聚焦函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯創(chuàng)新問題

■河南省淮陽(yáng)中學(xué) 魏于涵

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的工具性決定著其應(yīng)用的廣泛性,在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯處設(shè)計(jì)創(chuàng)新試題,是高考中一道亮麗的風(fēng)景線,本文聚焦函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯創(chuàng)新問題中的“構(gòu)造法”。

聚焦1——構(gòu)建直線和曲線相切的條件求最值

例1(河南百校聯(lián)盟2018屆高三11月質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=-f'(0)ex+2x,點(diǎn)P為曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線l上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在曲線y=ex上,則|PQ|的最小值為____。

解析：由f(x)=-f'(0)ex+2x求導(dǎo)得f'(x)=-f'(0)ex+2,賦值有f'(0)=-f'(0)e0+2,解得f'(0)=1,則f(x)=-ex+2x,f(0)=-e0+0=-1,則在點(diǎn)(0,f(0))處的切線l：y=x-1。因?yàn)閥=ex的導(dǎo)數(shù)為y'=ex,在點(diǎn)Q處的切線與l平行時(shí),距離最短。由ex=1,可得x=0,即切點(diǎn)Q(0,1),則點(diǎn)Q到切線l的距離為,則|PQ|的最小值為

提煉：求曲線上的點(diǎn)和曲線外的直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值,可以構(gòu)建在曲線上某一點(diǎn)處的切線與直線平行,轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)進(jìn)而求最值。

聚焦2——構(gòu)造輔助函數(shù)求解抽象函數(shù)不等式或比較大小

例2(湖北荊州2018屆高三第一次質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)=4x2-f(-x),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)4x。若f(m+1)＜f(-m)+4m+2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

解析：令F(x)=f(x)-2x2,則F'(x)=f'(x)-4x。又則則函數(shù)F(x)=f(x)-2x2在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞減。因f(x)=4x2-f(-x),則F(-x)+F(x)=f(-x)+f(x)-4x2=0,即F(-x)=-F(x),故F(x)=f(x)-2x2是奇函數(shù)。則不等式f(m+1)＜f(-m)+4m+2可化為F(m+1)≤F(-m),由函數(shù)的單調(diào)性可得m+1≥-m,即

提煉：解抽象函數(shù)不等式問題,關(guān)鍵在于依據(jù)題設(shè)構(gòu)造輔助函數(shù)研究其單調(diào)性和奇偶性,本題構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)判斷單調(diào)性,將不等式f(m+1)＜f(-m)+4m+2合理轉(zhuǎn)化。

聚焦3——構(gòu)造輔助函數(shù)求解方程根或函數(shù)零點(diǎn)的問題

例3(河北石家莊2018屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)檢)若存在正實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0有兩個(gè)不同的根,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

解析：當(dāng)a=0時(shí),方程只有一個(gè)解,不滿足題意,所以a≠0,所以原方程有兩個(gè)不同的根等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的根。令則2(2e-t)lnt。設(shè)f(t)=2(2e-t)lnt,則當(dāng)t＞e時(shí),f'(t)＜0。當(dāng)1＜t＜e時(shí),f'(t)＞0。所以f(t)在(e,+∞)上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增,所以f(t)≤f(e)=2e,且1＜t＜e時(shí),f(t)＞0,當(dāng)t→+∞時(shí),f(t)→-∞,所以要使2(2e-t)lnt存在兩解,則需a＞0,所以2e且a＞0,即所以a的取值范圍為

提煉：將方程根的問題合理轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像之間的關(guān)系問題,分離參數(shù)構(gòu)建輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)圖像的變化趨勢(shì),構(gòu)建函數(shù)值所滿足的不等式組求解參數(shù)范圍,其中構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間上的最值及圖像是關(guān)鍵,求解后注意進(jìn)行驗(yàn)證。

聚焦4——構(gòu)造輔助函數(shù)求解不等式恒成立或能成立問題

例4(云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2018屆高三高考適應(yīng)性月考)已知函數(shù)

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,由于f'(0)=0,令g(x則g(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù),所以當(dāng)-1＜x＜0時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)x＞0時(shí),f'(x)＜0。所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞)。

提煉：解決含參不等式的恒成立或能成立問題,首先研究參數(shù)前面函數(shù)的值域,然后分離參數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式滿足的關(guān)系解出取值范圍。當(dāng)參數(shù)求不出時(shí)直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值滿足的關(guān)系式求解。

聚焦5——構(gòu)造輔助函數(shù)求證關(guān)于數(shù)列和的不等式問題

例5(廣西貴港2018屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考)已知函數(shù)(1+a)x,其中a＜1。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：對(duì)任意x∈N*時(shí)

解析：

①若a≤0,當(dāng)0＜x＜1時(shí),f'(x)＜0,當(dāng)x＞1時(shí),f'(x)＞0。所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)。

②若0＜a＜1,當(dāng)a＜x＜1時(shí),f'(x)＜0,當(dāng)0＜x＜a或x＞1時(shí),f'(x)＞0。所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1)。

提煉：對(duì)于有關(guān)數(shù)列和的不等式的證明,正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律,借助前問結(jié)論特殊賦值,對(duì)通項(xiàng)適當(dāng)?shù)胤趴s是求解的關(guān)鍵。