基于核心素養(yǎng)的極坐標與參數(shù)方程難點之探究

黃喜濱 江澤

近年來，教育界對于培養(yǎng)高中生數(shù)學核心素養(yǎng)問題日益重視，數(shù)學核心素養(yǎng)是學生通過數(shù)學的學習、反思、積累、升華、孕育出來的，面對復雜的、不確定的現(xiàn)實情境和問題時，能夠綜合運用特定的數(shù)學觀念、知識、技能、思維模式、探究技能等，用積極的態(tài)度、科學的精神去分析問題、提出問題、解決問題、交流結(jié)果的過程中表現(xiàn)出來的綜合性品質(zhì)，通過對高中數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成問題的探究，使教育界認識到：應將學生的數(shù)學能力構(gòu)建納入到優(yōu)化他們今后的學習和思維能力上來，這將有力改觀傳統(tǒng)高中數(shù)學教學生態(tài)，數(shù)學學科提出“數(shù)學抽象”、“邏輯推理”、“直觀想象”、“數(shù)學建?！?、“數(shù)學運算”、“數(shù)據(jù)分析”這六大學科核心素養(yǎng)，高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在學生數(shù)學學習過程中逐漸形成的，滿足學生終身學習和社會發(fā)展需求的綜合能力與品質(zhì)，是高中數(shù)學學科課程目標的集中體現(xiàn)。

作為高考選考的選修4-4《坐標系與參數(shù)方程》相對較為簡單，所以大部分考生都選做這一題，縱觀近幾年的高考數(shù)學，對《坐標系與參數(shù)方程》也有了更加新穎的考法，越來越經(jīng)?？疾閼脜?shù)方程求最值或范圍問題，越來越重視利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求距離或相關(guān)問題，越來越注重應用極坐標求距離或面積等，從一線教學中發(fā)現(xiàn)很多學生對這些難點題型及解題規(guī)律不夠熟悉，掌握較為薄弱，認識較為模糊，本文結(jié)合筆者的教學實例，總結(jié)處理相關(guān)問題的方法。

1利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義求與距離有關(guān)的問題

評注 極坐標與直角坐標互化時需注意：其一是互化的前提：極點與原點重合，極軸與x軸正方向重合，取相同的單位長度;其二在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一，在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性。

分析 （I）先將曲線G和直線l的方程化為直角坐標方程，再利用直線與圓相切求出直線l的直角坐標方程，再將直線l的方程化為極坐標方程;（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程和圓的直角坐標方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理和參數(shù)方程的幾何意義，求出代數(shù)式的取值范圍。

評注 本題難度較大，要求學生不僅要掌握直線參數(shù)方程中t的幾何意義，還要懂得靈活應用，本題涉及到直線和兩條曲線的問題，要求學生數(shù)形結(jié)合，從交點和定點的相對位置先判斷t的正負，從而去掉lACl和lBDl的絕對值符號，把所求問題轉(zhuǎn)化成韋達定理中出現(xiàn)的式子來求解。

小結(jié) 將陌生的問題轉(zhuǎn)化為學生熟悉的模型，凸顯邏輯推理的合理性，有助于邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的建構(gòu).數(shù)形結(jié)合，有效提升了“直觀想象”這一核心素養(yǎng)的教學價值。

2利用曲線的參數(shù)方程求最值（范圍）問題

利用曲線的參數(shù)方程求解兩曲線間的最值問題簡捷方便，是我們解決這類問題最常用、最普遍的好方法.因此，必須熟悉常見曲線的參數(shù)方程，掌握參數(shù)方程和普通方程的互化以及參數(shù)方程的簡單應用，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖形優(yōu)化解題策略，選擇用參數(shù)法還是普通方程法。

評注 一般涉及橢圓上點的最值問題、定值問題、軌跡問題等，我們直接處理不好下手時，可考慮利用橢圓的參數(shù)方程.設點坐標為（acosα，bcosα），將共轉(zhuǎn)化為三角問題求解，在參數(shù)方程方面，我們一定要了解參數(shù)方程及其意義，其與普通方程之間的互化是一個重點，在寫直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程時，學生一定要注意參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義。

評注 將曲線參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，常用的技巧有：代入消參、加減消參、整體消參、平方后加減消參等。如果題目中涉及圓、橢圓上的動點求相關(guān)最值（范圍）問題時，可考慮用其參數(shù)方程設出點的坐標，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題得以解決，使解題的過程簡單明了。

小結(jié) 從文字語言到圖形語言的轉(zhuǎn)化，是將抽象信息轉(zhuǎn)向可視信息.不同語言間的轉(zhuǎn)化是數(shù)學題教學的重點和難點.在例4中借助構(gòu)造直觀圖形，通過分析圖形獲得解答方法，“圖形”成為輔助思考的關(guān)鍵點，“想象”成為創(chuàng)新思維的核心點.這對如何在學習過程中構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型去探索問題的思路有一定的借鑒作用。

3 利用極坐標系中p的幾何意義求有關(guān)距離或相關(guān)問題

《極坐標與參數(shù)方程》的解題思路通常是把極坐標方程、參數(shù)方程化為直角坐標方程，用普通方程的方法解決，但從近幾年的試題來看，也不全是如此.眾所周知，極坐標中的p為極徑，表示曲線上這一點與極點O之間的距離，因此題目中出現(xiàn)過極點的直線時，出現(xiàn)與極點相關(guān)的距離、面積等問題時都可首選運用極坐標p的幾何意義來解決，容易發(fā)現(xiàn)，這種方法要比化為直角坐標運算簡捷得多！

評注 碰到軌跡問題，常用的入題方法是“求誰設誰”，再根據(jù)題目已知點滿足的方程整理便可，第（Ⅱ）問重點考查極坐標系中p的幾何意義，注意為過坐標原點，傾斜角為00的直線極坐標方程，其上兩點P（），Q（）的距離為lPQl=lPi-P2l，可以看到利用p的幾何意義解題便捷許多。

小結(jié) 當我們直接利用極坐標系求解時，經(jīng)常數(shù)形結(jié)合觀察是否存在通過極點的直線，如此更凸顯思維的簡潔性和直觀想象力，提升了“直觀想象”這一核心素養(yǎng)的教學價值，這對如何建立數(shù)與形之間的關(guān)系輔助教學思考起著積極的催化作用，也對如何利用圖形描述、分析數(shù)學問題起到一定示范作用。

核心素養(yǎng)貫穿數(shù)學學科教學始終，也貫穿學生的個人成長始終，是學生終身學習與社會實踐的基礎，本文通過對極坐標與參數(shù)方程常見難點的探究，不僅能有效調(diào)動學生的學習熱情，激發(fā)學生濃厚的學習興趣，更重要的是消除了學生的“恐懼”心理，幫助學生建立學好數(shù)學的信心，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維，也使得學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有依托、有根基，水到渠成，最后希望廣大教師加強對核心素養(yǎng)的研究與學習，并充分發(fā)揮核心素養(yǎng)的教學指導作用，推動教學改革、促進學生發(fā)展。

參考文獻

[1]江澤.基于學科核心素養(yǎng)的課例點評.福建中學數(shù)學，2016 （12）：14-16

[2]王冰.提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基本策略[J].大連教育學院學報，2016（1）：39-40

[3]盧小妹.關(guān)于高中數(shù)學核心素養(yǎng)的認識[J].福建中學數(shù)學，2016 （6）：16-18

[4]金燁.基于培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的課例探究[J].數(shù)學之友，2016（3）：38-39