導(dǎo)數(shù)九類熱點(diǎn)問(wèn)題剖析

■河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué) 閆雍恒

高考中的導(dǎo)數(shù)主要圍繞“利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、確定單調(diào)區(qū)間 、求極值和最值、求參數(shù)范圍,以及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)和解決與函數(shù)有關(guān)的不等式”等熱點(diǎn)問(wèn)題展開(kāi),彰顯導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性。

剖析1——利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義探究曲線的切線問(wèn)題

例1(2018年貴州貴陽(yáng)高三8月摸底)已知函數(shù)f(x)=xn-xn+1(n∈N*),曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為bn,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為_(kāi)___。

解析：依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義按部就班求出在切點(diǎn)處的切線方程,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f'(x)=nxn-1-(n+1)xn,則f'(2)=n×2n-1-(n+1)×2n=(-n-2)×2n-1,且f(2)=2n-2n+1=-2n,曲線在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y+2n=(-n-2)×2n-1×(x-2)。令x=0 可得y=(2n+2)×2n-1=(n+1)2n,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=(n+1)2n。

提煉：設(shè)P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點(diǎn),則以P為切點(diǎn)的切線方程為yy0=f'(x0)(x-x0)。若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí),由切線定義知,切線方程為x=x0。謹(jǐn)記,有切點(diǎn)直接代入切點(diǎn),沒(méi)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn),建立方程組求切點(diǎn)。

剖析2——由切線之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)求最值或參數(shù)范圍問(wèn)題

例2(江西撫州七校2017屆高三上學(xué)期聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=的圖像上存在不同的兩點(diǎn)A,B,使得曲線y=f(x)在這兩點(diǎn)處的切線重合,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

解析：分段函數(shù)分類求導(dǎo),設(shè)切點(diǎn)確定切線方程,由切線重合溝通切點(diǎn)之間的關(guān)系。當(dāng)x＜0時(shí),f'(x)=2x+1;當(dāng)x＞0時(shí),設(shè)A(x,y),B(x,y)且1122x1＜x2。當(dāng)x1＜x2＜0或0＜x1＜x2時(shí),f'(x1)≠f'(x2),故x1＜0＜x2,當(dāng)x1＜0時(shí),函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(x1,y1)處的切線方程為y-(x21+x1+a)=(2x1+1)(x-x1),即y=(2x1+1)x-x21+a;當(dāng)x2＞0時(shí),函數(shù)f(x)在點(diǎn)B(x2,y2)處的切線方程為,即兩切線重合的充要條件是且(0,1),消去x得1令則構(gòu)造函數(shù)則g'(t)=所以g'(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。又g'(0)＜0,g'(1)＜0,所以在(0,1)上g'(x)＜0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以,即故選C。

提煉：通過(guò)“分段函數(shù)的切線滿足關(guān)系或兩曲線在一點(diǎn)處有公切線”來(lái)探究參數(shù)的取值范圍,常常“設(shè)而不求”,利用“在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等且在該點(diǎn)處的函數(shù)值也相等”的條件,溝通切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,再降元換元化歸為輔助函數(shù)的值域求解,凸顯導(dǎo)數(shù)的幾何意義的 “溝通作用”和導(dǎo)數(shù)的工具性,以及函數(shù)方程和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用。

剖析3——導(dǎo)數(shù)法判斷或研究函數(shù)的單調(diào)性

例3(江蘇南京2017屆高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R。

(1)當(dāng)a=b=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當(dāng)b=2a+1時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

解析：(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易求切線方程為2x-y-2=0。

(2)當(dāng)b=2a+1時(shí),可得f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,從而

若a≤0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)＞0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)＜0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

提煉：導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性→求定義域→求導(dǎo)數(shù)f'(x)→求f'(x)=0在定義域內(nèi)的根→用求得的根劃分定義區(qū)間→確定f'(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)→得相應(yīng)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)性。題設(shè)中含有參數(shù)時(shí),求解方程f'(x)=0的根導(dǎo)致分類討論,分類依據(jù)導(dǎo)函數(shù)不等式形式正確確定→最高項(xiàng)系數(shù)與0的大小關(guān)系→ 兩根大小等。注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,單調(diào)性相同的兩個(gè)區(qū)間一般要用“和”或“,”連接。

剖析4——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)問(wèn)題

例4(湖北荊州2017屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量)已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

(1)當(dāng)a＞0時(shí),試求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解。函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

當(dāng)a＞0時(shí),對(duì)于x∈(0,+∞),有ex+ax＞0恒成立。若x＞1,f'(x)＞0,若0＜x＜1,f'(x)＜0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1)。

(2)依據(jù)題設(shè)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求。由條件可知f'(x)=0,在上有三個(gè)不同的根,即ex+ax=0在上有兩個(gè)不同的根,且a≠-e。令,則所以上單調(diào)遞增,在x∈(1,2)上單調(diào)遞減。所以g(x)的最大值為而所以

