張福源
高中立體幾何中空間想象能力的培養(yǎng)是重點(diǎn),也是教學(xué)的難點(diǎn),而探求幾何體的外接球半徑R于多數(shù)學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn),針對(duì)這種現(xiàn)象,本文結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勥@類題型的解題的策略及常見(jiàn)思路,以供讀者參考。
一般地,求幾何體的外接球半徑R的常見(jiàn)策略可按思維習(xí)慣分為五步思考法,依次為:第一步,化為長(zhǎng)方體或正方體;第二步,找直徑;第三步,射影定理;第四步,找球心;第五步,建系,下面舉例說(shuō)明。
第一步:化為長(zhǎng)方體或正方體
眾所周知,長(zhǎng)方體或正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)就是其外接球的直徑,若能把題目中的幾何體還原到長(zhǎng)方體或正方體,問(wèn)題就好辦,這里首先要熟知一些常見(jiàn)模型(如正四面體、墻角型的三棱錐等)怎樣還原為長(zhǎng)方體或正方體,其次要熟悉長(zhǎng)方體與正方體的性質(zhì)。
例1三棱錐A-BCD中,AB=CD=3,AC=BD=4,AD=BC=4,求三棱錐A-BCD的外接球的表面積。
解析 初看本題,似乎好難。但仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn),三棱錐的對(duì)角線長(zhǎng)均相等,立即聯(lián)想到長(zhǎng)方體面對(duì)角線長(zhǎng)相等,問(wèn)題迎刃而解。
例2 某幾何體的三視圖均為邊長(zhǎng)是2的正方形,如圖2,試求該幾何體的外接球半徑。
點(diǎn)評(píng) 通過(guò)以上兩個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn),能夠還原為長(zhǎng)方體或正方體的模型具有的特征:題設(shè)反映的信息均與長(zhǎng)方體或正方體的性質(zhì)有關(guān),例1中對(duì)角線長(zhǎng)相等(矩形性質(zhì)),例2中三視圖外形均為正方形(正方體的三視圖即是)。其實(shí)很多問(wèn)題可以還原為長(zhǎng)方體或正方體,只要平時(shí)善于分析與總結(jié),處理這類題不是難事。
第二步:找球的直徑
點(diǎn)評(píng) 立體幾何題目離不開畫圖并結(jié)合兩個(gè)定理(性質(zhì)定理與判定定理)分析解題,充分挖掘內(nèi)涵,努力求出任兩點(diǎn)距離及尋找任一線的垂面,做到“心中有形神州行”!
第三步:射影定理
第四步:直接定球心
第五步:建立空間坐標(biāo)系法
思路是:通常建立空間直角坐標(biāo)系,用待定系數(shù)法求出球心坐標(biāo),然后通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式得到球半徑。
點(diǎn)評(píng) 可見(jiàn),解析法不需要復(fù)雜的空間想象,難度小,適合空間想象能力弱的同學(xué),但要求計(jì)算能力要過(guò)關(guān)。
當(dāng)然,任何一道數(shù)學(xué)題的解法可能不唯一,以上介紹的五步法不是孤立的,它們會(huì)互相聯(lián)系,如例7,可以用找球心的思路進(jìn)行求解,只要我們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)與訓(xùn)練中不斷滲透這五步法的精神,采取自己最為熟悉方法入手,必將攻破這一難關(guān)。