淺談培養(yǎng)初中生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思

馬仕紅

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與數(shù)學(xué)解題息息相關(guān)，但數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)提高并不在于數(shù)學(xué)解題的數(shù)量，而在于數(shù)學(xué)解題的質(zhì)量，所以我們應(yīng)該注重解題過程中方向的明確、策略與技巧的正確應(yīng)用，在數(shù)學(xué)解題的過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，積累解題的思維方法，不斷提高數(shù)學(xué)解題的能力，對于已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問題，我們要回過頭來進(jìn)行反思：反思對題意的理解;反思對思維方式和知識點(diǎn)的運(yùn)用;反思技能和技巧的運(yùn)用，在對整個解題過程的回顧中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑問難、舉一反三的能力，這對發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性數(shù)學(xué)思維能力至關(guān)重要.

1 如何培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行解題反思

在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生認(rèn)為解題反思就是敘述解題過程，能說出解題思路，其實(shí)這僅僅停留在反思的表面，因而在教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行解題反思、所謂的解題反思到底要反思些什么就顯得尤為重要，以下結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，從幾個方面談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生解題反思能力.

1.1 反思解題過程中的問題本質(zhì)，做到舉一反三

在數(shù)學(xué)解題中如果能做到“當(dāng)你看見樹木就能想象到一片森林”的境界，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會輕松很多，也就是如果你能通過會做一道題而會做一類題，做到真正的舉一反三，數(shù)學(xué)思維自然而然得到提升，

例1 如圖1，點(diǎn)B，C在線段AD上，問：圖中共有幾條線段？是哪幾條？

問題1 往返于A，B兩個城市的火車有四個?？奎c(diǎn)，問：（1）該火車有多少種不同的車票？（2）該火車上要準(zhǔn)備多少種車票？

問題2 數(shù)一數(shù)，圖2中共有多少個三角形？利用所標(biāo)字母，將它們表示出來，

反思 問題1實(shí)際考查線段的定義，由于票價(jià)隨著路程的長短而變化，所以線段數(shù)就是票價(jià)數(shù)，而問題二中的三角形的個數(shù)實(shí)際上也可以這樣來看，點(diǎn)C，D在線段B上，共有幾條線段，這樣問題轉(zhuǎn)化后就變得簡單許多，學(xué)生做題的正確率也大大提升.

數(shù)學(xué)問題往往以不同形式呈現(xiàn)，但問題解決后要發(fā)現(xiàn)其中的“奧妙”，要讓學(xué)生學(xué)會“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，架起數(shù)學(xué)問題的形式與問題本質(zhì)之間的聯(lián)系，不要再停留在題目的表面，要努力看清其廬山真面目，在遇到形異質(zhì)同的題目時能迅速地識別.

1.2 反思解題過程中的做題方法，優(yōu)化解題方式

所謂“條條大路通羅馬”，雖然目的地都一樣，但是時間短者應(yīng)該有更大的收獲，正如在數(shù)學(xué)解題時一樣，同樣的一道題目，不同的學(xué)生可能有不同的方法，在解答正確的前提下，選擇最簡便方法的學(xué)生不論在平時的練習(xí)中還是考試中都很有利，此時學(xué)生就要反思自己的思路和學(xué)生的思路以及老師的思路有什么不同？差距在哪里？造成這差距的原因在哪里？我該如何來改進(jìn)？

堅(jiān)持這樣的反思，不僅收獲更多的解題方法，解題思路也會進(jìn)一步被打開，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題過程中也會游刃有佘，

例2 用7張如圖3 （1）所示的長為以，寬為6（a>b）的小長方形紙片，按圖3（2）所示的放置方式不重疊地放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個長方形）用陰影表示，設(shè)左上角與右下角陰影部分的面積之差為S，當(dāng)BC的長度變化時，按照同樣的放置方式擺放，S始終保持不變，則a，b應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系為____.

