巧設(shè)直線，妙解方程

■劉金金

我們在解答直線問題時，若能通過巧設(shè)直線，則可以簡化運(yùn)算，妙解方程。下面分門別類地介紹一下，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、斜率問題

當(dāng)直線l與x軸不垂直時，此時直線的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+b或y-y0=k(x-x0)(其中k為直線l的斜率);當(dāng)不能確定直線l的斜率是否存在時，可設(shè)直線l的方程為x=my+n或x-x0=m(y-y0)。

例1經(jīng)過兩直線l1∶x-3y-5=0與l2∶4x+3y-5=0的交點(diǎn)，且和點(diǎn)A(-2，1)的距離為4的直線l的方程為

由{x-3y-5=0，解得4x+3y-5=0，{x =2， 可知直線l過點(diǎn)B(2，-1)。設(shè)直y=-1，線l的方程為x-2=m(y+1)，得x-my-2-m=0，由點(diǎn)A(-2，1)到直線l的距離為4，可得，解得m=0或所以直線l的方程為x-2=0或3x-4y-10=0。

利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程時，一定要分析其斜率是否存在。當(dāng)斜率不為零時，往往不設(shè)直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程，而直接設(shè)為x=my+n或x-x0=m(y-y0)，這樣可以避免斜率存在性的討論。

二、截距問題

用直線的斜截式方程往往可以直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，或解決與截距有關(guān)的問題，或解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長問題等。但以下兩種情況不能使用斜截式方程，一是當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時，有一個截距不存在;二是當(dāng)直線通過原點(diǎn)時，兩個截距均為零。所以大家在解決問題的過程中一定要注意分類討論。

例2 求過點(diǎn)A(4，2)且在x軸上的截距是在y軸上截距的3倍的直線l的方程。

①當(dāng)直線l過原點(diǎn)時，它在x軸、y軸上的截距都是0，滿足題意，此時直線的斜率為，直線方程為

如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“截距的絕對值相等”，或“直線在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m＞0)”等條件時，可采用直線的斜截式方程求直線方程，但一定要注意考慮“零截距”的情況。

三、平行問題

當(dāng)所求直線與已知直線平行時，可根據(jù)斜率相等設(shè)出所求直線的點(diǎn)斜式方程。而在實(shí)際求解過程中，可巧妙設(shè)出平行直線系方程來求解，具體方法是∶設(shè)平行于已知直線Ax+By+C=0(A，B不同時為零)的直線系方程為Ax+By+D=0(D是參數(shù)，D≠C)。

例3已知直線l與直線2x-3y=6平行，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，則直線l的方程為

解答此類問題時，可直接設(shè)出對應(yīng)的平行直線系方程，結(jié)合直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的求解來建立關(guān)系式，進(jìn)而確定參數(shù)值，求得相應(yīng)的直線方程。巧設(shè)平行直線系方程，能直接抓住兩直線平行的特點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)條件加以分析求解，顯得更為簡單快捷。

四、垂直問題

當(dāng)所求直線與已知直線垂直時，可先根據(jù)斜率關(guān)系設(shè)出所求直線的點(diǎn)斜式方程，再去求解。而在實(shí)際求解過程中，可巧妙設(shè)出垂直直線系方程，具體方法是∶設(shè)垂直于已知直線Ax+By+C=0(A，B不同時為零)的直線系方程為Bx-Ay+E=0(E是參數(shù))。

例4已知直線l的方程為2x-3y-6=0，求滿足下列條件的直線l'的方程∶

(1)過點(diǎn)P(-1，2)，且與直線l平行。

(2)過點(diǎn)P(-1，2)，且與直線l垂直。

(1)由直線l'與l平行，可設(shè)直線l'的方程為2x-3y+m=0，將點(diǎn)P(-1，2)代入上述方程，解得m=8，故直線l'的方程為2x-3y+8=0。

(2)由直線l'與l垂直，可設(shè)直線l'的方程為3x+2y+n=0，將點(diǎn)P(-1，2)代入上述方程，解得n=-1，故直線l'的方程為3x+2y-1=0。

解答這類問題的常規(guī)方法是先根據(jù)兩直線平行或垂直的關(guān)系確定所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程來求解，解題過程相對比較復(fù)雜。而巧設(shè)平行或垂直直線系方程，能直接抓住兩直線平行或垂直的特點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)條件加以分析求解，顯得更為有效快捷。

五、交點(diǎn)問題

當(dāng)所求直線過兩條已知直線的交點(diǎn)時，先求出交點(diǎn)，再去求解方程。而在實(shí)際求解過程中，可巧妙設(shè)出交點(diǎn)的直線系方程，具體方法是∶設(shè)過兩條已知直線l1∶A1x+B1y+C1=0和l2∶A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ是參數(shù)，當(dāng)λ=0時，方程變?yōu)锳1x+B1y+C1=0，恰好表示直線l1;當(dāng)λ≠0時，方程表示過直線l1和l2的交點(diǎn)，但不含直線l1和l2的任一條直線)。

例5已知三角形三邊所在的直線方程分別為∶2x-y+4=0，x+y-7=0，2x-7y-14=0，則邊2x-y+4=0上的高所在的直線方程為

設(shè)邊2x-y+4=0上的高所在的直線方程為2x-7y-14+λ(x+y-7)=0，即(2+λ)x+(λ-7)y-(14+7λ)=0，而其與直線2x-y+4=0垂直，故有(2+λ)×2+(λ-7)×(-1)=0，解得λ=-11。故邊2x-y+4=0上的高所在的直線方程為x+2y-7=0。

解答這類問題的常見方法是先求出直線x+y-7=0和直線2x-7y-14=0的交點(diǎn)，再根據(jù)所求直線與直線2x-y+4=0垂直來求解。而直接設(shè)出交點(diǎn)的直線系方程，可以大大簡化求解兩直線交點(diǎn)時的運(yùn)算問題。

六、定點(diǎn)問題

當(dāng)所求直線過定點(diǎn)時，可根據(jù)斜率的存在情況分類去求解直線方程。而在實(shí)際求解過程中，可巧妙設(shè)出定點(diǎn)的直線系方程，具體方法是∶設(shè)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0。

例6 求過點(diǎn)A(-4，2)且與x軸的交點(diǎn)到點(diǎn)P(1，0)的距離為3的直線方程。

設(shè)所求直線方程為A(x+4)+B(y-2)=0，則其與x軸的交點(diǎn)為Q，由 |PQ|=解得或，即B=A或B=4A，代入所設(shè)直線方程并整理，即得所求的直線方程為x+y+2=0或x+4y-4=0。

巧設(shè)定點(diǎn)的直線系方程，可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，避免分類討論，有效防止出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象。