近世代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用

遼寧省沈陽(yáng)師范大學(xué) 李艷鑫

一、密碼學(xué)簡(jiǎn)述

密碼學(xué)也被稱為密碼書(shū)，是由保密通信的需要而開(kāi)發(fā)的一門(mén)學(xué)科，也是研究信息加解密技術(shù)以及密碼破解技術(shù)的知識(shí)。密碼學(xué)有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：一是歷史悠久，二是數(shù)學(xué)能力強(qiáng)。在安全通信中，發(fā)送和接收信息的過(guò)程正是以下過(guò)程：發(fā)送者首先發(fā)出原始信息——稱為明文，進(jìn)行一些改變或轉(zhuǎn)換——稱為加密，加密信息——密文，發(fā)出；接收方收到密文，密文恢復(fù)為明文——稱為解密，解密得到明文，即原始消息。

二、傳統(tǒng)密碼應(yīng)用

密碼學(xué)在1949年香農(nóng)“安全系統(tǒng)通信理論”出版之前，密碼的傳輸主要是通過(guò)簡(jiǎn)單的替換和替換字符來(lái)實(shí)現(xiàn)的，所以簡(jiǎn)單的加密形式一般都屬于傳統(tǒng)密碼學(xué)的范疇。更換密碼是通過(guò)改變明文順序來(lái)實(shí)現(xiàn)加密效果，而替換密碼則涉及模運(yùn)算、模逆元、歐拉函數(shù)在仿射代碼中的基本理論。傳統(tǒng)的密碼申請(qǐng)由仿射密碼和希爾密碼表示。在本文中，我們使用希爾代數(shù)來(lái)加密明文字母與希爾字母數(shù)字為例，簡(jiǎn)要描述其加密思想。Hill密碼，最早是由數(shù)學(xué)家Lester Hill在1929年的“美國(guó)數(shù)學(xué)月刊”（American Mathematical Monthly）上提出的，其基本思想是用線性替換來(lái)替換n個(gè)連續(xù)的明文字母，密文的字母數(shù)，替換鍵是變換矩陣，只需要加密信息做相同的逆變換。

三、現(xiàn)代密碼應(yīng)用

1．密碼學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)滲透著算法思維

密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)課程通常包括概率論、初等數(shù)論、抽象代數(shù)等。這些課程具有獨(dú)特的算法特征，尤其是初等數(shù)和抽象代數(shù)。在密碼學(xué)教學(xué)中，我們需要運(yùn)用很多抽象的數(shù)學(xué)概念，如群、環(huán)、域、因式分解、同余、中國(guó)殘差定理、二次剩余。學(xué)生聽(tīng)完抽象概念后只能吞下去，基本上不了解它的實(shí)際應(yīng)用背景和意義。學(xué)生只能死記硬背抽象的數(shù)學(xué)概念，他們?cè)谔釂?wèn)過(guò)程中努力工作，流于固定的形式和慣例，不能透徹理解、掌握和使用，深入研究密碼學(xué)就有一定的難度。在教學(xué)過(guò)程中可以看出，只讓學(xué)生通過(guò)作業(yè)等常規(guī)方式來(lái)理解這些結(jié)論，不會(huì)起到更好的效果。因此，在數(shù)學(xué)的密碼學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，有必要將這些知識(shí)的特點(diǎn)與算法的思維方式和模塊化的方法相結(jié)合，在抽象代數(shù)中給出基本概念和相關(guān)概念中的算法思想。

2．應(yīng)用形式化算法模式剖析密碼學(xué)概念

密碼學(xué)是在研究如何以保密的方式傳輸信息的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的。簡(jiǎn)而言之，密碼學(xué)就是研究如何在惡劣的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)安全通信。它隨著密碼編碼和密碼分析的“長(zhǎng)矛”和“盾牌”的長(zhǎng)期地、無(wú)休止地爭(zhēng)奪而成長(zhǎng)。隨著先進(jìn)科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用，已成為融合多學(xué)科的全面發(fā)展的前沿科學(xué)技術(shù)。目前國(guó)內(nèi)外許多本科院校都開(kāi)設(shè)了密碼學(xué)課程。由于密碼學(xué)的軍事用途，密碼學(xué)本身具有一定的神秘性，秘密技術(shù)被運(yùn)用于日常生活和工作的各個(gè)方面。

具體而言，從算法的角度來(lái)看，公鑰密碼系統(tǒng)可以形式化為三元組（K，E，D）。K表示密鑰生成算法，其形式函數(shù)是生成一對(duì)匹配的公鑰和私鑰對(duì)，為后續(xù)算法E，D加密和解密做準(zhǔn)備，K可以是概率算法；E是加密算法，其功能模塊是實(shí)現(xiàn)消息加密，算法也可以是概率算法；D是解密算法，轉(zhuǎn)換算法的功能是實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的密文解密操作。然后給出了具體的RSA實(shí)現(xiàn)方法，包括RSA密鑰生成算法、加密算法和解密算法?？梢钥闯?，應(yīng)用形式化模型分析來(lái)解釋公鑰密碼體制和具體實(shí)例，進(jìn)一步明確了公鑰密碼學(xué)的思想，了解RSA算法加密算法的流程和安全性能的關(guān)鍵，符合當(dāng)代學(xué)習(xí)過(guò)程，可以起到事半功倍的效果。

3．應(yīng)用模塊化思想分析密碼體制的設(shè)計(jì)

在密碼分組密碼系統(tǒng)的過(guò)程中，根據(jù)密碼系統(tǒng)的功能，將分塊劃分為幾個(gè)部分，分別說(shuō)明了每個(gè)分塊的設(shè)計(jì)原則和目標(biāo)，并給出相應(yīng)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的分塊，最后，給出每個(gè)功能塊的組合和分析。它們的安全特性不會(huì)因這些特性的組合而受到影響，應(yīng)了解這部分內(nèi)容的結(jié)構(gòu)和“整體情況”，以便系統(tǒng)地梳理密碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)的方法和規(guī)則，同時(shí)達(dá)到推導(dǎo)類比的效果。以分組密碼教學(xué)為例，分組密碼的主要威脅是已知的明文攻擊，因?yàn)榉纸M密碼的密鑰被重復(fù)使用，即多次和一次。為了抵制這種攻擊，當(dāng)需要密碼的時(shí)候需要設(shè)計(jì)一個(gè)密碼：（1）混淆：密碼的設(shè)計(jì)應(yīng)該使得明文、密文和密鑰之間的依賴關(guān)系如此復(fù)雜，這種依賴關(guān)系不可用于密碼分析。（2）擴(kuò)散性：密碼的設(shè)計(jì)應(yīng)使密鑰的每一位都影響密文的每一位，以防止密鑰被逐一解密；明文的每一位都會(huì)影響密文的每一位，以便最明確地隱藏明文。（3）具有高度的非線性。根據(jù)這些安全需求，模塊化設(shè)計(jì)思想是將分組密碼模塊化為計(jì)算組件、計(jì)算組件組合、SPN（即替換/置換網(wǎng)絡(luò)）、多重迭代和輪回功能。不同的模塊實(shí)現(xiàn)不同的安全屬性，同時(shí)保證功能的組成部分不是抵消關(guān)系，而是疊加關(guān)系，使得它只增加安全性能，而不是相互抵消。最后給出了具體的分組密碼算法，詳細(xì)分析了其具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程，如DES，IDEA，AES等。

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