學(xué)生拿到此類題目肯定覺得頭疼，無從下手，但仔細(xì)閱讀題目關(guān)鍵詞句：“當(dāng)BC的長度變化時，S始終保持不變”后，仔細(xì)想一想，是不是與“（x+1）（2x2+ax+1）的計(jì)算結(jié)果中不含x²的項(xiàng)”有異曲同工之處，只要將多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，將x²項(xiàng)前面的系數(shù)令為0即可，根據(jù)這樣的思路，我們將S表示成關(guān)于BC的形式，由題意有S=S₁-S₂=（BC·3b-3ab）-（BC·a-4ab）.將S表示出來后，由于BC變化對S沒有影響，則3b-a=0，從而找到a=3b這樣的數(shù)量關(guān)系，分析從讀題、思考、解題的這一系列的過程，我們發(fā)現(xiàn)，如果能很好地進(jìn)行知識的類比，優(yōu)化解題的方式，那么數(shù)學(xué)解題就會變得很輕松.

1.3 反思解題過程中的易錯點(diǎn)，打破思維定勢

例3 某課外活動小組中男生人數(shù)占全組人數(shù)的一半，如果減少6名男生，那么男生人數(shù)就占全組人數(shù)的1/3，求這個課外小組的人數(shù).

錯解 設(shè)這個課外小組有x人.

答：這個課外小組有36人.

1.4 反思解題過程中的拓展延伸，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

反思解題過程時，如果就題論題，那么這種反思似乎只停留在表面，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生這樣的意識，多問自己以下幾個問題：

（1）這題是否可以一題多解，這幾種解法之間是否存在著某種本質(zhì)上的聯(lián)系？

（2）根據(jù)所學(xué)知識，以及知識點(diǎn)間的聯(lián)系，問問自己如果改變題目中的某一個條件能否用相同的解題思路，得出的結(jié)論還一樣嗎？或者結(jié)論之間有什么聯(lián)系嗎？

（3）能否將問題進(jìn)行拓展或者推廣？

例4 已知：如圖4，△ABC中∠B與∠C的平分線相交于點(diǎn)P，

（1）試探索若∠ABC+∠ACB= 100°，求∠BPC的度數(shù).

（2）若∠A=80°，求∠BPC的度數(shù).

（3）試說明∠A與∠BPC的關(guān)系.

法1 利用三角形的內(nèi)角和與平分線的性質(zhì)，我們可以直接求出.

法2 連接AP并延長與BC交于點(diǎn)D，利用三角形外角和性質(zhì)可以求出∠BPC等于∠A與∠ABP與∠ACP和，再利用角平分線性質(zhì)可以知道∠ABP與∠ACP的和等于∠ABP與∠ACP和的一半.

問題變式 變式1 如圖5，BP，CP分別平分∠DBC與∠ECB，試探索∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系.

例題中的∠P是由三角形的兩個內(nèi)角的角平分線構(gòu)成，而變式1中的∠P是由三角形的兩個外角平分線構(gòu)成的，探索∠P與∠A關(guān)系的思路還是一樣的嗎？或者有什么不一樣的地方？

變式2 如圖6，BP，CP分別平分∠ABC與∠ACD，試探索∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系.

不同于例題以及變式1，∠P既不是由兩個內(nèi)角平分線構(gòu)成也不是由兩個外角平分線構(gòu)成，而是由一個內(nèi)角平分線與三角形的一個外角平分線構(gòu)成，在探索的過程中又需要什么新的知識點(diǎn)？

通過這樣的變式，不僅學(xué)生的思維能得到發(fā)散，在長期的潛移默化中，學(xué)生在遇到一些問題時能自然而然地多問自己幾個問題，對題目進(jìn)行簡單的變式，久而久之學(xué)生能在數(shù)學(xué)解題中找到樂趣.

問題拓展如圖7，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C= 240°，則∠P=____.

研究多邊形的外角時，教學(xué)過程中主要是以三角形為主，那當(dāng)三角形改成任意的四邊形時，我們還能得到相類似的結(jié)論嗎？

2 結(jié)語

“磨刀不誤砍柴工”，解題反思就是我們手中的那把砍柴刀，解題反思是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有力手段，在反思過程中不斷地學(xué)會挖掘題目的本質(zhì)，在尋找更好的解題方法的過程中發(fā)展思維，當(dāng)然，解題反思不是一蹴而就的，教師要在日常的教學(xué)中有針對性地利用習(xí)題，讓學(xué)生學(xué)會反思，在學(xué)中反思，在反思中學(xué)，讓學(xué)生不再把解題當(dāng)做一種任務(wù)，而是變成一種有目標(biāo)，有研究性、探究性的學(xué)習(xí)活動，在這樣的一個過程中學(xué)會解題，學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)

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