方程和密度方程都通過了理論和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn),成為類橢球體放礦理論體系重要的理論方程。

    4 結(jié)論

    通過上述的理論推導(dǎo)和分析,可到以下結(jié)論:

    (3)根據(jù)速度阻滯系數(shù)理論表達(dá)式和密度方程、移動(dòng)體質(zhì)量平衡方程得到的速度阻滯系數(shù)為,它正是類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的速度阻滯系數(shù),論證為此提供了充分的理論依據(jù)。

    (4)本研究構(gòu)建的密度方程和實(shí)際散體速度方程與類橢球體放礦理論創(chuàng)立時(shí)給出的密度方程和實(shí)際散體速度方程完全相同,從理論上進(jìn)一步證明了密度方程和實(shí)際散體速度方程都是正確的,能通過理論和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。

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