提煉：函數(shù)y=f(x)在x=x0處取極值的充要條件應(yīng)為：(1)f'(x0)=0,(2)在x=x0左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)相反。從解題規(guī)范性角度出發(fā),要求類似問(wèn)題最后都要進(jìn)行檢驗(yàn)。本題第(2)問(wèn)則通過(guò)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用求導(dǎo)法則及數(shù)形結(jié)合,分析推證建立不等式,使得問(wèn)題獲解,要學(xué)會(huì)這種研究函數(shù)極值的思維方法。

剖析5——用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題

例5(2017年山西三區(qū)八校二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b為常數(shù)且a≠0)在x=1處取得極值。

(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在(0,e]上的最大值為1,求a的值。

解析：(1)因?yàn)閒(x)=lnx+ax2+bx,所以

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+ax2+bx在x=1處取得極值,所以f'(1)=1+2a+b=0。

當(dāng)a=1時(shí)

由f'(x)＞0,得;由

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)借助導(dǎo)函數(shù)的根和對(duì)稱軸合理分類確定最大值的位置。因?yàn)閒'(1)=1+2a+b=0,所以b=-(2a+1),所以

令f'(x)=0,解得

因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值,所以

提煉：求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值,先求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性,若函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào),則兩端點(diǎn)的值即為最值,若在區(qū)間上有極值,比較極值與兩端點(diǎn)的函數(shù)值即可求其最值。若由f'(x)不能判斷函數(shù)的單調(diào)性,這時(shí)需要二次求導(dǎo),構(gòu)造h(x)=f'(x),再求函數(shù)h'(x)的零點(diǎn),此時(shí)h'(x)非負(fù)或非正恒成立來(lái)確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求最值,從而判斷f(x)的單調(diào)性,求得最值。

剖析6——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題

例6(山西運(yùn)城2017屆高三上學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R)。

(1)若曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(1,-1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證：x1x2＞e2。

解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,-1)在曲線y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1。

(2)不妨設(shè)x1＞x2＞0,因?yàn)閒(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2)。

要證明x1x2＞e2,即證明lnx1+lnx2＞2,也就是m(x1+x2)＞2。

所以f(t)＞f(1)=0,即成立,所以原不等式成立。

提煉：解決與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的不等式證明問(wèn)題,可以利用零點(diǎn)所滿足方程變形溝通轉(zhuǎn)化為同一個(gè)參數(shù)的函數(shù),然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值來(lái)證明,其中零點(diǎn)的溝通作用和利用所證不等式的結(jié)構(gòu)特征變形構(gòu)建函數(shù)是求解的關(guān)鍵。

剖析7——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而證明不等式問(wèn)題

例7(2018年山東濟(jì)南高三摸底)已知函數(shù)

(1)若f(x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若a=0,x0＜1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證：f(x)≤g(x)。

解析：(1)易得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由已知得f'(x)≥0對(duì)x∈(-∞,2)恒成立,則x≤1-a對(duì)x∈(-∞,2)恒成立,所以1-a≥2,所以a≤-1。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1]。

(2)由于a=0,則

函數(shù)f(x)的圖像在x=x0處的切線方程為

設(shè)φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,則φ'(x)=-ex0-(1-x0)ex。

因?yàn)閤0＜1,所以φ'(x)＜0,所以φ(x)在R上單調(diào)遞減。

而φ(x0)=0,所以當(dāng)x＜x0時(shí),φ(x)＞0,當(dāng)x＞x0時(shí),φ(x)＜0。

所以當(dāng)x＜x0時(shí),h'(x)＞0,當(dāng)x＞x0時(shí),h'(x)＜0。

所以h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù)。

所以x∈R時(shí),恒有h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

提煉：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)。若證明f(x)＜g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),若F'(x)＜0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)。同時(shí),若F(a)≤0,由減函數(shù)的定義可知,x∈(a,b)時(shí),有F(x)＜0,即證明了f(x)＜g(x)。

剖析8——構(gòu)造輔助函數(shù)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性解函數(shù)不等式或比大小問(wèn)題

例8(湖北荊州2017屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)=4x2-f(-x),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)若-2m2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

解析：由已知條件令F(x)=f(x)-2x2,則,則函數(shù)F(x)在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞減;由f(x)=4x2-f(-x),則F(-x)+F(x)=f(-x)+f(x)-4x2=0,即F(-x)=-F(x),故F(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減,則不等式f(m+1)-2(m+1)2≤f(-m)-2m2轉(zhuǎn)化為F(m+1)≤F(-m),由函數(shù)的單調(diào)性可得

提煉：求解抽象函數(shù)不等式或比大小問(wèn)題,反饋題設(shè)結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造輔助函數(shù),由題設(shè)和導(dǎo)數(shù)法則逆用確定輔助函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,進(jìn)而合理轉(zhuǎn)化應(yīng)用單調(diào)性求解。本題構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-2x2,用題設(shè)研究其奇偶性,進(jìn)而確定其在R上的單調(diào)性,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

剖析9——利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列和不等式問(wèn)題

例9(江西新余第一中學(xué)2017屆高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=a(x2-1)-lnx。

(Ⅰ)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

解析：(Ⅰ)由已知得

(1)當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)＜0,所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＜f(1)=0,與f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立矛盾。

(2)當(dāng)a＞0時(shí),由f'(x)＞0,得;由f'(x)＜0,得0＜