參數(shù)方程經(jīng)典題突破方法

■河南省許昌實驗中學 劉 龍

坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程,二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用。尤其是直線、圓、橢圓的極坐標、參數(shù)方程的綜合應用出現(xiàn)頻率最高,在極坐標方程與參數(shù)方程的交匯中突出化歸思想與方程思想的考查。

一、極徑ρ的幾何意義的應用

例1在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25。

(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;

(2)直線l的參數(shù)方程是為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率。

解析：(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圓C的極坐標方程為ρ2+12ρcosθ+11=0。

(2)解法1：由直線l的參數(shù)方程消參可得y=x·tanα。

設直線l的斜率為k,則直線l的方程為kx-y=0。

由圓C的方程(x+6)2+y2=25,可知圓心坐標為(-6,0),半徑為5。

又|AB|=10,由垂徑定理及點到直線的距離公式得即解得即l的斜率為

解法2：在第(1)問建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R)。

設A,B所對應的極徑分別是ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcosα+11=0,所以ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11。

所以直線l的斜率為

評注：曲線的極坐標方程問題需要熟練掌握極坐標與直角坐標之間的互換公式,還要求能夠理解極徑的幾何意義,巧用極徑的幾何意義可以使解題過程由復雜變?yōu)楹唵巍?/p>

二、直線參數(shù)方程中t的幾何意義的應用

例2已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ。以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))。

(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;

(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且求直線l的傾斜角α的值。

解析：(1)由曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ,其直角坐標方程為x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4。

(2)把直線l的參數(shù)方程(t是參數(shù)),代入圓C的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化簡得t2-2tcosα-3=0。

設A,B兩點對應的參數(shù)分別是t1,t2,則t1+t2=2cosα,t1t2=-3。

評注：應用直線的參數(shù)方程時,一定要注意直線參數(shù)方程是否為標準形式,即是參數(shù),是直線的傾斜α角,再確定t的幾何意義。

三、極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用

例3在直角坐標系中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并取與直角坐標系相同的單位長度,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=cosθ。

(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

(2)若P,Q分別是曲線C1和C2上的任意一點,求|PQ|的最小值。

解析：(1)對于曲線C,有1即,故曲線C1的普通方程為

因為ρ=cosθ,所以x2+y2=x,即曲線C2的直角坐標方程為

(3)設P(2cosα,2sinα),由(1)可知圓心

評注：在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解。