函數(shù)與導數(shù)中的易錯點歸類整理

■河南省許昌實驗中學 劉 莎

函數(shù)與導數(shù)是高中階段的一個重要內(nèi)容,貫穿整個高中數(shù)學學習過程,在高考中也是一個重點考查內(nèi)容,選擇題、填空題主要以考查函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)的圖像及變換、函數(shù)的零點、導數(shù)的幾何意義為主,而解答題主要以導數(shù)為工具解決函數(shù)、方程、含參數(shù)不等式等問題,難度稍大,易錯點較多,下面根據(jù)實際經(jīng)驗,對這部分的易錯點進行總結(jié)、分析。

易錯點一：概念理解不清楚

1.定義域與值域。

同學們在求函數(shù)相關問題時易忽略“定義域優(yōu)先”原則或求錯函數(shù)的定義域。函數(shù)的性質(zhì),如值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等都受到定義域的制約。因此,在解決函數(shù)問題時,應先考慮其定義域,在定義域范圍內(nèi)再研究函數(shù)的性質(zhì)。

例1函數(shù)的定義域為____。

分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,因此要求定義域就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來,列成不等式組,不等式組的解集就是該函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,在解決函數(shù)定義域時不要忘記了這點。對于復合函數(shù),要注意外層函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)的值域決定的。

解：要使函數(shù)有意義,則解得x＞2。

例2求函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間。

錯解：令g(t)=t2-2t-8,函數(shù)g(t)在(-∞,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù)。又因為e＞1,所以對數(shù)函數(shù)y=lnt在(0,+∞)上是增函數(shù)。根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則可知函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)。

分析：在求解復合函數(shù)的單調(diào)性時,不能只考慮t=x2-2x-8與函數(shù)y=lnt的單調(diào)性,而忽視t＞0的限制條件。

正解：由已知條件可得函數(shù)f(x)的定義域為為(-∞,-2)∪(4,+∞)。令g(t)=t2-2t-8,其中t＜-2或t＞4。函數(shù)g(t)在(-∞,-2)上為減函數(shù),在(4,+∞)上為增函數(shù)。又因為e＞1,所以對數(shù)函數(shù)y=lnt在(0,+∞)上是增函數(shù)。根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則可知函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)增區(qū)間為(4,+∞)。

2.分段函數(shù)。

分段函數(shù)也是高考中經(jīng)常見到的一類函數(shù),分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù);分段函數(shù)的定義域是x的不同取值范圍的并集,值域是每段的y的取值范圍的并集,注意結(jié)合圖像處理分段函數(shù)的單調(diào)性、最值、對稱性、奇偶性。

例3已知函數(shù)且f(a)=-3,則f(6-a)=____。

分析：求分段函數(shù)的函數(shù)值時,需根據(jù)自變量所在區(qū)間代入相應的函數(shù)解析式,若不能確定,則需要分類討論;若涉及復合函數(shù)求值,從內(nèi)到外逐步求值;已知函數(shù)值求自變量,通過分類討論化為若干個方程組求解,要充分利用函數(shù)在各段上的值域,減少運算量。

解：已知f(a)=-3。

①當a≤1時,則2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1。又2x＞0,故2a-1=-1無解。

②當a＞1時,則-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,所以

易錯點二：對函數(shù)性質(zhì)的綜合應用不熟練

函數(shù)性質(zhì)為每年高考必考內(nèi)容,通常會以幾種性質(zhì)的綜合應用形式出現(xiàn),也會和導數(shù)、不等式相結(jié)合進行考查。

例4設函數(shù)則使得f(x)＞f(2x-1)成立的x的取值范圍是。

綜上可知,f(x)＞f(2x-1)?x＞2x-1?x＜1。

分析：以函數(shù)為背景的不等式問題,通常情況下可以利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性脫去“f”轉(zhuǎn)化為常見的不等式問題,但在轉(zhuǎn)化過程中不要忽視定義域的范圍限制。

正解：因為所以f(x)為偶函數(shù)。

易錯點三：導數(shù)的幾何意義理解不透徹

函數(shù)在某點處的導數(shù)值是函數(shù)圖像在該點處的切線的斜率。但在許多問題中,往往是要解決由函數(shù)圖像外的一點向函數(shù)圖像引切線的問題,解決這類問題的基本思想是設出切點坐標,根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出切線方程,然后根據(jù)題目中給出的其他條件列方程求解。因此解題時要分清楚是“在某點處的切線”,還是“過某點的切線”。

例5若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=__P__。

錯解：設切點為(x0,y0)。

分析：在用導數(shù)求解曲線的切線方程時,一定要看是否給出了切點,沒有給切點時注意設出切點,但一條直線分別是兩條曲線的切線時,切點可能不是同一點,要注意區(qū)分。錯解是將兩條曲線的切點認為是同一點,造成切點在其中一條曲線中無意義的情況出現(xiàn)。

正解：設直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切的切點坐標為(x0,y0)。

設直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切的切點坐標為(x1,y1)。

由x0=x1+1,知lnx0=ln(x1+1),所以即解得

易錯點四：導數(shù)與極值關系理解不清楚

f'(x0)=0只是可導函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件,即必須有這個條件,但是只有這個條件還不夠,還要考慮是否滿足f'(x)在x0兩側(cè)異號,若左負右正則為極小值點,若左正右負則為極大值點。

例6已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點,則a=____。

錯解：由題意得f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0得x=±2。則a=±2。

分析：本題要注意函數(shù)極值點的判定條件,先利用導函數(shù)確定其單調(diào)性,然后利用函數(shù)單調(diào)性及極值點定義來確定函數(shù)的極大值點及極小值點。

正解：由題意得f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,得x=±2。

當x＜-2或x＞2時,f'(x)＞0;當-2＜x＜2時,f'(x)＜0。

所以f(x)=x3-12x在(-∞,-2)和(2,+∞)上為增函數(shù),在(-2,2)上為減函數(shù)。

所以f(x)=x3-12x在x=2處取得極小值,則a=2。

易錯點五：導數(shù)與單調(diào)性關系理解不準確

若函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上有f'(x)＞0恒成立,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;若函數(shù)f(x)在此區(qū)間上有f'(x)＜0恒成立,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。這是利用導函數(shù)來判斷函數(shù)單調(diào)性時的基本方法,但在使用時要注意：f'(x)＞0是函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件,例如,函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,但是有f'(x)≥0。

例7若函數(shù)asinx在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是。

故a的取值范圍是

分析：研究函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的關系時一定要注意：函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充要條件是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)≥0(f'(x)≤0)在此區(qū)間上恒成立,且導函數(shù)f'(x)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為零。

正解

故a的取值范圍是

函數(shù)與導數(shù)在高考中都占有十分重要的地位,但在學習時會出現(xiàn)這些常見錯誤,同學們在復習備考時要注意這些經(jīng)常出現(xiàn)的問題,從而有效地避開這些易錯點。