“重心圓”的有趣性質(zhì)及其推廣

何重飛

熟知圓周上任意一點(diǎn)到該圓一直徑兩端點(diǎn)的距離的平方和為定值，事實(shí)上，有更一般的結(jié)論，

命題1平面內(nèi)以線段中點(diǎn)為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離的平方和為定值，推論1空間中任意給點(diǎn)兩點(diǎn)，則以該兩點(diǎn)構(gòu)成線段的中點(diǎn)為球心的任意球面上的點(diǎn)到該兩點(diǎn)的距離的平方和為定值。

延續(xù)這一思路，線段推廣到三角形便可得到：

定理1以三角形重心為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

推論2以三角形重心為球心的任意球面上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

當(dāng)ΔAABC的重心G與其外心O重合時(shí)，易知ΔABC為正三角形，再由定理1便可得到：

推論3[2]正三角形外接圓周上的點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

筆者發(fā)現(xiàn)，在四邊形中，也有類似定理：

定理2以平面四邊形重心為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到平面四邊形四個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和為定值。

推論4以四邊形的重心為球心的任意球面上的點(diǎn)到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

當(dāng)四邊形ABCD的重心G與其外心O重合時(shí)，易知四邊形ABCD為矩形，再由定理2便可得到：

推論5矩形外接圓周上的點(diǎn)到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

當(dāng)四邊形ABCD的重心G與其對(duì)角線的交點(diǎn)重合時(shí)，易知四邊形ABCD為平行四邊形，再由定理2便可得到：

推論6以平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的任意圓周上的點(diǎn)到平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

事實(shí)上由定理1、2及其證明，以及引理l得：

推論7[3]在由互相平分且交于一點(diǎn)G的n（n≥2）條線段所構(gòu)成的平面或立體圖形中，以G為球心的任意球面上的點(diǎn)到該n條線段端點(diǎn)的距離的平方和為定值。

推論8以平行六面體體對(duì)角線交點(diǎn)為球心的任意球面上的點(diǎn)到平行六面體頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

證明每一個(gè)平行六面體都可由四條互相平分且交于一點(diǎn)的線段端點(diǎn)構(gòu)成的幾何體，由推論7便可得證。

推論9以正多邊形重心（中心）為圓心（或球心）的圓周上（或球面上）的點(diǎn)到正多邊形各頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

將以上定理及推論推廣到空間，即可得到：

定理3以四面體的重心為球心的任意球面上的點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。

要證定理3，需要用到以下引理：

“重心圓”或者“重心球”上的點(diǎn)是否具有其他冪和式為定值的性質(zhì)或者其他有趣的性質(zhì)？留給感興趣的讀者探究。

參考文獻(xiàn)

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